（浙江專版）2019年高考數學一輪復習 專題3.1 導數概念及其幾何意義（講）.doc

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第01節(jié) 導數概念及其幾何意義 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 導數概念及其幾何意義 了解導數的概念與實際背景，理解導數的幾何意義. 2013浙江卷文21；理22; 2018浙江卷22. 1.求切線方程或確定切點坐標問題為主； 2.單獨考查導數概念的題目極少. 3.導數的幾何意義為全國卷高考熱點內容，常見的命題探究角度有： (1)求切線斜率、傾斜角、切線方程． (2)確定切點坐標問題． (3)已知切線問題求參數． (4)切線的綜合應用． 4.備考重點： (1) 熟練掌握基本初等函數的導數公式及導數的四則運算法則； (2) 熟練掌握直線的傾斜角、斜率及直線方程的點斜式. 【知識清單】 1．導數的概念 1．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數 定義：稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函數f(x)的導函數 稱函數為f(x)的導函數． 2．函數在處的導數幾何意義 函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點 (x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【重點難點突破】 考點1 利用導數的定義求函數的導數 【1-1】一質點運動的方程為. （1）求質點在[1，1+Δt]這段時間內的平均速度； （2）求質點在t=1時的瞬時速度（用定義及求求導兩種方法） 【答案】（1）；（2）. 【領悟技法】 1.根據導數的定義求函數在點處導數的方法： ①求函數的增量； ②求平均變化率； ③得導數，簡記作：一差、二比、三極限. 2.函數的導數與導數值的區(qū)間與聯系：導數是原來函數的導函數，而導數值是導函數在某一點的函數值，導數值是常數 【觸類旁通】 【變式一】若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一（注重導數概念的應用的解法）：因為，所以 ，選B； 法二（注重導數定義中各變量的聯系的解法）：因為，所以 （其中：），故選B. 考點2 導數的幾何意義 【2-1】【2018年全國卷II文】曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】y=2x–2 點睛：求曲線在某點處的切線方程的步驟：①求出函數在該點處的導數值即為切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡整理. 【2-2】【2018年全國卷Ⅲ理】曲線在點處的切線的斜率為，則________． 【答案】 【解析】分析：求導，利用導數的幾何意義計算即可。 詳解： 則 所以 故答案為-3. 【2-3】【2018屆天津市河東區(qū)二?！亢瘮翟邳c處切線斜率為3，則值為_______． 【答案】2 【解析】分析：首先對函數求導，利用導數的幾何意義，即為導函數在相應的點的函數值等于3，從而得到其所滿足的等量關系式，從而求得結果. 詳解：根據題意可得，， 令，解得， 則，所以的值為2. 【2-4】已知函數的圖象在點處的切線方程是，則 ． 【答案】 【解析】 由函數在某點的導數等于函數在該點的切線的斜率可知，有點必在切線上，代入切線方程，可得，所以有． 【2-5】【2017屆北京西城八中高三上期中】某堆雪在融化過程中，其體積（單位：）與融化時間（單位：）近似滿足函數關系：（為常數），其圖像如圖所示．記此堆雪從融化開始到結束的平均融化速度為．那么，，，中，瞬時融化速度等于的時刻是圖中的__________． 【答案】 點睛：本題考查瞬時變化率與平均變化率的概念與區(qū)別，考查識別與應用基本概念解決問題的能力. 【領悟技法】 1.求函數圖象上點處的切線方程的關鍵在于確定該點切線處的斜率，由導數的幾何意義知，故當存在時，切線方程為. 2.可以利用導數求曲線的切線方程，由于函數在處的導數表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程，可按如下方式求得： 第一，求出函數在處的導數，即曲線在點處切線的斜率； 第二，在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程；如果曲線在點處的切線平行于y軸(此時導數不存在)時，由切線的定義可知，切線的方程為. 【觸類旁通】 【變式一】【福建省廈門市2018屆二?！吭O函數，直線是曲線的切線，則的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】分析：設切點是，求出切線方程，可得，利用導數研究函數的單調性，根據單調性求出的最小值即可的結果. 詳解：設切點是， 由是切線斜率， 切線方程為， 整理得， ， 記， 當，遞減； 當，遞增； 故， 即的最小值是故選C. 點睛：本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與最值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程. 【變式二】【2018屆云南省昆明第一中學第八次月考】已知定義在上的函數，設兩曲線與在公共點處的切線相同，則值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據題意設出切點坐標為，根據導數的幾何意義及兩曲線與在公共點處的切線相同可得，解方程組即可求得的值 詳解：依題意設曲線與在公共點處的切線相同. ∵， ∴， ∴，即 ∵ ∴， 故選D. 點睛：本題考查導數的幾何意義，解答本題的關鍵是列出方程組，方程組主要是從“兩曲線與在公共點處的切線相同”轉化引申出來的，說明切線的斜率相等，且這個切點在兩個函數的圖象上，即切點的導數相等，且切點的坐標滿足兩個函數的解析式. 【變式三】曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為（ ） A． B． C．和 D． 【答案】C. 【解析】因，令，故或，所以或，經檢驗，點，均不在直線上，故選C． 【變式四】曲線過點處的切線方程是_____________. 【答案】 【變式五】已知函數，則函數點P（1，）的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 . 【答案】 【解析】因為切線斜率所以切線方程為，與兩坐標軸的交點為因此圍成的三角形的面積為 【易錯試題常警惕】 易錯典例1：已知曲線． （1）求曲線在處的切線方程； （2）求曲線過點的切線方程． 易錯分析：易于因為審題不嚴或理解有誤，將兩道小題混淆，特別是第（2）小題獨立出現時． 正確解析：（1）∵ ， ∴曲線在處的斜率． ∵時，， ∴曲線在處的切線方程為， 即． (2) 設過點的切線與曲線相切于點， 則切線的斜率為， ∴， 整理得， ∴， 解得，或， ∴所求的切線為，或． 溫馨提醒：(1)對于曲線切線方程問題的求解，對函數的求導是一個關鍵點，因此求導公式，求導法則及導數的計算原則要熟練掌握．(2)對于已知的點，應首先認真審題,對于確定切線的方程問題，要注意區(qū)分“該曲線過點P的切線方程”與“該曲線在點P處的切線方程”的兩種情況，避免出錯.從歷年高考題看，“該曲線在點P處的切線方程”問題的考查較為普遍. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ————近似與精確、有限與無限——無限逼近的極限思想 1.由可以知道，函數的導數是函數的瞬時變化率，函數的瞬時變化率是平均變化率的極限，充分說明極限是人們從近似中認識精確的數學方法.極限的實質就是無限近似的量，向著有限的目標無限逼近而產生量變導致質變的結果，這是極限的實質與精髓，也是導數的思想及其內涵. 2.曲線的切線定義，充分體現了運動變化及無限逼近的思想：“兩個不同的公共點→兩公共點無限接近→兩公共點重合(切點)”“割線→切線”. (1)在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點P處的切線方程和求曲線過點P的切線方程，在點P處的切線，一定是以點P為切點，過點P的切線，不論點P在不在曲線上，點P不一定是切點． 【典例】己知曲線存在兩條斜率為3的切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數a的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】 由題意得，的導數為，由題意可得，即有兩個不等的正根，則，，，解得．