2019高中數學第三章直線與方程3.3直線的交點坐標與距離公式第2課時點到直線的距離兩條平行線間的距離講義含解析新人教A版必修2 .doc

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第2課時　點到直線的距離、兩條平行線間的距離 [核心必知] 1．預習教材，問題導入 根據以下提綱，預習教材P106～P109，回答下列問題： (1)如何用代數方法求點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離？ 提示：由P0Q⊥l，以及直線l的斜率為－，可得l的垂線P0Q的斜率為，因此，垂線P0Q的方程可求出．解垂線P0Q與直線l的方程組成的方程組，得點Q的坐標，用兩點間距離公式求出|P0Q|，即為點P0到直線l的距離． (2)能否將平行直線間的距離轉化為點到直線的距離，如何轉化？ 提示：能，由于一條直線上任意一點到另一條直線的距離都是兩條平行直線間的距離，所以只要在一條直線上找到一個已知點，求這點到另一條直線的距離即可． 2．歸納總結，核心必記 (1)點到直線的距離 ①概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離． ②公式：點P(x0，y0)到直線l: Ax＋By＋C＝0的距離，d＝. (2)兩平行直線間的距離 ①概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離． ②公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝. [問題思考] 1．在使用點到直線的距離公式時，對直線方程的形式有何要求？ 提示：應用點到直線距離公式的前提是直線方程為一般式． 2．在使用兩平行線間距離公式時，對直線方程的形式有何要求？ 提示：兩直線的方程為一般式且x，y的系數分別相同． [課前反思] 通過以上預習，必須掌握的幾個知識點． (1)點到直線的距離公式是什么？應注意什么？ ??； (2)兩平行直線間的距離公式是什么？應注意什么？ 　. 在鐵路的附近，有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知，從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P. [思考1]　若已知直線l的方程和點P的坐標(x0，y0)，如何求P到直線l的距離？ 名師指津：過點P作直線l′⊥l，垂足為Q，|PQ|即為所求的距離．直線l的斜率為k，則l′的斜率為－，∴l(xiāng)′的方程為y－y0＝－(x－x0)，聯(lián)立l，l′的方程組，解出Q點坐標，利用兩點間距離公式求出|PQ|. [思考2]　在直角坐標系中，若P(x0，y0)，則P到直線l: Ax＋By＋C＝0的距離是不是過點P到直線l的垂線段的長度？ 提示：是． [思考3]　應用點到直線的距離公式應注意什么問題？ 名師指津：(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離，應先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝. (2)點P在直線l上時，點到直線的距離為零，公式仍然適用，故應用公式時不必判定點P與直線l的位置關系． (3)直線方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0時，公式也成立，也可以用下列方法求點到直線的距離． ①P(x0，y0)到x＝a的距離d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到y(tǒng)＝b的距離d＝|b－y0|. 講一講 1．(1)在平面直角坐標系xOy中，點P(2,2)到直線4x＋3y＋5＝0的距離為________．(鏈接教材P107－例5) (2)求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1,0)的距離是的直線l的方程． [嘗試解答]　(1)由點到直線的距離公式可得d＝＝. (2)設與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點到直線的距離公式知： d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. [答案]　(1) 點到直線的距離的求解方法 (1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應用點到直線的距離公式求解即可． (2)對于與坐標軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知點到直線的距離求參數時，只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可． 練一練 1．已知點A(a,2)(a＞0)到直線l: x－y＋3＝0的距離為1，則a＝(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 解析：選C　由點到直線的距離公式知，d＝＝＝1，得a＝－1.又∵a＞0，∴a＝－1. 2．點P(2,4)到直線l：3x＋4y－7＝0的距離是________． 解析：點P到直線l的距離d＝＝＝3. 答案：3 　 觀察下面坐標系中的直線，思考如下問題： [思考1]　若過P(x0，y0)的直線l′與l: Ax＋By＋C＝0平行，那么點P到l的距離與l′與l的距離相等嗎？ 提示：相等． [思考2]　怎樣理解兩平行直線間的距離公式？ 名師指津：(1)求兩平行線間的距離可以轉化為求點到直線的距離，也可以利用公式． (2)利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數對應相等． (3)當兩直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數形結合來解決． ①兩直線都與x軸垂直時，l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|； ②兩直線都與y軸垂直時，l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|. 講一講 2．已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程． [嘗試解答]　由直線l1，l2的方程知l1∥l2.又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d1＝0或d2＝0，不符合題意)． 設直線l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由兩平行線間的距離公式，得d1＝，d2＝， 又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得m＝－25或m＝－9. 故所求直線l的方程為3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 求兩平行直線間距離的兩種思路 (1)利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉化為求一條直線上任意一點到另一條直線的距離． (2)直接利用兩平行線間的距離公式，當直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時，d＝；當直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時，d＝，必須注意兩直線方程中x，y的系數對應相等． 練一練 3．兩直線3x＋4y－2＝0與6x＋8y－5＝0的距離等于(　　) A．3 B．7 C. D. 解析：選C　在3x＋4y－2＝0上取一點，其到6x＋8y－5＝0的距離即為兩平行線間的距離，d＝＝. 　 講一講 3．兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d.求： (1)d的變化范圍； (2)當d取最大值時兩條直線的方程． [思路點撥]　(1)由兩平行線間的距離公式寫出d與斜率之間的函數關系式，不難求出d的范圍或利用數形結合求d的范圍． (2)求出d取最大值時斜率的值，即可求出所求直線方程． [嘗試解答]　(1)法一：①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x＝6和x＝－3，則它們之間的距離為9. ②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)， 即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0， ∴d＝＝， 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且d≠9，d＞0， ∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即0＜d≤3且d≠9. 綜合①②可知，所求d的變化范圍為(0,3]． 法二：如圖所示，顯然有0＜d≤|AB|. 而|AB|＝＝3. 故所求的d的變化范圍為(0,3]． (2)由圖可知，當d取最大值時，兩直線垂直于AB. 而kAB＝＝， ∴所求直線的斜率為－3. 故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)， y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 解這類題目常用的方法是待定系數法，即根據題意設出方程，然后由題意列方程求參數．也可以綜合應用直線的有關知識，充分發(fā)揮幾何圖形的直觀性，判斷直線l的特征，然后由已知條件寫出l的方程． 練一練 4．已知直線l經過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點． (1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點A(5,0)到l的距離的最大值． 解：(1)法一：聯(lián)立?交點P(2,1)， 當直線斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋1－2k＝0， ∴＝3，解得k＝， ∴l(xiāng)的方程為y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. 而直線斜率不存在時直線x＝2也符合題意， 故所求l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2. 法二：經過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或， ∴l(xiāng)的方程為4x－3y－5＝0或x＝2. (2)由解得交點P(2,1)， 過P任意作直線l，設d為A到l的距離， 則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立)， ∴dmax＝|PA|＝. —————————[課堂歸納感悟提升]——————————— 1．本節(jié)課的重點是掌握點到直線的距離公式，能用公式求點到直線的距離，會求兩條平行直線間的距離．難點是能用公式求點到直線的距離． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)點到直線的距離的求解方法，見講1. (2)求兩平行直線間的距離有兩種思路，見講2. (3)待定系數法求解有關距離問題的方法，見講3 3．本節(jié)課的易錯點是求兩條平行線間距離時易用錯公式，如講2. 課下能力提升(二十一) [學業(yè)水平達標練] 題組1　點到直線的距離 1．點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是(　　) A．3 B. C．3 D. 解析：選D　點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝. 2．點(5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于(　　) A．7 B．5 C．3 D．2 解析：選A　直線x＋2＝0，即x＝－2為平行于y軸的直線，所以點(5，－3)到x＝－2的距離d＝|5－(－2)|＝7. 3．傾斜角為60，并且與原點的距離是5的直線方程為________． 解析：因為直線斜率為tan 60＝，可設直線方程為y＝x＋b，化為一般式得x－y＋b＝0.由直線與原點距離為5，得＝5?|b|＝10.所以b＝10，所以所求直線方程為x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝0 4．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________． 解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52， ∴k＝－3，或k＝. 答案：－3或 題組2　兩條平行線間的距離 5．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選B　在l1上取一點(1，－2)，則點到直線l2的距離為＝. 6．兩平行線分別經過點A(5,0)，B(0,12)，它們之間的距離d滿足的條件是(　　) A．0＜d≤5 B．0＜d≤13 C．0＜d＜12 D．5≤d≤12 解析：選B　當兩平行線與AB垂直時，兩平行線間的距離最大，|AB|＝13，所以0＜d≤13. 7．已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－. (1)求直線l的方程； (2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程． 解：(1)由直線方程的點斜式，得y－5＝－(x＋2)， 整理得所求直線方程為3x＋4y－14＝0. (2)由直線m與直線l平行，可設直線m的方程為3x＋4y＋C＝0， 由點到直線的距離公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直線方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 題組3　距離的綜合應用 8．直線l過點A(3,4)且與點B(－3,2)的距離最遠，那么l的方程為(　　) A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0 C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0 解析：選C　由已知可知，l是過A且與AB垂直的直線，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由點斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0. 9．已知△ABC三個頂點坐標A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S. 解：由直線方程的兩點式得直線BC的方程為＝，即x－2y＋3＝0. 由兩點間距離公式得|BC|＝＝2. 設點A到BC的距離為d，即為BC邊上的高， d＝＝， 所以S＝|BC|d＝2＝4， 即△ABC的面積為4. [能力提升綜合練] 1．(2016濟寧高一檢測)兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，由平行線間的距離公式得d＝＝. 2．到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為(　　) A．3x－4y－1＝0 B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0 C．3x－4y＋1＝0 D．3x－4y－21＝0 解析：選B　設所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故選B. 3．直線2x＋3y－6＝0關于點(1，－1)對稱的直線方程是(　　) A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 解析：選D　法一：設所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0，由題意可知＝.∴C＝－6(舍)或C＝8.故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0. 法二：令(x0，y0)為所求直線上任意一點，則點(x0，y0)關于(1，－1)的對稱點為(2－x0，－2－y0)，此點在直線2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直線方程為2x＋3y＋8＝0. 4．直線l到直線x－2y＋4＝0的距離和原點到直線l的距離相等，則直線l的方程是__________． 解析：由題意設所求l的方程為x－2y＋C＝0，則＝，解得C＝2，故直線l的方程為x－2y＋2＝0. 答案：x－2y＋2＝0 5．已知直線l與直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程是____________________． 解析：法一：由題意可設l的方程為2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，則直線l的方程為2x－y＋1＝0. 法二：由題意知l必介于l1與l2中間，故設l的方程為2x－y＋c＝0，則c＝＝1. 則直線l的方程為2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 6．已知正方形ABCD一邊CD所在直線的方程為x＋3y－13＝0，對角線AC，BD的交點為P(1,5)，求正方形ABCD其他三邊所在直線的方程． 解：點P(1,5)到lCD的距離為d，則d＝. ∵lAB∥lCD，∴可設lAB：x＋3y＋m＝0. 點P(1,5)到lAB的距離也等于d， 則＝ . 又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0. ∵lAD⊥lCD，∴可設lAD：3x－y＋n＝0， 則P(1,5)到lAD的距離等于P(1,5)到lBC的距離， 且都等于d＝， ＝，n＝5，或n＝－1， 則lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0. 所以，正方形ABCD其他三邊所在直線方程為x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0. 7．已知點P(2，－1)． (1)求過點P且與原點的距離為2的直線的方程； (2)求過點P且與原點的距離最大的直線的方程，并求出最大距離； (3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出該直線的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)①當直線的斜率不存在時，方程x＝2符合題意； ②當直線的斜率存在時，設斜率為k，則直線方程應為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 根據題意，得＝2，解得k＝. 則直線方程為3x－4y－10＝0. 故符合題意的直線方程為x－2＝0或3x－4y－10＝0. (2)過點P且與原點的距離最大的直線應為過點P且與OP垂直的直線． 則其斜率k＝2，所以其方程為y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0.最大距離為， (3)不存在．理由：由于原點到過點(2，－1)的直線的最大距離為，而6＞，故不存 在這樣的直線.