2018年3月中考數(shù)學模擬試卷與答案

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2018 年 3 月中考數(shù)學模擬試卷與答案一．選擇題（共 8 小題，滿分 24 分）1．絕對值等于 2 是（ ）A．2 B． ﹣2 C．2 或﹣2 D． 2．下列計算一定正確的是（ ）A． （a3 ）2=a5 B．a(chǎn)3?a2=a5 C．a(chǎn)3+a2=a5 D． a3﹣a2=a 3．如圖是用八塊完全相同的小正方體搭成的幾何體，從左面看幾何體得到的圖形是（ ）A． B． C． D． 4．如圖，直線 AB∥CD ，∠C=44°，∠E 為直角，則∠1 等于（ ）A．132° B．134° C．136° D． 138° 5．不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為（ ）A． B． C． D． 6．如圖，已知點 E（﹣4，2） ，F(xiàn)（ ﹣2 ，﹣2） ，以 O為位似中心，按比例尺 1：2，把△EFO 縮小，則點E 的對應(yīng)點 E′的坐標為（ ）A． （2 ， ﹣1）或（ ﹣2，1） B． （8 ，﹣4）或（﹣8，﹣4） C． （2，﹣1） D． （8，﹣4） 7．下列說法正確的個數(shù)是（ ）①一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只有一個②樣本的方差越小，波動性越小，說明樣本穩(wěn)定性越好③一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的某一數(shù)據(jù)④數(shù)據(jù)：1， 1，3，1 ，1， 2 的眾數(shù)為 4 ⑤一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)．A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．4 個 8．如圖，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，則下列結(jié)論：①DE=CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC=∠BDE；④BE+AC=AB，其中正確的是（ ）A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個 二．填空題（共 8 小題，滿分 24 分，每小題 3 分）9．據(jù)統(tǒng)計，今年無錫黿頭渚“櫻花節(jié)”活動期間入園賞櫻人數(shù)約 803 萬人次，用科學記數(shù)法可表示為 人次．10．一只螞蟻在如圖所示的七巧板上任意爬行，已知它停在這副七巧板上的任何一點的可能性都相同，那么它停在 1 號板上的概率是 ．11．分解因式：a3﹣a= ．12．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A，點 B 的坐標分別為（0，2） ， （﹣1，0） ，將線段 AB 沿 x 軸的正方向平移，若點 B 的對應(yīng)點的坐標為 B'（2 ，0） ，則點 A 的對應(yīng)點 A'的坐標為 ．13．關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值范圍是 ．14．如圖，四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形， 若四邊形 ABCO 為平行四邊形，則∠ADB= ．15．如圖所示，D、E 分別是△ABC 的邊 AB、BC 上的點，DE∥AC，若 S△BDE：S △CDE=1：3，則 S△BDE：S 四邊形 DECA 的值為 ．16．如圖，點 A 在雙曲線 上，點 B 在雙曲線 y= 上，且 AB∥x 軸，C、D 在 x 軸上，若四邊形 ABCD 為矩形，則它的面積為 ．三．解答題（共 2 小題，滿分 16 分，每小題 8 分）17． （ 8 分）先化簡，再求代數(shù)式（ +x﹣1）÷ 的值，其中 x=3tan30°．18． （ 8 分）如圖：已知：AD 是△ABC 的角平分線，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F．（1 ）求證：四邊形 AEDF 是菱形；（2 ）當△ABC 滿足什么條件時，四邊形 AEDF 是正方形？四．解答題（共 2 小題，滿分 20 分，每小題 10 分）19． （ 10 分）某初中在“讀書共享月”活動中．學生都從家中帶了圖書到學校給大家共享閱讀．經(jīng)過抽樣調(diào)查得知，初一人均帶了 2 冊；初二人均帶了 3.5 冊：初三人均帶了 2.5 冊．已知各年級學生人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖如圖所示，其中初三共有 210 名學生．請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1 ）扇形統(tǒng)計圖中，初三年級學生數(shù)所對應(yīng)的圓心角為 °；（2 ） 該初中三個年級共有 名學生；（3 ）估計全校學生人均約帶了多少冊書到學校？20． （ 10 分）如圖，在一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中，指針位置固定，三個扇形的面積都相等，且分別標有數(shù)字 1，2，3．（1 ）小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針所指扇形中的數(shù)字是奇數(shù)的概率為 ；（2 ）小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄下指針所指扇形中的數(shù)字；接著再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，再次記錄下指針所指扇形中的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的概率（用畫樹狀圖或列表等方法求解） ．五．解答題（共 2 小題，滿分 20 分，每小題 10 分）21． （ 10 分）小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖 1） ，完全開啟后，把手 AM 的仰角 α=37°，此時把手端點 A、出水口 B 和點落水點 C 在同一直線上，洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖 2． （參考數(shù)據(jù)：sin37°= ，cos37°= ，tan37°= ）（1 ）求把手端點 A 到 BD 的距離；（2 ）求 CH 的長．22． （ 10 分）如圖，AB 為⊙O 的直徑，割線 PCD 交⊙O 于 C、D，∠PAC=∠PDA ．（1 ）求證：PA 是⊙O 的切線；（2 ）若 PA=6，CD=3PC，求 PD 的長．六．解答題（共 2 小題，滿分 20 分，每小題 10 分）23． （ 10 分）如圖，已知直線 y= x 與雙曲線 y= 交于A、B 兩點，且點 A 的橫坐標為 ．（1 ）求 k 的值；（2 ）若雙曲線 y= 上點 C 的縱坐標為 3，求△AOC 的面積；（3 ）在坐標軸上有一點 M，在直線 AB 上有一點 P，在雙曲線 y= 上有一點 N，若以 O、M 、P、N 為頂點的四邊形是有一組對角為 60°的菱形，請寫出所有滿足條件的點 P 的坐標．24． （ 10 分）甲、乙兩車分別從相距 480km 的 A、B兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā) 1 小時，并以各自的速度勻速行駛，途經(jīng) C 地，甲車到達 C 地停留 1小時，因有事按原路原速返回 A 地．乙車從 B 地直達 A 地，兩車同時到達 A 地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程 y（千米）與甲車出發(fā)所用的時間 x（小時）的關(guān)系如圖，結(jié)合圖象信息解答下列問題：（1 ）乙車的速度是 千米/時，t= 小時；（2 ）求甲車距它出發(fā)地的路程 y 與它出發(fā)的時間 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3 ）直接寫出乙車出發(fā)多長時間兩車相距 120 千米．七．解答題（共 1 小題）25．如圖，在等腰直角△ABC 中，∠C 是直角，點 A在直線 MN 上，過點 C 作 CE⊥MN 于點 E，過點 B作 BF⊥MN 于點 F．（1 ）如圖 1，當 C，B 兩點均在直線 MN 的上方時，①直接寫出線段 AE，BF 與 CE 的數(shù)量關(guān)系．②猜測線段 AF，BF 與 CE 的數(shù)量關(guān)系，不必寫出證明過程．（2 ）將等腰直角△ABC 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn)至圖 2位置時，線段 AF，BF 與 CE 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并寫出證明過程．（3 ）將等腰直角△ABC 繞著點 A 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖 3 位置時，BF 與 AC 交于點 G，若 AF=3，BF=7，直接寫出FG 的長度．八．解答題（共 1 小題，滿分 14 分，每小題 14 分）26． （ 14 分）已知：如圖，拋物線 y= x2+bx+c 與 x 軸交于 A（﹣1，0） 、B 兩點（A 在 B 左） ，y 軸交于點C（0，﹣3） ．（1 ）求拋物線的解析式；（2 ）若點 D 是線段 BC 下方拋物線上的動點，求四邊形 ABDC 面積的最大值；（3 ）若點 E 在 x 軸上，點 P 在拋物線上．是否存在以 B、C、E 、P 為頂點且以 BC 為一邊的平行四邊形？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案一．選擇1．【解答】解：∵|2|=2，|﹣2|=2，∴絕對值等于 2 是±2，故選：C．2．【解答】解：A、 （ a3）2=a6 ，錯誤；B、a3 ?a2=a5，正確；C、a3+a2=a3+a2，錯誤；D、 a3﹣a2=a3﹣a2，錯誤；故選：B．3．【解答】解：從左面看易得上面一層左邊有 1 個正方形，下面一層有 2 個正方形．故選：A．4．【解答】解： 過 E 作 EF∥AB，∵AB∥CD ，∴AB∥CD ∥EF ，∴∠C=∠FEC ，∠BAE= ∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC 為直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180 °﹣46° =134°，故選：B．5．【解答】解： ，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式組得解集為：x≥2．在數(shù)軸上表示為：．故選：A．6．【解答】解：以 O 為位似中心，按比例尺 1：2 ，把△EFO 縮小，則點 E 的對應(yīng)點 E′的坐標為（﹣4× ，2 × ）或[﹣4×（ ﹣ ） ，2 ×（﹣ ）] ，即（2，﹣1）或（﹣2，1） ，故選：A．7．【解答】解：①一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有一個也可以有多個，①說法錯誤；②樣本的方差越小，波動越小，說明樣本穩(wěn)定性越好，②說法正確；③一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)中的某一數(shù)據(jù)，③說法錯誤；④數(shù)據(jù)：1，1，3，1，1，2 的眾數(shù)為 1，④說法錯誤；⑤一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)或 0，⑤說法錯誤，故選：B．8．【解答】解：①∵∠C=90 °，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD；所以此選項結(jié)論正確；②∵DE=CD，AD=AD，∠ACD=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED ，∴∠ADC=∠ADE，∴AD 平分∠CDE，所以此選項結(jié)論正確；③∵∠ACD=∠AED=90°，∴∠CDE+ ∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°，∵∠BDE+∠CDE=180°，∴∠BAC=∠BDE，所以此選項結(jié)論正確；④∵△ACD≌△AED ，∴AC=AE，∵AB=AE+BE，∴BE+AC=AB，所以此選項結(jié)論正確；本題正確的結(jié)論有 4 個，故選 D．二．填空題9．【解答】解：803 萬=8 030 000=8.03×106．故答案為：8.03×106．10．【解答】解：因為 1 號板的面積占了總面積的 ，故停在 1 號板上的概率= ．11．【解答】解：a3﹣a ，=a（ a2﹣1） ，=a（ a+1） （a﹣1） ．故答案為：a（a+1） （a﹣1） ．12．【解答】解：∵將線段 AB 沿 x 軸的正方向平移，若點 B 的對應(yīng)點 B′的坐標為（2， 0） ，∵﹣1+3=2 ，∴0+3=3∴A′（3，2） ，故答案為：（3，2）13．【解答】解：由已知得：△=4﹣4k ＞0，解得：k＜1．故答案為：k＜1．14．【解答】解：∵四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵ 四邊形 ABCO 為平行四邊形，∴∠AOC= ∠ABC ，由圓周角定理得，∠ADC= ∠AOC，∴∠ADC+2∠ADC=180 °，∴∠ADC=60 °，∵OA=OC，∴平行四邊形 ABCO 為菱形，∴BA=BC，∴ = ，∴∠ADB= ∠ADC=30°，故答案為：30°．15．【解答】解：∵S△BDE ：S△CDE=1：3 ，∴BE：EC=1：3，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA ，∴S△BDE：S△BCA=（ ）2=1：16，∴S△BDE：S 四邊形 DECA=1：15，故答案為：1：15．16．【解答】解：過 A 點作 AE⊥y 軸，垂足為 E，∵點 A 在雙曲線 上，∴四邊形 AEOD 的面積為 1，∵點 B 在雙曲線 y= 上，且 AB∥x 軸，∴四邊形 BEOC 的面積為 3，∴矩形 ABCD 的面積為 3﹣1=2．故答案為：2．三．解答題17．【解答】解：原式=（ + ）÷ = ? = ，當 x=3tan30°=3× = 時，原式= = ．18．【 解答】解：（1）證明：∵DE ∥AC，DF∥AB，∴DE∥ AF，DF∥AE ，∴四邊形 AEDF 是平行四邊形（有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形） ，∴∠EAF= ∠EDF （平行四邊形的對角相等） ；又∵AD 是△ABC 的角平分線，∴∠EAD=∠EDA （平行四邊形的對角線平分對角） ，∴AE=DE（等角對等邊） ，∴四邊形 AEDF 是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形） ；（2 ）由（1）知，四邊形 AEDF 是菱形，∵當四邊形 AEDF 是正方形時，∠EAF=90 °，即∠BAC=90°，∴△ABC 的∠BAC=90°時，四邊形 AEDF 是正方形．四．解答題（共 2 小題，滿分 20 分，每小題 10 分）19．【解答】解：（1）由題意可得：初三年級學生數(shù)所對應(yīng)的圓心角為：360°×（1﹣35%﹣30%）=126°；故答案為：126°；（2 ）該初中三個年級共有：210÷35%=600（人） ；故答案為：600；（3 ）由題意可得：2×30%+3.5×35%+2.5×35%=2.7（冊） ．20．【解答】解：（1）∵在標有數(shù)字 1、2、3 的 3 個轉(zhuǎn)盤中，奇數(shù)的有 1、3 這 2 個，∴指針所指扇形中的數(shù)字是奇數(shù)的概率為 ，故答案為： ；（2 ）列表如下：1 2 31 （1 ，1 ） （2 ，1） （3，1 ）2 （1 ，2 ） （2 ，2） （3，2 ）3 （1 ，3 ） （2 ，3） （3，3 ）由表可知，所有等可能的情況數(shù)為 9 種，其中這兩個數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的 有 3 種，所以這兩個數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的概率為 = ．五．解答題（共 2 小題，滿分 20 分，每小題 10 分）21．【解答】解：（1）過點 A 作 AN⊥ BD 于點 N，過點M 作 MQ⊥AN 于點 Q，在 Rt△AMQ 中， ．∴ ，∴ ，∴AN=AQ+Q=12．（2 ）根據(jù)題意：NB∥GC ．∴△ANB～△AGC．∴ ，∵MQ=DN=8，∴BN=DB ﹣DN=4，∴ ．∴GC=12，∴CH=30 ﹣8﹣12=10．答：CH 的長度是 10cm．22．【解答】 （1）證明：連接 BD；∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠BDA=90°；∵∠PAC=∠PDA，∠CAB=∠CDB ，∴∠PAC+∠CAB=∠PDA+∠CDB= ∠BDA=90°，∴∠PAB=90°，∴PA 是⊙ O 的切線．（2 ）解：設(shè) PC=a；∵CD=3PC，∴CD=3a；∵PA 是⊙ O 的切線，PCD 是割線，∴PA2=PC?PD，即 62=a?（a+3a） ，解得 a=3，PD=PC+CD=a+3a=4a，∴PD=12．六．解答題（共 2 小題，滿分 20 分，每小題 10 分）23．【解答】解：（1）把點 A 的橫坐標為 代入 y= x，∴其縱坐標為 1，把點（ ，1）代入 y= ，解得：k= ．（2 ）∵雙曲線 y= 上點 C 的縱坐標為 3，∴橫坐標為 ，∴過 A，C 兩點的直線方程為：y=kx+b，把點（ ，1） ，（ ，3） ，代入得：，解得： ，∴y=﹣ x+4，設(shè) y=﹣ x+4 與 x 軸交點為 D，則 D 點坐標為（ ，0） ，∴△AOC 的面積=S△COD﹣S△AOD= × ×3﹣ × ×1= ．（3 ）設(shè) P 點坐標（a ， a） ，由直線 AB 解析式可知，直線 AB 與 y 軸正半軸夾角為 60°，∵以 O、M、P 、N 為頂點的四邊形是有一組對角為60°的菱形，P 在直線 y= x 上，當點 M 只能在 x 軸上時，∴N 點的橫坐標為 a，代入 y= ，解得縱坐標為： ，根據(jù) OP=NP，即得：| |=| ﹣ |，解得：a=±1．故 P 點坐標為：（1， ）或（﹣1 ，﹣ ） ．當點 M 在 y 軸上時，同法可得 p（ 3， ）或（﹣3，﹣ ） ．24．【解答】解：（1）根據(jù)圖示，可得乙車的速度是 60 千米/時，甲車的速度是：（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）=720÷6=120（千米/小時）∴t=360÷120=3（小時） ．故答案為：60；3．（2 ）①當 0≤x≤ 3 時，設(shè) y=k1x，把（3，360 ）代入，可得3k1=360，解得 k1=120，∴y=120x（0≤x≤3） ．②當 3＜x≤4 時， y=360．③4 ＜x ≤7 時，設(shè) y=k2x+b，把（4，360 ）和（7，0）代入，可得解得 ∴y=﹣120x+840（4＜x≤7） ．綜上所述：甲車距它出發(fā)地的路程 y 與它出發(fā)的時間x 的函數(shù)關(guān)系式為 y= （3 ）①（480 ﹣60 ﹣120 ）÷（120+60）+1=300÷180+1= = （小時）②當甲車停留在 C 地時，（480﹣360+120） ÷60=240÷60=4（小時）③兩車都朝 A 地行駛時，設(shè)乙車出發(fā) x 小時后兩車相距 120 千米，則 60x﹣[120（x﹣ 1）﹣360]=120，所以 480﹣60x=120，所以 60x=360，解得 x=6．綜上，可得乙車出發(fā) 后兩車相距 120 千米．七．解答題（共 1 小題）25．【解答】 （1）證明：①如圖 1，過點 C 做 CD⊥BF，交 FB 的延長線于點 D，∵CE⊥MN，CD ⊥BF ，∴∠CEA=∠D=90°，∵CE⊥MN，CD ⊥BF ，BF⊥MN，∴四邊形 CEFD 為矩形，∴∠ECD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ECB=∠ECD﹣∠ECB，即∠ACE=∠BCD ，又∵△ABC 為等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ACE 和△BCD 中，，∴△ACE≌△BCD（AAS） ，∴AE=BD，CE=CD ，又∵ 四邊形 CEFD 為矩形，∴四邊形 CEFD 為正方形，∴CE=EF=DF=CD，∴AE+BF=DB+BF=DF=EC．②由①可知：AF+BF=AE+EF+BF=BD+EF+BF=DF+EF=2CE，（2 ）AF ﹣BF=2CE圖 2 中，過點 C 作 CG⊥BF，交 BF 延長線于點 G，∵AC=BC可得∠AEC=∠CGB，∠ACE=∠BCG，在△CBG 和△CAE 中，，∴△CBG≌△CAE（AAS） ，∴AE=BG，∵AF=AE+EF，∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，∴AF﹣BF=2CE；（3 ）如圖 3，過點 C 做 CD⊥BF，交 FB 的于點 D，∵AC=BC可得∠AEC=∠CDB，∠ACE=∠BCD ，在△CBD 和△CAE 中，，∴△CBD≌△CAE（AAS） ，∴AE=BD，∵AF=AE ﹣EF ，∴AF=BD﹣CE=BF﹣FD﹣CE=BF﹣2CE，∴BF﹣AF=2CE．∵AF=3， BF=7，∴CE=EF=2，AE=AF+EF=5，∵FG∥EC，∴ = ，∴ = ，∴FG= ．八．解答題（共 1 小題，滿分 14 分，每小題 14 分）26．【解答】解：（1）把 A（﹣1，0）C（0 ，﹣3）代入y= x2+bx+c 得 ，解得得 b=﹣ ，c=﹣3∴拋物線為 y= x2﹣ x﹣3；（2 ）如圖 2，過點 D 作 DM∥y 軸分 別交線段 BC和 x 軸于點 M、N在 y= x2﹣ x﹣3 中，令 y=0，得 x1=4，x2=﹣1∴B（4，0） ，設(shè)直線 BC 的解析 式為 y=kx+b，代入 B（4，0） ，C （0，3）可求得直線 BC 的解析式為：y= x﹣3 ，∵S 四邊形 ABDC=S△ABC+S△ADC= （4+1）×4+ ，設(shè) D（x ， x2﹣ x﹣3 ） ，M （x ， x﹣3）DM= x﹣3﹣（ x2﹣ x﹣3）=﹣ x2+3x，∵S 四邊形 ABDC=S△ABC+S△BDC= （4+1）×3+ （﹣ x2+3x）×4= ﹣ x2+6x，=﹣ x2+6x+ =﹣ （x﹣2）2+ ，∴當 x=2 時，四邊形 ABDC 面積有最大值為 ；（3 ）如圖 3 所示，①過點 C 作 CP1∥x 軸交拋物線于點 P1，過點 P1 作P1E1∥BC 交 x 軸于點 E1，此時四邊形 BP1CE1 為平行四邊形，∵C（0，﹣3）∴設(shè) P1（x ，﹣3）∴ x2﹣ x﹣3= ﹣3，解得 x1=0，x2=3，∴P1（3 ，﹣3） ；②平移直線 BC 交 x 軸于點 E，交 x 軸上方的拋物線于點 P，當 BC=PE 時，四邊形 BCEP 為平行四邊形，∵C（0，﹣3）∴設(shè) P（ x，3） ，∴ x2﹣ x﹣3=3 ，x2﹣3x ﹣8=0解得 x= 或 x= ，此時存在點 P2（ ，3）和 P3（ ，3） ，綜上所述存在 3 個點符合題意，坐標分別是P1（3 ，﹣3） ，P2（ ，3） ，P3（ ，3） ．