江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案.doc
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第2講 三角恒等變換與解三角形 [考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容,主要考查:1.邊和角的計算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強,與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點,不可輕視. 熱點一 三角恒等變換 例1 (1)若cos=,則cos=________. 答案?。? 解析 ∵cos=, ∴cos=sin=sin=, ∴cos=1-2sin2=-. (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x軸為始邊作角α,角α+的終邊經(jīng)過點P(-2,1). ①求cos α的值; ②求cos的值. 解?、儆捎诮铅粒慕K邊經(jīng)過點P(-2,1), 故cos=-,sin=, ∴cos α=cos =coscos+sinsin=-. ②sin α=sin =sincos-cossin=, 則sin 2α=2sin αcos α=-, cos 2α=cos2α-sin2α=-, cos=coscos 2α+sin sin 2α=. 思維升華 (1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用,要善于觀察各個角之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系,公式的使用過程要注意正確性,要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換,防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況. (2)求角問題要注意角的范圍,要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小,避免產(chǎn)生增解. 跟蹤演練1 (1)已知cos=3sin,則tan=________. 答案 2-4 解析 ∵cos=3sin, ∴-sin α=-3sin, ∴sin α=3sin=3sin αcos+3cos αsin =sin α+cos α, ∴tan α=, 又tan=tan= ==2-, ∴tan= ==2-4. (2)(2018江蘇如東中學(xué)等五校聯(lián)考)已知α∈,且cos=,則sin α的值是________. 答案 解析 ∵α∈,∴α-∈, 給合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式有: sin==, 則sin α=sin =sincos+cossin =+=. 熱點二 正弦定理、余弦定理 例2 (2018江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)如圖,在圓內(nèi)接△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足acos C+ccos A=2bcos B. (1)求B的大??; (2)若點D是劣弧AC上一點,AB=3,BC=2,AD=1,求四邊形ABCD的面積. 解 (1)方法一 設(shè)外接圓的半徑為R,則a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入得2Rsin Acos C+2Rsin Ccos A=22Rsin Bcos B, 即sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B, 所以sin B=2sin Bcos B. 所以sin B≠0,所以cos B=. 又B是三角形的內(nèi)角, 所以B=. 方法二 根據(jù)余弦定理,得a+c=2bcos B, 化簡得cos B=. 因為00,∴sin A=. 由余弦定理得cos A===>0, ∴cos A=,bc==, ∴S△ABC=bcsin A==. 4.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C,并且a=,則△ABC的面積為________. 答案 解析 因為00, 并結(jié)合sin2C+cos2C=1,得sin C=,cos C=. 于是sin B=cos C=. 由a=及正弦定理=,得c=. 故△ABC的面積S=acsin B=. 5.已知函數(shù)f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期為. (1)求ω的值; (2)在△ABC中,sin B,sin A,sin C成等比數(shù)列,求此時f(A)的值域. 解 (1)f(x)=sin 2ωx-(cos 2ωx+1) =sin-, 因為函數(shù)f(x)的最小正周期為T==, 所以ω=. (2)由(1)知f(x)=sin-, 易得f(A)=sin-. 因為sin B,sin A,sin C成等比數(shù)列, 所以sin2A=sin Bsin C,所以a2=bc, 所以cos A== ≥=(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號). 因為00), 則cos C==-, 又∵C∈(0,π), ∴sin C=. 當(dāng)BC=1時,AC=, ∴S△ABC=1=. 8.如圖,在△ABC中,BC=2,∠ABC=,AC的垂直平分線DE與AB,AC分別交于D,E兩點,且DE=,則BE2=________. 答案?。? 解析 如圖,連結(jié)CD,由題設(shè),有∠BDC=2A, 所以==, 故CD=. 又DE=CDsin A==, 所以cos A=,而A∈(0,π),故A=, 因此△ADE為等腰直角三角形, 所以AE=DE=. 在△ABC中,∠ACB=, 所以=, 故AB=+1, 在△ABE中,BE2=(+1)2+2-2(+1)=+. 9.(2018江蘇)已知α,β為銳角,tan α=,cos(α+β)=-. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解 (1)因為tan α=,tan α=, 所以sin α=cos α. 又因為sin2α+cos2α=1, 所以cos2α=, 因此,cos 2α=2cos2α-1=-. (2)因為α,β為銳角,所以α+β∈(0,π). 又因為cos(α+β)=-,所以α+β∈, 所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2. 因為tan α=, 所以tan 2α==-. 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)] ==-. 10.(2018江蘇揚州中學(xué)調(diào)研)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(1,2),n=,且mn=1. (1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2,求sin的值. 解 (1)由題意得mn=cos 2A+2cos2=2cos2A-1+cos A+1=2cos2A+cos A, 又因為mn=1,所以2cos2A+cos A=1, 解得cos A=或cos A=-1, ∵0, ∴0, ∴>+=2, 即>2. ∴的取值范圍是(2,+∞). 13.在銳角△ABC中,角A所對的邊為a,△ABC的面積S=,給出以下結(jié)論: ①sin A=2sin Bsin C; ②tan B+tan C=2tan Btan C; ③tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; ④tan Atan Btan C有最小值8. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為________. 答案 4 解析 由S==absin C,得a=2bsin C, 又=,得sin A=2sin Bsin C,故①正確; 由sin A=2sin Bsin C, 得sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 兩邊同時除以cos Bcos C, 可得tan B+tan C=2tan Btan C,故②正確; 由tan(A+B)=, 且tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, 所以=-tan C, 整理移項得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,故③正確; 由tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=-tan(B+C)=, 且tan A,tan B,tan C都是正數(shù), 得tan Atan Btan C=tan Btan C =tan Btan C=, 設(shè)m=tan Btan C-1,則m>0, tan Atan Btan C= =2+4≥4+4=8, 當(dāng)且僅當(dāng)m=tan Btan C-1=1, 即tan Btan C=2時取“=”, 此時tan Btan C=2,tan B+tan C=4,tan A=4, 所以tan Atan Btan C的最小值是8,故④正確. 14.已知向量a=(sin 2x,cos 2x),b=(cos θ,sin θ),若f(x)=ab,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱. (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A)=,且b=5,c=2,求△ABC外接圓的面積. 解 (1)f(x)=ab=sin 2xcos θ+cos 2xsin θ =sin(2x+θ), ∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱, ∴2+θ=kπ+,k∈Z, ∴θ=kπ+,k∈Z, 又|θ|<,∴θ=. ∴f(x)=sin. 由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z. (2)∵f(A)=sin=, ∴sin=1. ∵A∈(0,π), ∴2A+∈, ∴2A+=,∴A=. 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A =25+12-252cos=7, ∴a=. 設(shè)△ABC外接圓的半徑為R, 由正弦定理得=2R==2, ∴R=, ∴△ABC外接圓的面積S=πR2=7π.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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