廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練20 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及應(yīng)用 文.docx

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考點(diǎn)規(guī)范練20　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用 一、基礎(chǔ)鞏固 1.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.T=6,φ=π6 B.T=6,φ=π3 C.T=6π,φ=π6 D.T=6π,φ=π3 答案A 解析最小正周期為T=2ππ3=6; 由2sinφ=1,得sinφ=12,又|φ|<π2,所以φ=π6. 2.要得到函數(shù)y=cos(2x+1)的圖象,只要將函數(shù)y=cos 2x的圖象(　　) A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移12個(gè)單位長(zhǎng)度 答案C 解析∵y=cos(2x+1)=cos2x+12,∴只要將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度即可. 3.如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sinπ6x+φ+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 答案C 解析因?yàn)閟inπ6x+φ∈[-1,1],所以函數(shù)y=3sinπ6x+φ+k的最小值為k-3,最大值為k+3. 由題圖可知函數(shù)最小值為k-3=2,解得k=5. 所以y的最大值為k+3=5+3=8,故選C. 4.將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移π8個(gè)單位,所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的一個(gè)可能取值為(　　) A.3π4 B.π4 C.0 D.-π4 答案B 解析由題意可知平移后的函數(shù)為y=sin2x+π8+φ=sin2x+π4+φ. 由平移后的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可得π4+φ=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+π4(k∈Z),故選B. 5.(2018天津,文6)將函數(shù)y=sin2x+π5的圖象向右平移π10個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　) A.在區(qū)間-π4,π4上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間-π4,0上單調(diào)遞減 C.在區(qū)間π4,π2上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間π2,π上單調(diào)遞減 答案A 解析將函數(shù)y=sin2x+π5的圖象向右平移π10個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2x-π10+π5=sin2x,該函數(shù)在-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z)上單調(diào)遞增,在π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z)上單調(diào)遞減,結(jié)合選項(xiàng)可知選A. 6.若函數(shù)f(x)=2sin 2x的圖象向右平移φ0<φ<π2個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值為π6,則φ=(　　) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 答案C 解析由函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向右平移φ0<φ<π2個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=2sin[2(x-φ)]的圖象,可知對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值為T2-φ.故T2-φ=π6,即φ=π3. 7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則y=fx+π6取得最小值時(shí)x的集合為(　　) A.xx=kπ-π6,k∈Z B.xx=kπ-π3,k∈Z C.xx=2kπ-π6,k∈Z D.xx=2kπ-π3,k∈Z 答案B 解析根據(jù)所給圖象,周期T=47π12-π3=π,故π=2πω,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又圖象經(jīng)過(guò)7π12,0,代入有27π12+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<π2,得φ=-π6,故fx+π6=sin2x+π6,當(dāng)2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)時(shí),y=fx+π6取得最小值. 8. 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,把f(x)的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g52= (　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案A 解析根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖象,可得A=2,142πω=56-13,求得ω=π. 根據(jù)五點(diǎn)作圖法可得π13+φ=π2,2kπ(k∈Z),結(jié)合|φ|<π2,求得φ=π6,故f(x)=2sinπx+π6. 把f(x)的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)=2sinπx+12+π6=2cosπx+π6的圖象, 則g52=2cos5π2+π6=2cos2π3=-1,故選A. 9.若關(guān)于x的方程2sin2x+π6=m在區(qū)間0,π2上有兩個(gè)不等實(shí)根,則m的取值范圍是(　　) A.(1,3) B.[0,2] C.[1,2) D.[1,3] 答案C 解析方程2sin2x+π6=m可化為sin2x+π6=m2,當(dāng)x∈0,π2時(shí),2x+π6∈π6,7π6, 畫出函數(shù)y=f(x)=sin2x+π6在區(qū)間0,π2上的圖象如圖所示. 由題意,得12≤m2<1,即1≤m<2, ∴m的取值范圍是[1,2),故選C. 10.將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ≤π2圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,再向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin x的圖象,則fπ6=　　　　　. 答案22 解析函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半, 得到y(tǒng)=sin(2ωx+φ)的圖象,再向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度, 得到y(tǒng)=sin2ωx-π6+φ=sin2ωx-ωπ3+φ的圖象. 由題意知sin2ωx-ωπ3+φ=sinx, 所以2ω=1,-ωπ3+φ=2kπ(k∈Z), 又-π2≤φ≤π2,所以ω=12,φ=π6, 所以f(x)=sin12x+π6. 所以fπ6=sin12π6+π6=sinπ4=22. 11. 已知函數(shù)y=g(x)的圖象由f(x)=sin 2x的圖象向右平移φ(0<φ<π)個(gè)單位得到,這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則φ=　　　　　. 答案π3 解析函數(shù)f(x)=sin2x的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱軸為2x=π2,則x=π4. x=π8關(guān)于x=π4對(duì)稱的直線為x=3π8,由圖象可知,通過(guò)向右平移之后,橫坐標(biāo)為x=3π8的點(diǎn)平移到x=17π24, 則φ=17π24-3π8=π3. 12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+π6,則下列命題: ①f(x)的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱; ②f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π6,0對(duì)稱; ③f(x)的最小正周期為π,且在區(qū)間0,π12上為增函數(shù); ④把f(x)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度,得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象. 其中正確的命題的序號(hào)為　　　　　. 答案③④ 解析對(duì)于①,fπ3=sin2π3+π6=sin5π6=12,不是最值,因此x=π3不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸,故該命題錯(cuò)誤; 對(duì)于②,fπ6=sin2π6+π6=1≠0,因此點(diǎn)π6,0不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心,故該命題錯(cuò)誤; 對(duì)于③,函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2π2=π,當(dāng)x∈0,π12時(shí),令t=2x+π6∈π6,π3,顯然函數(shù)y=sint在區(qū)間π6,π3上為增函數(shù),因此函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π12上為增函數(shù),故該命題正確; 對(duì)于④,把f(x)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=sin2x-π12+π6=sin2x,是奇函數(shù),故該命題正確. 二、能力提升 13.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=2π3時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.f(2)0, f(2)=Asin4+π6=32Asin4+A2cos4<0,f(-2)=Asin-4+π6=-32Asin4+A2cos4. 因?yàn)閒(2)-f(-2)=3Asin4<0,所以f(2)sinπ+π6=-12, 即sin4-π6+12>0,所以f(-2)0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(　　) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24 答案A 解析由題意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥142πω, 所以23≤ω<1.所以排除C,D. 當(dāng)ω=23時(shí),f5π8=2sin5π823+φ=2sin5π12+φ=2, 所以sin5π12+φ=1. 所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z). 因?yàn)閨φ|<π,所以φ=π12.故選A. 15.(2018湖北武漢四校聯(lián)考)現(xiàn)將函數(shù)f(x)=sin2x+2π3的圖象向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,a3和4a,7π6上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.π3,π2 B.π6,π3 C.π6,7π24 D.π4,3π8 答案C 解析∵函數(shù)f(x)=sin2x+2π3的圖象向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象, ∴g(x)=sin2x-π4+2π3=sin2x+π6,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z, 即函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為kπ-π3,kπ+π6,k∈Z. 又∵函數(shù)g(x)在區(qū)間0,a3和4a,7π6上均單調(diào)遞增, ∴a3≤π6,a3>0,4a≥2π3,4a<7π6,解得π6≤a<7π24. 16.已知函數(shù)y=3sin12x-π4. (1)用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象; (2)說(shuō)明此圖象是由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎么樣的變化得到的. 解(1)列表: x π2 32π 52π 72π 92π 12x-π4 0 π2 π 32π 2π 3sin12x-π4 0 3 0 -3 0 描點(diǎn)、連線,如圖所示: (2)(方法一)“先平移,后伸縮”. 先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sinx-π4的圖象,再把y=sinx-π4的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin12x-π4的圖象,最后將y=sin12x-π4的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變),就得到y(tǒng)=3sin12x-π4的圖象. (方法二)“先伸縮,后平移” 先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin12x的圖象,再把y=sin12x圖象上所有的點(diǎn)向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度, 得到y(tǒng)=sin12x-π2=sinx2-π4的圖象,最后將y=sinx2-π4的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變),就得到y(tǒng)=3sin12x-π4的圖象. 三、高考預(yù)測(cè) 17.已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求證:當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),f(x)≥-12. (1)解f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x =12sin2x+32cos2x=sin2x+π3. 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)證明因?yàn)?π4≤x≤π4, 所以-π6≤2x+π3≤5π6. 所以sin2x+π3≥sin-π6=-12. 所以當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),f(x)≥-12.