北京工業(yè)大學(xué)高數(shù)上課件第五章第一節(jié).ppt

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應(yīng)用數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科部 AdvancedMathematics 高等數(shù)學(xué) 第五章定積分 5 1定積分的概念5 2定積分的性質(zhì)5 3微積分基本公式5 4定積分的計(jì)算5 5廣義積分5 6定積分的幾何應(yīng)用5 7定積分的物理應(yīng)用 下面圖形的面積是什么 定積分的概念 一 背景來(lái)源 面積的計(jì)算 所圍成的平面圖形 引例一求曲邊梯形的面積 曲邊梯形是指由連續(xù)曲線 x軸與兩條直線 矩形面積 用矩形面積之和近似取代曲邊梯形面積 曲邊梯形面積 五個(gè)小矩形 十個(gè)小矩形 思想 以直代曲 顯然 小矩形越多 矩形面積之和越接近 應(yīng)用極限的思想 分四步求面積A 1 分割 2 取近似 長(zhǎng)度為 為高的小矩形 面積近似代替 任意用分點(diǎn) 3 求和 這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形 面積A的近似值 4 求極限 為了得到A的精確值 分割無(wú)限加細(xì) 取極限 形的面積 極限值就是曲邊梯 即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度 設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng) 已知速度 是時(shí)間間隔 的一個(gè)連續(xù)函數(shù) 求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 引例二求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 思路 把整段時(shí)間分割成若干小段 每小段上 速度看作不變 求出各小段的路程再相加 得到路程的近似值 最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限 細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值 3 求和 4 取極限 路程的精確值 2 取近似 1 分割 上述兩個(gè)問(wèn)題的共性 解決問(wèn)題的方法步驟相同 分割 近似 求和 取極限 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同 特殊結(jié)構(gòu)的和式的極限 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上有界 定義5 1 把區(qū)間 a b 分成n個(gè)小區(qū)間 各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為 一點(diǎn) 作乘積 如果不論對(duì) a b 1 在 a b 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) 2 在各小區(qū)間上任取 3 并作和 4 記 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 記為 積分和 怎樣的分法 怎樣的取法 只要當(dāng) 和S總趨于確定的 極限I 稱這個(gè)極限I為函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的 定積分 積分下限 積分上限 積分變量 a b 稱為積分區(qū)間 也不論在小區(qū)間上點(diǎn) 面積 路程 說(shuō)明 如果f x 在 a b 上的定積分存在 f x 在 a b 上可積 否則 稱f x 在 a b 上不可積 則稱 十七世紀(jì)下半葉 在前人工作的基礎(chǔ)上 英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作 牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮 萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的 注意 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) 而與積分變量的字母無(wú)關(guān) 定義中區(qū)間 a b 的分法和 的取法是任意的 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號(hào)無(wú)關(guān)性進(jìn)行推理 2 1 3 可積 存在 4 可積 某一特殊分割和特殊取點(diǎn)法 極限存在 實(shí)際上 任意分割及在上 特殊和式的極限 極限過(guò)程是 定理5 1 定積分的存在定理 有限個(gè)間斷點(diǎn) 則f x 在區(qū)間 a b 上可積 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上有界 且最多只有 1 若函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 則f x 在區(qū)間 a b 上可積 則f x 在區(qū)間 a b 上可積 3 若函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào) 定積分的幾何意義 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積的負(fù)值 幾何意義 取負(fù)號(hào) 它是介于x軸 函數(shù)f x 的圖形及兩條 直線x a x b之間的各部分面積的代數(shù)和 在x軸上方的面積取正號(hào) 在x軸下方的面積 例求 解 物理意義 t b所經(jīng)過(guò)的路程s 作直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻t a到時(shí)刻 定積分 表示以變速 例1利用定義計(jì)算定積分 解 將 0 1 n等分 分點(diǎn)為 小區(qū)間的長(zhǎng)度 取 解 原式 例2將和式極限 表示成定積分 注 原式也可表示成 例3設(shè)函數(shù)f x 在區(qū)間 0 1 上連續(xù) 且取正值 試證 證由指數(shù)與對(duì)數(shù)的連續(xù)性 有 作業(yè)P205習(xí)題5 1 2 由定積分的幾何意義 面積的代數(shù)和 也可得 奇 偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分性質(zhì) 且有 則 則