七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 春季課程 第一講 相交線試題 （新版）新人教版.doc

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第一講 相交線 課程目標(biāo) 1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)； 2.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，掌握垂直的定義及性質(zhì)； 3.了解“三線八角”模型特征；掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識(shí)別它們． 課程重點(diǎn) 能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算. 課程難點(diǎn) 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識(shí)別它們． 一、知識(shí)梳理： 考點(diǎn)1 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角 1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角． 要點(diǎn)詮釋： (1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180． (2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角． (3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角． (4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長(zhǎng)線. 2. 對(duì)頂角及性質(zhì)： （1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角． （2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等． 要點(diǎn)詮釋： (1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角． (2)對(duì)頂角滿足的條件： ①相等的兩個(gè)角； ②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線. 3. 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比： 角的名稱 特征 性 質(zhì) 相 同 點(diǎn) 不 同 點(diǎn) 對(duì)頂角 ①兩條直線相交形成的角 ②有一個(gè)公共頂點(diǎn)； ③沒(méi)有公共邊. 對(duì)頂角相等. ①都是兩條直線相交而成的角； ②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)； ③都是成對(duì)出現(xiàn)的. ①有無(wú)公共邊； ②兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角只有2對(duì)；鄰補(bǔ)角有4對(duì). 鄰補(bǔ)角 ①兩條直線相交而成； ②有一個(gè)公共頂點(diǎn)； ③有一條公共邊. 鄰補(bǔ)角互補(bǔ). 考點(diǎn)2垂線 1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足． 要點(diǎn)詮釋： (1)記法：直線a與b垂直，記作：； 直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O. (2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有： 2．垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)． 要點(diǎn)詮釋： (1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上． (2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段． 3．垂線的性質(zhì)： （1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直． （2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短． 要點(diǎn)詮釋： （1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性． （2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題． 4．點(diǎn)到直線的距離： 定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離． 要點(diǎn)詮釋： （1） 點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離； （2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度． 考點(diǎn)3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念 1. “三線八角”模型 如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說(shuō)兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱為“三線八角”，如圖1. 圖1 要點(diǎn)詮釋： ⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交． ⑵“三線八角”中的每個(gè)角是由截線與一條被截線相交而成． 2. 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義 在“三線八角”中，如上圖1， （1）同位角：像∠1與∠5，這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角. （2）內(nèi)錯(cuò)角：像∠3與∠5，這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角. （3）同旁內(nèi)角：像∠3和∠6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角. 要點(diǎn)詮釋： (1)“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系，顯然是沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角. (2)“三線八角”中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角． 考點(diǎn)4 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征 要點(diǎn)詮釋：巧妙識(shí)別三線八角的兩種方法： (1)巧記口訣來(lái)識(shí)別： 一看三線，二找截線，三查位置來(lái)分辨. (2)借助方位來(lái)識(shí)別 根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時(shí)依方位來(lái)識(shí)別，如圖2． 二、課堂精講： （一）對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念與性質(zhì) 例1．（1）下面四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的圖形的個(gè)數(shù)是（） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）已知∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，∠2是∠3的鄰補(bǔ)角，那么∠1與∠3的關(guān)系是（ ）. A、對(duì)頂角 B、相等但不是對(duì)頂角 C、鄰補(bǔ)角 D、互補(bǔ)但不是鄰補(bǔ)角 【隨堂演練一】【A類】 1、下列語(yǔ)句錯(cuò)誤的有（ ）個(gè). （1）兩個(gè)角的兩邊分別在同一條直線上，這兩個(gè)角互為對(duì)頂角 （2）有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角 （3）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角互補(bǔ) （4）如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角不是對(duì)頂角 A、1 B、2 C、3 D、4 2、如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2．則∠1的對(duì)頂角是_____，∠4的鄰補(bǔ)角是______．∠2的補(bǔ)角是_________． 【B類】 3、如圖所示，AB和CD相交于點(diǎn)O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，試說(shuō)明OM和ON成一條直線。 4、如圖所示，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求． （二）垂線 例2．（1）下列語(yǔ)句：其中正確的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ①兩條直線相交，若其中一個(gè)交角是直角，那么這兩條直線垂直。 ②一條直線的垂線有無(wú)數(shù)條。 ③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直； ④兩條直線相交成四個(gè)角，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直。 （2）點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)：點(diǎn)A、B、C為直線上三點(diǎn)，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，則點(diǎn)P到直線的距離是 ( ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超過(guò)2 cm 【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時(shí)要把握其中的本質(zhì)要求： ①關(guān)于垂線的定義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直； ②關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過(guò)任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說(shuō)明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點(diǎn)”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。 【隨堂演練二】【A類】 1、下列說(shuō)法中正確的是（） A．有且只有一條直線垂直于已知直線。 B．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離。 C．互相垂直的兩條直線一定相交。 D．直線c外一點(diǎn)A與直線c上各點(diǎn)連接而成的所有線段中，最短線段的長(zhǎng)是3cm，則點(diǎn)A到直線c的距離是3cm。 2、點(diǎn)到直線的距離是指這點(diǎn)到這條直線的（ ） A、垂線段 B、垂線的長(zhǎng) C、長(zhǎng)度 D、垂線段的長(zhǎng) 3、如圖，∠1=30，AB⊥CD，垂足為O，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．求∠2、∠3的度數(shù)． 【B類】 4、如圖，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求證：ON平分∠BOC. （三）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別 例3．如圖， (1)DE為截線,∠E與哪個(gè)角是同位角? (2)∠B與∠4是同旁內(nèi)角，則截出這兩個(gè)角的截線與被截線是哪些直線？ (3)∠B和∠E是同位角嗎?為什么? 【總結(jié)升華】確定角的關(guān)系的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪幾個(gè)；（2）將這幾個(gè)角抽出來(lái)，觀察分析它們的位置關(guān)系；（3）再取其它的線為截線，再抽取與該截線相關(guān)的角來(lái)分析. 【隨堂演練三】【A類】 1、下列圖形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【總結(jié)升華】要分析各對(duì)角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把復(fù)雜圖形按題目要求分解成簡(jiǎn)單的圖形后，結(jié)論便一目了然. 【B類】 2、如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁內(nèi)角？ 3、分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角. 三．小結(jié)： 1、對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角； 2、如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角 3、如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180；反之如果∠α+∠β=180，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。 4、兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。 5、兩直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，那么就稱這兩條直線相互垂直；垂線的性質(zhì)：⑴過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。⑵連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所在線段中，垂線段最短。 6、在復(fù)雜圖形中，分析同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，應(yīng)把圖形分解成幾個(gè)“兩條直線與同一條直線相交”的圖形，并抽取交點(diǎn)處的角來(lái)分析． 四、課堂練習(xí) 1、已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度數(shù). 2、如圖，107國(guó)道上有一個(gè)出口M，想在附近公路旁建一個(gè)加油站，欲使通道最短，應(yīng)沿怎樣的線路施工？ 3、直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，∠COE＝40，求∠BOD的度數(shù) 4、如圖所示，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC、OD在AB的兩側(cè)，且∠AOC＝∠BOD，試證明∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角． 五、課后鞏固練習(xí) 【A類】 一、選擇題 1． a、b、c是平面上任意三條直線，交點(diǎn)可以有（） A．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) B． 0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) C．1個(gè)或2個(gè) D． 都不對(duì) 2．下列說(shuō)法正確的有 ( ) ①因?yàn)椤?與∠2是對(duì)頂角，所以∠1＝∠2； ②因?yàn)椤?與∠2是鄰補(bǔ)角，所以∠1＝∠2； ③因?yàn)椤?和∠2不是對(duì)頂角，所以∠1≠∠2； ④因?yàn)椤?和∠2不是鄰補(bǔ)角，所以∠1+∠2≠180． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 3．如圖，∠PQR＝138，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT等于（ ） A．42 B．64 C．48 D．24 4．已知關(guān)于距離的四種說(shuō)法： ①連結(jié)兩點(diǎn)的線段長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離； ②連結(jié)直線外的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的線段叫做點(diǎn)到直線的距離； ③以直線外一點(diǎn)所引的這條直線的垂線叫做點(diǎn)到直線的距離； ④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離． 其中正確命題的個(gè)數(shù) （ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D． 3個(gè) 5.已知圖（1）—（4）： 在上述四個(gè)圖中，∠1與∠2是同位角的有（ ）. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1） 6.如圖，下列結(jié)論正確的是（ ）. A．∠5與∠2是對(duì)頂角； B．∠1與∠3是同位角； C．∠2與∠3是同旁內(nèi)角；D．∠1與∠2是同旁內(nèi)角. 7.在圖中，∠1與∠2不是同旁內(nèi)角的是 （ ）. 【B類】 1．如圖，直線AD、BC被直線AC所截，則∠1和∠2是( ). A．內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角 C．同旁內(nèi)角 D．對(duì)頂角 2．如圖，能與構(gòu)成同位角的有( ). A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 3．如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ). ①∠1和∠3是同位角； ②∠1和∠5是同位角； ③∠1和∠2是同旁內(nèi)角； ④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角. A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4.如圖，∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，可看成是由直線( )． A.AD，BC被AC所截構(gòu)成 B.AB，CD被AC所截構(gòu)成 C.AB，CD被AD所截構(gòu)成 D.AB，CD被BC所截構(gòu)成 5.如圖所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE為∠BOD的平分線，∠BOE=17．求∠AOC的度數(shù)． 【C類】 1、如圖， (1)∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線________所截得的________角； (2)∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線________所截得的________角； (3)∠3和∠ABC是直線________、________被直線________所截得的________角； (4)∠ABC和∠ACD是直線________、________被直線所截得的________角； (5)∠ABC和∠BCE是直線________、________被直線所截得的________角． 2.如圖，已知A、O、B三點(diǎn)在一直線上，∠AOC＝120，OD、OE分別是∠AOC， ∠BOC的平分線． (1)判斷OD與OE的位置關(guān)系； (2)當(dāng)∠AOC大小發(fā)生變化時(shí)，OD、OE仍分別是∠AOC、∠BOC的平分線，則OD與OE的位置關(guān)系是否改變? 請(qǐng)說(shuō)明理由．