2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.2.2 復(fù)數(shù)的乘法學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc
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3.2.2 復(fù)數(shù)的乘法 1.能運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行簡單的計(jì)算. 2.掌握虛數(shù)單位“i”的冪的規(guī)律進(jìn)行化簡求值. 復(fù)數(shù)的乘法 (1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算來進(jìn)行,只是在遇到i2時(shí),要把______換成______,并把最后的結(jié)果寫成a+bi(a,b∈R)的形式. (2)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的乘積等于這個(gè)復(fù)數(shù)(或其共軛復(fù)數(shù))模的______. (1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍為復(fù)數(shù). (2)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足:①交換律:z1z2=z2z1;②結(jié)合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);③乘法對(duì)加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. (3)對(duì)復(fù)數(shù)z1,z2,z和自然數(shù)m,n有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=zz.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立. 【做一做1-1】計(jì)算(1-i)4得( ). A.4 B.-4 C.4i D.-4i 【做一做1-2】(1-2i)(3+4i)(-2+i)的運(yùn)算結(jié)果是________. 共軛復(fù)數(shù)有哪些運(yùn)算性質(zhì)? 剖析:(1)z=|z|2=||2; (2)=()2; (3)=; (4)=. 題型一 復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算【例題1】計(jì)算:(2-3i)(3+2i) 分析:根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算即可. 反思:復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法類似,在計(jì)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí),先按多項(xiàng)式的乘法展開,再將i2換成-1,最后合并同類項(xiàng)即可. 題型二 i的冪的運(yùn)算 【例題2】已知等比數(shù)列z1,z2,z3,…,zn,其中z1=1,z2=x+yi,z3=y(tǒng)+xi(x,y∈R,且x>0). (1)求x,y的值; (2)試求使z1+z2+z3+…+zn=0的最小正整數(shù)n; (3)對(duì)(2)中的正整數(shù)n,求z1z2z3…zn的值. 分析:借助等比數(shù)列建立等式關(guān)系,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來求解,進(jìn)而得到數(shù)列通項(xiàng)公式,然后便使問題逐步得以解決. 反思:(1) (2)in+in+1+in+2+in+3=0,n∈Z. 題型三 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 【例題3】若z,z0∈C,z≠z0,且|z|=2,求的值. 分析:要用z表示比較困難,z0沒有具體給出,要想求的值,必須充分利用|z|=2,為此要考慮用|z|的性質(zhì)|z|2= 反思:是在求解復(fù)數(shù)問題時(shí)常用的一個(gè)公式. 題型四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn):有些同學(xué)總認(rèn)為只要是復(fù)數(shù)式子就不能比較大小,這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤原因是:若兩復(fù)數(shù)經(jīng)化簡后為實(shí)數(shù),則能比較大小,因此要注意運(yùn)算時(shí)式子中的隱含條件. 【例題4】已知z1,z2∈C,且z1z2≠0,,問A,B可否比較大???并說明理由. 錯(cuò)解:因?yàn)閦1,z2∈C,且z1z2≠0,所以A∈C,而B=|z1|2+|z2|2∈R,所以A,B不能比較大小. 1設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1z2∈R,則x等于( ). A.-2 B.-1 C.1 D.2 2設(shè)復(fù)數(shù),則z2-2z等于( ). A.-3 B.3 C.-3i D.3i 3設(shè)z∈C,,,則復(fù)數(shù)z1與z2的關(guān)系是( ). A.z1≤z2 B.z1≥z2 C.z1=z2 D.不能比較大小 4已知復(fù)數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù),則z=________. 5已知復(fù)數(shù)z1=cos θ-i,z2=sin θ+i,則z1z2的實(shí)部的最大值為________,虛部的最大值為________. 答案: 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1.(1)i2?。? (2)平方 【做一做1-1】B (1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4. 【做一做1-2】-20+15i (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解:(2-3i)(3+2i)=6+4i-9i-6i2=6+4i-9i+6=12-5i. 【例題2】解:(1)由z1z3=z,得(x+yi)2=y(tǒng)+xi, 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得(x>0).解得 (2)z1=1,z2=+i,q=+i,則zn=n-1,于是z1+z2+…+zn=1+q+q2+…+qn-1==0,則qn=n=1,即n既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù). 故n為12的倍數(shù),所求最小的正整數(shù)n為12. (3)z1z2…z12=12…11=1+2+…+11=66=(-i)6666=-1. 【例題3】解法一:∵|z|=2,|z|2=z=4, ∴====. 解法二:2====, ∴=. 【例題4】錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中直接由z1C,z2C得AC是不嚴(yán)密的,事實(shí)上只要求出就能發(fā)現(xiàn)A為實(shí)數(shù). 正解:因?yàn)锳=z1+z2,故=z2+z1=A,即AR,而B=z1+z2=|z1|2+|z2|2R,所以A,B可以比較大小,且有 A-B=z1+z2-(z1+z2)=z1(-)+z2(-)=-(z1-z2)()=-|z1-z2|2≤0, 故有A-B≤0,即A≤B. 隨堂練習(xí)鞏固 1.A ∵z1z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(x+2)iR,∴x+2=0,∴x=-2. 2.A z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=-1+2i-2-2i=-3. 3.A 設(shè)z=a+bi(a,bR),則z2=a2-b2+2abi,=a2-b2-2abi,z2-=4abi,所以2iz1=4abi,∴z1=2ab,z2=z=a2+b2≥2ab. 4.-2i 設(shè)z=bi(bR,且b≠0),則(bi+2)2-8i=(4-b2)+(4b-8)i為純虛數(shù).所以所以即b=-2. 5. z1z2=(cos θsin θ+1)+(cos θ-sin θ)i,實(shí)部為cos θsin θ+1=1+sin 2θ≤,故實(shí)部的最大值為,虛部為-sin θ+cos θ=sin≤,故虛部的最大值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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