2020高考數(shù)學大一輪復習 第五章 數(shù)列 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和檢測 理 新人教A版.doc

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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 限時規(guī)范訓練(限時練夯基練提能練) A級　基礎夯實練 1．(2018四川綿陽診斷性考試)設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：選B.設數(shù)列{an}的公比為q，則顯然q≠1，由題意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝. 2．(2018浙江麗水模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝a2n－1＋，則a的值為(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：選A.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a2n－1－a2n－2＝a2n－2，當n＝1時，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－. 3．(2018東北六校聯(lián)考)已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則的值為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.因為1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以b＝19＝9，因為b＝b2＞0，所以b2＝3，所以＝. 4．(2018河北三市第二次聯(lián)考)古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：選B.設該女子第一天織布x尺，則＝5，得x＝， ∴前n天所織布的尺數(shù)為(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，則n的最小值為8. 5．(2018福州模擬)已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－5 B．－ C．5 D． 解析：選A.因為log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an. 所以數(shù)列{an}是公比q＝3的等比數(shù)列， 所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9. 所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝933＝35. 所以log35＝－log335＝－5. 6．(2018河南四校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，則＋＋…＋的值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：選A.由分數(shù)的性質得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因為a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2. 7．(2018青島二模)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范圍是(　　) A．[12,16] B． C. D． 解析：選C.因為{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－q2n)∈，故選C. 8．(2018蘭州、張掖聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn＝，若b10b11＝2，則a21＝________. 解析：∵b1＝＝a2，b2＝， ∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝， ∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3…bn－1， ∴a21＝b1b2b3…b20＝(b10b11)10＝210＝1 024. 答案：1 024 9．設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10， ∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n ＝23n－＋＝2－＋n. 記t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋， 結合n∈N*可知n＝3或4時，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64. 答案：64 10．(2018廣東中山調研)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 解：(1)∵S1＝a1＝1， 且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列， ∴Sn＝2n－1， 又當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2. 當n＝1時a1＝1，不適合上式． ∴an＝ (2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列， ∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝. ∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝. B級　能力提升練 11．設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　) A．充要條件　　　　　　 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.若對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0，則a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，則a1＋a2＝1－1＝0，不滿足對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分條件，故選C. 12．(2018濟南模擬)設數(shù)列{an}是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　) A．15 B．60 C．63 D．72 解析：選B.由數(shù)列{an}是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，得數(shù)列{an}的通項公式為an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，得數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝b1qn－1＝2n－1，所以ban＝2n＋1，所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝＝60. 13．(2018湖北黃石檢測)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比數(shù)列，若a1＝5，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為________． 解析：由于a2，a5－1，a10成等比數(shù)列，所以(a5－1)2＝a2a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)(a1＋9d)，又a1＝5，所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋d＝5n＋n(n－1)，所以＝＝[3(n＋1)＋＋2]≥，當且僅當3(n＋1)＝，即n＝2時等號成立． 答案： 14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. 解：(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝得1－5＝，即5＝. 解得λ＝－1. 15．(2018河北省“五個一名校聯(lián)盟”高三模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19. (1)求{an}，{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項和Tn. 解：(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6， ∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19， ∴b1＝1， ∵b2＝2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列， ∴bn＝2n－1. ∴b3＝4， ∵a1b3＝12，∴a1＝3， ∵a2＝6，數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴an＝3n. (2)設Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1， 則Cn＋1＝(－1)n＋12n， ∴＝－2， 又C1＝－1， ∴數(shù)列{bncos(anπ)}是以－1為首項、－2為公比的等比數(shù)列． ∴Tn＝＝[(－2)n－1]． C級　素養(yǎng)加強練 16．(2018遼寧鞍山模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由． 解：(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由已知可得 解得或 故an＝3n－1，或an＝－5(－1)n－1. (2)若an＝3n－1，則＝n－1， 故是首項為，公比為的等比數(shù)列 ， 從而＝＝＜＜1. 若an＝(－5)(－1)n－1， 則＝－(－1)n－1， 故是首項為－，公比為－1的等比數(shù)列，從而 ＝ 故＜1. 綜上，對任意正整數(shù)m，總有＜1. 故不存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1成立．