北師大數(shù)學北師大版八上第1章 測試卷(3)教案
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第一章 勾股定理 章末測試卷 一、選擇題(每題4分,共28分) 1.(2018?濱州)在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為( ?。? A.5 B.6 C.7 D.8 2.(4分)(2017?興安盟)下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是( ) A.6,8,14 B.6,8,12 C.6,8,10 D.6,8,8 3.(4分)如圖,正方形ABCD的邊長為1,則正方形ACEF的面積為( ?。? A.2 B.3 C.4 D.5 4.(4分)如果梯子的底端離建筑物5米,13米長的梯子可以達到建筑物的高度是( ?。? A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 5.(4分)滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是( ?。? A.a(chǎn):b:c=3:4:5 B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a(chǎn)2:b2:c2=1:2:3 D.a(chǎn)2:b2:c2=3:4:5 6.(4分)若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為( ?。? A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm 7.(4分)如圖,正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長為1,則△ABC的形狀為( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對 二、填空:(每空4分,共計28分) 8.(4分)已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方為 ?。? 9.(4分)求如圖中直角三角形中未知的長度:b= ,c= ?。? 10.(4分)如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為 cm2. 11.(4分)小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放進去嗎?答: ?。ㄌ睢澳堋薄⒒颉安荒堋保? 12.(4分)(2018?襄陽)已知CD是△ABC的邊AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,則BC的長為 ?。? 13.(4分)(2018?福建)把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD= ?。? 14.(4分)(2018?黃岡)如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為 cm(杯壁厚度不計). 三、解答題:(每題11分,共計44分) 15.(11分)一棵樹在離地面9米處斷裂,樹的頂部落在離樹根底部12米處,求樹折斷之前的高度?(自己畫圖并解答) 16.(11分)小東與哥哥同時從家中出發(fā),小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去,哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去,半小時后,小東距哥哥多遠? 17.(11分)如圖所示,四邊形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90; (1)求BD的長; (2)求四邊形ABCD的面積. 18.(11分)如圖,有一個直角三角形紙片,兩直角邊AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊,使點C落在點E處,求三角形BDF的面積是多少? 四、附加題 19.如圖所示的一塊地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積. 20.如圖,△ABC是直角三角形,∠BAC=90,D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB、AC邊上的點,且DE⊥DF. (1)如圖1,試說明BE2+CF2=EF2; (2)如圖2,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面積. 參考答案 一、選擇題(每題4分,共28分) 1.(2018?濱州)在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為( ?。? A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可. 【解答】解:∵在直角三角形中,勾為3,股為4, ∴弦為=5. 故選:A. 【點評】本題考查了勾股定理:在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方. 2.(4分)(2017?興安盟)下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是( ?。? A.6,8,14 B.6,8,12 C.6,8,10 D.6,8,8 【考點】KS:勾股定理的逆定理. 【專題】55:幾何圖形. 【分析】根據(jù)勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長度,然后與較長的邊進行比較作出判斷即可. 【解答】解:A、∵6+8=14,∴不能組成三角形; B、=10<12,6+8>12,∴不能組成銳角三角形; C、∵=10是直角三角形,∴不能組成銳角三角形; D、∵=10>8,6+8>8,∴能組成銳角三角形. 故選:D. 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理,利用勾股定理求出直角三角形的斜邊是解題的關鍵. 3.(4分)如圖,正方形ABCD的邊長為1,則正方形ACEF的面積為( ?。? A.2 B.3 C.4 D.5 【考點】算術平方根. 【分析】根據(jù)勾股定理,可得AC的長,再根據(jù)乘方運算,可得答案. 【解答】解:由勾股定理,得AC=, 乘方,得()2=2, 故選:A. 【點評】本題考查了算術平方根,先求出AC的長,再求出正方形的面積. 4.(4分)如果梯子的底端離建筑物5米,13米長的梯子可以達到建筑物的高度是( ) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 【考點】勾股定理的應用. 【專題】應用題. 【分析】根據(jù)梯子、地面、墻正好構成直角三角形,再根據(jù)勾股定理解答即可. 【解答】解:如圖所示,AB=13米,BC=5米,根據(jù)勾股定理AC===12米. 故選A. 【點評】此題是勾股定理在實際生活中的運用,比較簡單. 5.(4分)滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是( ?。? A.a(chǎn):b:c=3:4:5 B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a(chǎn)2:b2:c2=1:2:3 D.a(chǎn)2:b2:c2=3:4:5 【考點】勾股定理的逆定理;三角形內(nèi)角和定理. 【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形,D不是直角三角形;由三角形內(nèi)角和定理得出B是直角三角形;即可得出結果. 【解答】解:∵a:b:c=3:4:5,32+42=52, ∴這個三角形是直角三角形,A是直角三角形; ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3, ∴∠C=90,B是直角三角形; ∵a2:b2:c2=1:2:3, ∴a2+b2=c2, ∴三角形是直角三角形,C是直角三角形; ∵a2:b2:c2=3:4:5, ∴a2+b2≠c2, ∴三角形不是直角三角形; 故選:D 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理;熟練掌握勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理,通過計算得出結果是解決問題的關鍵. 6.(4分)若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為( ) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm 【考點】勾股定理;等腰三角形的性質. 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質先求出BD,然后在RT△ABD中,可根據(jù)勾股定理進行求解. 【解答】解:如圖: 由題意得:AB=AC=10cm,BC=16cm, 作AD⊥BC于點D,則有DB=BC=8cm, 在Rt△ABD中,AD==6cm. 故選D. 【點評】本題考查了等腰三角形的性質及勾股定理的知識,關鍵是掌握等腰三角形底邊上的高平分底邊,及利用勾股定理直角三角形的邊長. 7.(4分)如圖,正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長為1,則△ABC的形狀為( ?。? A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對 【考點】勾股定理的逆定理;勾股定理. 【專題】網(wǎng)格型. 【分析】根據(jù)勾股定理求得△ABC各邊的長,再利用勾股定理的逆定理進行判定,從而不難得到其形狀. 【解答】解:∵正方形小方格邊長為1, ∴BC==2, AC==, AB==, 在△ABC中, ∵BC2+AC2=52+13=65,AB2=65, ∴BC2+AC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形. 故選:A. 【點評】考查了勾股定理的逆定理,解答此題要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2,則三角形ABC是直角三角形. 二、填空:(每空4分,共計28分) 8.(4分)已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方為 7或25?。? 【考點】勾股定理. 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊,也可以是一條直角邊一條斜邊,從而分兩種情況進行討論解答. 【解答】解:分兩種情況: 當3、4都為直角邊時,第三邊長的平方=32+42=25; 當3為直角邊,4為斜邊時,第三邊長的平方=42﹣32=7. 故答案為:7或25. 【點評】本題考查的是勾股定理,熟知在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵. 9.(4分)求如圖中直角三角形中未知的長度:b= 12 ,c= 10?。? 【考點】勾股定理. 【分析】根據(jù)勾股定理進行計算即可. 【解答】解:b==12; c==10, 故答案為:12;10. 【點評】本題考查的是勾股定理的應用,在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方. 10.(4分)如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為 49 cm2. 【考點】勾股定理. 【分析】根據(jù)正方形的面積公式,連續(xù)運用勾股定理,發(fā)現(xiàn):四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積. 【解答】解:由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積, 故正方形A,B,C,D的面積之和=49cm2. 故答案為:49cm2. 【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換. 11.(4分)小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放進去嗎?答: 能?。ㄌ睢澳堋薄⒒颉安荒堋保? 【考點】勾股定理的應用. 【分析】能,在長方體的盒子中,一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大,根據(jù)木箱的長,寬,高可求出最大距離,然后和木棒的長度進行比較即可. 【解答】解:能,理由如下: 可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm, 根據(jù)題意,得x2=502+402+302=5000, 702=4900, 因為4900<5000, 所以能放進去. 故答案為能. 【點評】本題考查了勾股定理的應用,解題的關鍵是求出木箱內(nèi)木棒的最大長度. 12.(4分)(2018?襄陽)已知CD是△ABC的邊AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,則BC的長為 2或2?。? 【考點】KQ:勾股定理. 【專題】552:三角形. 【分析】分兩種情況: ①當△ABC是銳角三角形,如圖1, ②當△ABC是鈍角三角形,如圖2, 分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可. 【解答】解:分兩種情況: ①當△ABC是銳角三角形,如圖1, ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=90, ∵CD=,AD=1, ∴AC=2, ∵AB=2AC, ∴AB=4, ∴BD=4﹣1=3, ∴BC===2; ②當△ABC是鈍角三角形,如圖2, 同理得:AC=2,AB=4, ∴BC===2; 綜上所述,BC的長為2或2. 故答案為:2或2. 【點評】本題考查了三角形的高、勾股定理的應用,在直角三角形中常利用勾股定理計算線段的長,要熟練掌握. 13.(4分)(2018?福建)把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD= ﹣1 . 【考點】勾股定理. 【專題】11:計算題. 【分析】先利用等腰直角三角形的性質求出BC=2,BF=AF=1,再利用勾股定理求出DF,即可得出結論. 【解答】解:如圖,過點A作AF⊥BC于F, 在Rt△ABC中,∠B=45, ∴BC=AB=2,BF=AF=AB=1, ∵兩個同樣大小的含45角的三角尺, ∴AD=BC=2, 在Rt△ADF中,根據(jù)勾股定理得,DF== ∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1, 故答案為:﹣1. 【點評】此題主要考查了勾股定理,等腰直角三角形的性質,正確作出輔助線是解本題的關鍵. 14.(4分)(2018?黃岡)如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為 20 cm(杯壁厚度不計). 【考點】KV:平面展開﹣最短路徑問題. 【專題】27:圖表型. 【分析】將杯子側面展開,建立A關于EF的對稱點A′,根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求. 【解答】解:如圖: 將杯子側面展開,作A關于EF的對稱點A′, 連接A′B,則A′B即為最短距離,A′B===20(cm). 故答案為20. 【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題,將圖形展開,利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力. 三、解答題:(每題11分,共計44分) 15.(11分)一棵樹在離地面9米處斷裂,樹的頂部落在離樹根底部12米處,求樹折斷之前的高度?(自己畫圖并解答) 【考點】勾股定理的應用. 【分析】根據(jù)勾股定理,計算樹的折斷部分是15米,則折斷前樹的高度是15+9=24米. 【解答】解:如圖所示: 因為AB=9米,AC=12米, 根據(jù)勾股定理得BC==15米, 于是折斷前樹的高度是15+9=24米. 【點評】本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵. 16.(11分)小東與哥哥同時從家中出發(fā),小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去,哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去,半小時后,小東距哥哥多遠? 【考點】勾股定理的應用. 【分析】根據(jù)題意求出小東與哥哥各自行走的距離,根據(jù)勾股定理計算即可. 【解答】解:由題意得,AC=6=3km,BC=8=4km, ∠ACB=90, 則AB==5km. 【點評】本題考查的是勾股定理的應用,正確構造直角三角形、靈活運用勾股定理是解題的關鍵. 17.(11分)如圖所示,四邊形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90; (1)求BD的長; (2)求四邊形ABCD的面積. 【考點】勾股定理;勾股定理的逆定理. 【分析】(1)在Rt△ABD中,利用勾股定理可求出BD的長度; (2)利用勾股定理的逆定理判斷出△BDC為直角三角形,根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC,即可得出答案. 【解答】解:(1)∵∠A=90, ∴△ABD為直角三角形, 則BD2=AB2+AD2=25, 解得:BD=5. (2)∵BC=13cm,CD=12cm,BD=5cm, ∴BD2+CD2=BC2, ∴BD⊥CD, 故S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=ABAD+BDDC=6+30=36. 【點評】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理,在求不規(guī)則圖形的面積時,我們可以利用分解法,將不規(guī)則圖形的面積轉化為幾個規(guī)則圖形的面積之和. 18.(11分)如圖,有一個直角三角形紙片,兩直角邊AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊,使點C落在點E處,求三角形BDF的面積是多少? 【考點】翻折變換(折疊問題). 【專題】應用題;操作型. 【分析】由折疊的性質得到三角形BDC與三角形BDE全等,進而得到對應邊相等,對應角相等,再由兩直線平行內(nèi)錯角相等,等量代換及等角對等邊得到FD=FB,設FD=FB=xcm,則AF=(8﹣x)cm,在直角三角形AFB中,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出FD的長,進而求出三角形BDF面積. 【解答】解:由折疊可得:△BDC≌△BDE, ∴∠CBD=∠EBD,BC=BE=8cm,ED=DC=AB=6cm, ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴∠ADB=∠EBD, ∴FD=FB, 設FD=FB=xcm,則有AF=AD﹣FD=(8﹣x)cm, 在Rt△ABF中,根據(jù)勾股定理得:x2=(8﹣x)2+62, 解得:x=,即FD=cm, 則S△BDF=FD?AB=cm2. 【點評】此題考查了翻折變換(折疊問題),涉及的知識有:折疊的性質,全等三角形的性質,平行線的性質,等腰三角形的判定,以及勾股定理,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵. 四、附加題 19.如圖所示的一塊地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積. 【考點】勾股定理的應用;三角形的面積;勾股定理的逆定理. 【專題】應用題. 【分析】連接AC,運用勾股定理逆定理可證△ACD,△ABC為直角三角形,可求出兩直角三角形的面積,此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差. 【解答】解:連接AC,則在Rt△ADC中, AC2=CD2+AD2=122+92=225, ∴AC=15,在△ABC中,AB2=1521, AC2+BC2=152+362=1521, ∴AB2=AC2+BC2, ∴∠ACB=90, ∴S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣AD?CD=1536﹣129=270﹣54=216. 答:這塊地的面積是216平方米. 【點評】解答此題的關鍵是通過作輔助線使圖形轉化成特殊的三角形,可使復雜的求解過程變得簡單. 20.如圖,△ABC是直角三角形,∠BAC=90,D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB、AC邊上的點,且DE⊥DF. (1)如圖1,試說明BE2+CF2=EF2; (2)如圖2,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面積. 【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;等腰直角三角形. 【分析】(1)延長ED至點G,使得EG=DE,連接FG,CG,易證EF=FG和△BDE≌△CDG,可得BE=CG,∠DCG=∠DBE,即可求得∠FCG=90,根據(jù)勾股定理即可解題; (2)連接AD,易證∠ADE=∠CDF,即可證明△ADE≌△CDF,可得AE=CF,BE=AF,S四邊形AEDF=S△ABC,再根據(jù)△DEF的面積=S△ABC﹣S△AEF,即可解題. 【解答】(1)證明:延長ED至點G,使得DG=DE,連接FG,CG, ∵DE=DG,DF⊥DE, ∴DF垂直平分DE, ∴EF=FG, ∵D是BC中點, ∴BD=CD, 在△BDE和△CDG中, , ∴△BDE≌△CDG(SAS), ∴BE=CG,∠DCG=∠DBE, ∵∠ACB+∠DBE=90, ∴∠ACB+∠DCG=90,即∠FCG=90, ∵CG2+CF2=FG2, ∴BE2+CF2=EF2; (2)解:連接AD, ∵AB=AC,D是BC中點, ∴∠BAD=∠C=45,AD=BD=CD, ∵∠ADE+∠ADF=90,∠ADF+∠CDF=90, ∴∠ADE=∠CDF, 在△ADE和△CDF中, , ∴△ADE≌△CDF(ASA), ∴AE=CF,BE=AF,AB=AC=17, ∴S四邊形AEDF=S△ABC, ∴S△AEF=512=30, ∴△DEF的面積=S△ABC﹣S△AEF=. 【點評】本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對應邊相等的性質,本題中求證△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解題的關鍵. 關注“初中教師園地”公眾號 2019秋季各科最新備課資料陸續(xù)推送中 快快告訴你身邊的小伙伴們吧~ 第21頁(共21頁)- 配套講稿:
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