江蘇省無錫地區(qū)中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題 專題1 代數(shù)式的求值問題.doc

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專題06 四邊形的綜合問題 例1．如圖，△APB中，，∠APB＝90，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__________． 同類題型1.1 如圖，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是___________． 同類題型1.2 如圖，在□ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長(zhǎng)CB交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)G在點(diǎn)A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是（　?。? ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 同類題型1.3 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點(diǎn)F，P是EB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正確的有______________．（填序號(hào)） 同類題型1.4 如圖，在□ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，AG與BH交于點(diǎn)O，連接BE，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　） A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE 例2．圖甲是小明設(shè)計(jì)的帶菱形圖案的花邊作品．該作品由形如圖乙的矩形圖案拼接而成（不重疊、無縫隙）．圖乙中，EF＝4cm，上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為，其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到，則該菱形的周長(zhǎng)為____________． 同類題型2.1 如圖，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120，點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)（到點(diǎn)B為止），點(diǎn)E的速度為1cm/s，點(diǎn)F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為____________． 同類題型2.2 如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是____________． 同類題型2.3 如圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，∠A＝60．順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去…，則四邊形的周長(zhǎng)是______________． 例3． 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EF⊥EC交AD于點(diǎn)F，連接CF（AD＞AE），下列結(jié)論：①∠AEF＝∠BCE；②；③AF＋BC＞CF； ④若，則△CEF≌△CDF．其中正確的結(jié)論是____________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)） 同類題型3.1 如圖，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論： ①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________． 同類題型3.2 如圖，在矩形ABCD中，AB，∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E，AH⊥DE于點(diǎn)H，連接CH并延長(zhǎng)交AB邊于點(diǎn)F，連接AE交CF于點(diǎn)O，給出下列命題： ①AD＝DE②EH③△AEH∽△CFB④AE 其中正確命題的序號(hào)是________________（填上所有正確命題的序號(hào)） 同類題型3.3 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（　?。? A． B． C． D． 例4．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過點(diǎn)A作AE的垂線AP交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，，下列結(jié)論： ①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED； ④．⑤＝4＋ ． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________________． 同類題型4.1 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止．點(diǎn)N是正方形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)落在線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形內(nèi)的概率記為P，則P＝（　?。? A． B． C． D． 同類題型4.2 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點(diǎn)F，CE⊥AE，垂足為點(diǎn)E，EG⊥CD，垂足為點(diǎn)G，點(diǎn)H在邊BC上，BH＝DF，連接AH、FH，F(xiàn)H與AC交于點(diǎn)M，以下結(jié)論： ①FH＝2BH；②AC⊥FH；③＝1；④AF；⑤＝FG﹒DG，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 同類題型4.3 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0＜θ＜90），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的是 ______________． OE；（2）＝1：OA；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，． 同類題型4.4 如圖，四邊形ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC＝DB＝1，點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D 時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 _____________． 參考答案 例1．如圖，△APB中，，∠APB＝90，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__________． 解：如圖，延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F， ∵∠APB＝90，∠APE＝∠BPC＝60， ∴∠EPC＝150， ∴∠CPF＝180－150＝30， ∴PF平分∠BPC， 又∵PB＝PC， ∴PF⊥BC， 設(shè)Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，則b，＝8， ∵△APE和△ABD都是等邊三角形， ∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60， ∴∠EAD＝∠PAB， ∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴ED＝PB＝CP， 同理可得：△APB≌△DCB（SAS）， ∴EP＝AP＝CD， ∴四邊形CDEP是平行四邊形， ∴四邊形CDEP的面積ab， 又∵≥0， ∴＝8， ∴ab≤2， 即四邊形PCDE面積的最大值為2． 同類題型1.1 如圖，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是___________． 解：∵△APE和△ABD是等邊三角形， ∴AE＝AP＝4，AB＝AD，∠EAP＝∠DAB＝60， ∴∠EAD＝∠PAB＝60－∠DAP， 在△EAD和△PAB中 ∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴DE＝BP， 同理△DBC≌△ABP， ∴DC＝AP， ∵△APE和△BPC是等邊三角形， ∴EP＝AP，BP＝CP， ∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4， ∴四邊形PCDE是平行四邊形， 當(dāng)CP⊥EP時(shí)，四邊形PCDE的面積最大，最大面積是34＝12． 同類題型1.2 如圖，在□ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長(zhǎng)CB交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)G在點(diǎn)A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是（　　） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形 ∴FD＝AD，BE＝AB ∵AD＝BC，AB＝DC ∴FD＝BC，BE＝DC ∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE ∴∠CDF＝∠EBC ∴△CDF≌△EBC，故①正確； ∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60＋60＋（180－∠CDA）＝300－∠CDA， ∠FDC＝360－∠FDA－∠ADC＝300－∠CDA， ∴∠CDF＝∠EAF，故②正確； 同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF， ∵BC＝AD＝AF，BE＝AE， ∴△EAF≌△EBC， ∴∠AEF＝∠BEC， ∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60， ∴∠FEC＝60， ∵CF＝CE， ∴△ECF是等邊三角形，故③正確； 在等邊三角形ABE中， ∵等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段 ∴如果CG⊥AE，則G是AE的中點(diǎn)，∠ABG＝30，∠ABC＝150，題目缺少這個(gè)條件，CG⊥AE不能求證，故④錯(cuò)誤． 選B． 同類題型1.3 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點(diǎn)F，P是EB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正確的有______________．（填序號(hào)） 解：證明：∵BC＝EC， ∴∠CEB＝∠CBE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB， ∴∠CEB＝∠EBF， ∴∠CBE＝∠EBF， ∴①BE平分∠CBF，正確； ∵BC＝EC，CF⊥BE， ∴∠ECF＝∠BCF， ∴②CF平分∠DCB，正確； ∵DC∥AB， ∴∠DCF＝∠CFB， ∵∠ECF＝∠BCF， ∴∠CFB＝∠BCF， ∴BF＝BC， ∴③正確； ∵FB＝BC，CF⊥BE， ∴B點(diǎn)一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC， ∴PF＝PC，故④正確． 答案為①②③④． 同類題型1.4 如圖，在□ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，AG與BH交于點(diǎn)O，連接BE，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AH∥BG，AD＝BC， ∴∠H＝∠HBG， ∵∠HBG＝∠HBA， ∴∠H＝∠HBA， ∴AH＝AB，同理可證BG＝AB， ∴AH＝BG，∵AD＝BC， ∴DH＝CG，故C正確， ∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB， ∴OH＝OB，故A正確， ∵DF∥AB， ∴∠DFH＝∠ABH， ∵∠H＝∠ABH， ∴∠H＝∠DFH， ∴DF＝DH，同理可證EC＝CG， ∵DH＝CG， ∴DF＝CE，故B正確， 無法證明AE＝AB， 選D． 例2．圖甲是小明設(shè)計(jì)的帶菱形圖案的花邊作品．該作品由形如圖乙的矩形圖案拼接而成（不重疊、無縫隙）．圖乙中，EF＝4cm，上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為，其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到，則該菱形的周長(zhǎng)為____________． 解：如圖乙，H是CF與DN的交點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)G，連接HG， ， 設(shè)AB＝6acm，則BC＝7acm，中間菱形的對(duì)角線HI的長(zhǎng)度為xcm， ∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm， ∴， ∵GH∥BC， ∴， ∴， ∴x＝3.5a－2…（1）； ∵上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為， ∴6a﹒（7a－x）2＝54， ∴a（7a－x）＝18…（2）； 由（1）（2），可得 a＝2，x＝5， ∴CD＝62＝12（cm），， ∴＝15（cm）， 又∵＝7.5（cm）， ∴HN＝15－7.5＝7.5（cm）， ∵AM∥FC， ∴， ∴， ∴該菱形的周長(zhǎng)為：（cm）． 同類題型2.1 如圖，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120，點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)（到點(diǎn)B為止），點(diǎn)E的速度為1cm/s，點(diǎn)F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為____________． 解：延長(zhǎng)AB至M，使BM＝AE，連接FM， ∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝120 ∴AB＝AD，∠A＝60， ∵BM＝AE， ∴AD＝ME， ∵△DEF為等邊三角形， ∴∠DAE＝∠DFE＝60，DE＝EF＝FD， ∴∠MEF＋∠DEA═120，∠ADE＋∠DEA＝180－∠A＝120， ∴∠MEF＝∠ADE， ∴在△DAE和△EMF中， ∴△DAE≌EMF（SAS）， ∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60， 又∵BM＝AE， ∴△BMF是等邊三角形， ∴BF＝AE， ∵AE＝t，CF＝2t， ∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t， ∵BC＝4， ∴3t＝4， ∴． 同類題型2.2 如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是____________． 解：如圖所示：∵M(jìn)A′是定值，A′C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A′在MC上時(shí)， 過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F， ∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60，M為AD中點(diǎn)， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60， ∴∠FMD＝30， ∴， ∴， ∴， ∴－1． 同類題型2.3 如圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，∠A＝60．順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；按此規(guī)律繼續(xù)下去…，則四邊形的周長(zhǎng)是______________． 解：∵菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為10，∠A＝60，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點(diǎn)， ∴是等邊三角形，四邊形是菱形， ∴＝5，，＝5， 同理可得出：，， ，， … ∴四邊形的周長(zhǎng)是：． 例3． 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EF⊥EC交AD于點(diǎn)F，連接CF（AD＞AE），下列結(jié)論：①∠AEF＝∠BCE；②；③AF＋BC＞CF； ④若，則△CEF≌△CDF．其中正確的結(jié)論是____________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)） 解：延長(zhǎng)CB，F(xiàn)E交于點(diǎn)G， ∵∠AEF＋∠BEC＝90，∠BEC＋∠BCE＝90， ∴∠AEF＝∠BCE，①正確； 在△AEF和△BEG中， ， ∴△AEF≌△BEG（ASA）， ∴AF＝BG，EF＝EG， ∵CE⊥EG， ∴，CG＝CF， ∴，②正確； ∴AF＋BC＝BG＋BC＝CG＝CF，③錯(cuò)誤； ∵， ∴∠BCE＝30，∴∠FCE＝∠FCD＝30， 在△CEF和△CDF中， ， ∴△CEF≌△CDF（AAS），④正確． 同類題型3.1 如圖，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論： ①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________． 解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB， ∵AB， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中，， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴（180－45）＝67.5， ∴∠CED＝180－45－67.5＝67.5， ∴∠AED＝∠CED，故①正確； ∵（180－45）＝67.5，∠OHE＝∠AHB（對(duì)頂角相等）， ∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠DOH＝90－67.5＝22.5，∠ODH＝67.5－45＝22.5， ∴∠DOH＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH，故⑤正確； ∵∠EBH＝90－67.5＝22.5， ∴∠EBH＝∠OHD， 又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45 在△BEH和△HDF中 ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正確； 由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF， ∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正確； ∵AB＝AH，∠BAE＝45， ∴△ABH不是等邊三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故②錯(cuò)誤； 綜上所述，結(jié)論正確的是①③④⑤． 同類題型3.2 如圖，在矩形ABCD中，AB，∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E，AH⊥DE于點(diǎn)H，連接CH并延長(zhǎng)交AB邊于點(diǎn)F，連接AE交CF于點(diǎn)O，給出下列命題： ①AD＝DE②EH③△AEH∽△CFB④AE 其中正確命題的序號(hào)是________________（填上所有正確命題的序號(hào)） 解：在矩形ABCD中，CD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝45， ∵AD⊥DE， ∴△ADH是等腰直角三角形， ∴AB， ∴AH＝AB＝CD， ∵△DEC是等腰直角三角形， ∴CD， ∴AD＝DE， ∴∠AED＝67.5， ∴∠AEB＝180－45－67.5＝67.5， ∴∠AED＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE， 故①正確； 設(shè)DH＝1， 則AH＝DH＝1，， ∴， ∴≠1， 故②錯(cuò)誤； ∵∠AEH＝67.5， ∴∠EAH＝22.5， ∵DH＝CD，∠EDC＝45， ∴∠DHC＝67.5， ∴∠OHA＝22.5， ∴∠OAH＝∠OHA， ∴OA＝OH， ∴∠AEH＝∠OHE＝67.5， ∴OH＝OE， ∴AE， 故④正確； ∵AH＝DH，CD＝CE， 在△AFH與△CHE中， ， ∴△AFH≌△CHE， ∴∠AHF＝∠HCE， ∵AO＝OH， ∴∠HAO＝∠AHO， ∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AHE＝90， ∴△AEH∽△CFB，故③正確． 答案為：①③④． 同類題型3.3 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)， ∴AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴AF， ∴AE， ∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)， ∴由矩形的對(duì)稱性得：AE＝DE， ∴DE，設(shè)EF＝x，則DE＝3x， ∴x， ∴； 選A． 例4．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過點(diǎn)A作AE的垂線AP交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，，下列結(jié)論： ①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED； ④．⑤＝4＋ ． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________________． 解：①∵∠EAB＋∠BAP＝90，∠PAD＋∠BAP＝90， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此選項(xiàng)成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90， ∴EB⊥ED； 故此選項(xiàng)成立； ②過B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90， ∴∠AEP＝∠APE＝45， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45， 又∵＝2， ∴， 故此選項(xiàng)正確； ④如圖，連接BD，在Rt△AEP中， ∵AE＝AP＝1， ∴， 又∵， ∴BE＝2， ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE＝2， ∴－DPBE＝（4＋）－22＝． 故此選項(xiàng)不正確． ⑤∵，AE＝1， ∴在Rt△ABF中，， ∴＝＝5＋2， 故此選項(xiàng)不正確． 答案為：①②③． 同類題型4.1 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止．點(diǎn)N是正方形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)落在線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形內(nèi)的概率記為P，則P＝（　　） A． B． C． D． 解：根據(jù)題意得點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為1，點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形， ∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積． 而正方形ABCD的面積為22＝4，4個(gè)扇形的面積為＝π， ∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為4－π， ∴把N點(diǎn)落在線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形內(nèi)的概率記為P，則． 選：A． 同類題型4.2 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點(diǎn)F，CE⊥AE，垂足為點(diǎn)E，EG⊥CD，垂足為點(diǎn)G，點(diǎn)H在邊BC上，BH＝DF，連接AH、FH，F(xiàn)H與AC交于點(diǎn)M，以下結(jié)論： ①FH＝2BH；②AC⊥FH；③＝1；④AF；⑤＝FG﹒DG，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 解：①②如圖1，∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90，∠BAD＝90， ∵AE平分∠DAC， ∴∠FAD＝∠CAF＝22.5， ∵BH＝DF， ∴△ABH≌△ADF， ∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5， ∴∠HAC＝∠FAC， ∴HM＝FM，AC⊥FH， ∵AE平分∠DAC， ∴DF＝FM， ∴FH＝2DF＝2BH， 故選項(xiàng)①②正確； ③在Rt△FMC中，∠FCM＝45， ∴△FMC是等腰直角三角形， ∵正方形的邊長(zhǎng)為2， ∴，－2， ∴， CF﹒AD≠1， 所以選項(xiàng)③不正確； ④， ∵△ADF∽△CEF， ∴， ∴， ∴， ∴AF， 故選項(xiàng)④正確； ⑤延長(zhǎng)CE和AD交于N，如圖2， ∵AE⊥CE，AE平分∠CAD， ∴CE＝EN， ∵EG∥DN， ∴CG＝DG， 在Rt△FEC中，EG⊥FC， ∴＝FG﹒CG， ∴＝FG﹒DG， 故選項(xiàng)⑤正確； 本題正確的結(jié)論有4個(gè)， 故選C． 同類題型4.3 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0＜θ＜90），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的是 ______________． OE；（2）＝1：OA；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，． 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45，∠BOC＝90， ∴∠BOF＋∠COF＝90， ∵∠EOF＝90， ∴∠BOF＋∠COE＝90， ∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，BE＝CF， ∴OE；故正確； （2）∵， ∴＝1：4；故正確； （3）∴OA；故正確； （4）過點(diǎn)O作OH⊥BC， ∵BC＝1， ∴， 設(shè)AE＝x，則BE＝CF＝1－x，BF＝x， ∴， ∵＜0， ∴當(dāng)時(shí)，最大； 即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，；故錯(cuò)誤； （5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45， ∴△OEG∽△OBE， ∴OE：OB＝OG：OE， ∴， ∵BD，EF， ∴， ∵在△BEF中，， ∴， ∴．故正確． 故答案為：（1），（2），（3），（5）． 同類題型4.4 如圖，四邊形ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC＝DB＝1，點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D 時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 _____________． 解：如圖， 設(shè)KH的中點(diǎn)為S，連接PE，PF，SE，SF，PS， ∵E為MN的中點(diǎn)，S為KH的中點(diǎn)， ∴A，E，S共線， F為QR的中點(diǎn)，S為KH的中點(diǎn)， ∴B、F、S共線， 由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB， ∴ES∥PF， △PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP， ∴PE∥FS， 則四邊形PESF為平行四邊形，則G為PS的中點(diǎn)， ∴G的軌跡為△CSD的中位線， ∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4， ∴點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)4＝2．