（浙江專(zhuān)版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題4.7 解三角形及其應(yīng)用舉例（講）.doc

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第07節(jié) 解三角形及其應(yīng)用舉例 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用 2014浙江文18；理10，18； 2015浙江文16；理16； 2016浙江文16；理16； 2017浙江14； 2018浙江卷13.. 1.測(cè)量距離問(wèn)題； 2.測(cè)量高度問(wèn)題； 3.測(cè)量角度問(wèn)題. 4.主要是利用定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題，關(guān)鍵是弄懂有關(guān)術(shù)語(yǔ)，認(rèn)真理解題意. 從浙江卷來(lái)看，三角形中的應(yīng)用問(wèn)題，主要是結(jié)合直角三角形，考查邊角的計(jì)算，也有與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查的情況. 5.備考重點(diǎn)： （1）掌握正弦定理、余弦定理； （2）掌握幾種常見(jiàn)題型的解法. （3）理解三角形中的有關(guān)術(shù)語(yǔ). 【知識(shí)清單】 1. 測(cè)量距離問(wèn)題 實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)概念 (1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)． (2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)． (3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖3) ①北偏東α即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． ②北偏西α即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． ③南偏西等其他方向角類(lèi)似． 　　　 (4)坡度： ①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)． ②坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖4，i為坡比)． 2. 測(cè)量高度問(wèn)題 余弦定理： ， ， . 變形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 3. 測(cè)量角度問(wèn)題 應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷就用哪一個(gè)定理． 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 測(cè)量距離問(wèn)題 【1-1】【2018屆廣東省珠海市珠海二中、斗門(mén)一中高三上期中聯(lián)考】如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸， 的俯角分別為， ，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因?yàn)閺臍馇蛏蠝y(cè)得正前方的河流的兩岸， 的俯角分別為， ，， ， ，故選C. 【1-2】如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．即AB＝.若測(cè)得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60，試計(jì)算AB的長(zhǎng)． 【答案】 【1-3】如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出AB的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30，∠ACD＝60，∠ACB＝45，求A，B兩點(diǎn)間的距離． 【答案】 【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60，∠ACD＝60，∴∠DAC＝60，∴AC＝DC＝. 在△BCD中，∠DBC＝45，由正弦定理，得BC＝sin∠BDC＝sin 30＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 45＝＋－2＝. ∴AB＝(km)．∴A，B兩點(diǎn)間的距離為 km. 【領(lǐng)悟技法】 研究測(cè)量距離問(wèn)題，解決此問(wèn)題的方法是：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有： (1)兩點(diǎn)都不可到達(dá)； (2)兩點(diǎn)不相通的距離； (3)兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá). 【觸類(lèi)旁通】 【變式一】【2018屆江西省南昌市第一輪訓(xùn)練六】一艘海警船從港口出發(fā)，以每小時(shí)海里的速度沿南偏東方向直線航行， 分鐘后到達(dá)處，這時(shí)候接到從處發(fā)出的一求救信號(hào)，已知在的北偏東，港口的東偏南處，那么， 兩點(diǎn)的距離是(　　) A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【答案】A 【解析】如圖 由已知可得，∠BAC=30，∠ABC=105，AB=20，從而∠ACB=45． 在△ABC中，由正弦定理可得BC= sin30=10． 故答案為：A. 【變式二】如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為 (　　) A．50m　　 　B．50m C．25m D.m 【答案】　A 【解析】由題意知∠ABC＝30，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)． 考點(diǎn)2 測(cè)量高度問(wèn)題 【2-1】【2018屆山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高考沖刺（二）】我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有《海島算經(jīng)》.內(nèi)有一篇：“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直.從前表卻行百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾何?”請(qǐng)你計(jì)算出海島高度為_(kāi)_________步. （參考譯文：假設(shè)測(cè)量海島,立兩根標(biāo)桿，高均為5步,前后相距1000步,令前后兩根標(biāo)桿和島在同一直線上,從前標(biāo)桿退行123 步, 人的視線從地面(人的高度忽略不計(jì))過(guò)標(biāo)桿頂恰好觀測(cè)到島峰,從后標(biāo)桿退行127步, 人的視線從地面過(guò)標(biāo)桿頂恰好觀測(cè)到島峰,問(wèn)島高多少？ 島與前標(biāo)桿相距多遠(yuǎn)?）（丈、步為古時(shí)計(jì)量單位，當(dāng)時(shí)是“三丈=5步”） 【答案】1255步 【2-2】如圖，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為α，從A處向山頂前進(jìn)l米到達(dá)B后，又測(cè)得CD對(duì)于山坡的斜度為β，山坡對(duì)于地平面的坡角為θ. (1)求BC的長(zhǎng)； (2)若l＝24，α＝15，β＝45，θ＝30，求建筑物CD的高度． 【答案】（1）；（2）. 【解析】　(1)在中，，根據(jù)正弦定理得， 所以. (2)由(1)知米． 在中，，， 根據(jù)正弦定理得， 所以米． 【領(lǐng)悟技法】 已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時(shí)只有一解. 已知兩邊和夾角，余弦定理求出對(duì)對(duì)邊. 【觸類(lèi)旁通】 【變式一】如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD. 【答案】 【變式二】如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔? 【答案】 【解析】在中，，由正弦定理得，所以. 在中，. 考點(diǎn)3 測(cè)量角度問(wèn)題 【3-1】【2017廣東佛山二模】某沿海四個(gè)城市、、、的位置如圖所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行， 后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時(shí)城市對(duì)于輪船的方位角是南偏西度，則__________． 【答案】 【解析】設(shè)船行駛至，則，連接，過(guò)作于，則， , , ，所以，所以，又， ，可得，所以，故. 【3-2】如圖，扇形AOB是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中圓心角∠AOB為，半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO.設(shè)∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出θ的取值范圍； (2)當(dāng)θ為何值時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)？ (2)設(shè)觀光道路長(zhǎng)度為L(zhǎng)(θ)， 則L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的長(zhǎng) ＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ ＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈， L′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1， 由L′(θ)＝0，得sin＝， 又θ∈，所以θ＝， 列表： θ L′(θ) ＋ 0 － L(θ) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以當(dāng)θ＝時(shí)，L(θ)達(dá)到最大值，即當(dāng)θ＝時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)． 【3-3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？ 【答案】緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí)． 【解析】如圖，設(shè)緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船， 則有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120. 利用余弦定理可得BC＝. 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝，得∠ABC＝45，即BC與正北方向垂直． 于是∠CBD＝120. 在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝， 得∠BCD＝30，∴∠BDC＝30.又＝， ＝，得t＝. 所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí)． 【領(lǐng)悟技法】 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法： (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論． [注意]　在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解． 判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系．結(jié)論一般為特殊的三角形．如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在變形過(guò)程中要注意A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響． 提醒：1．在△ABC中有如下結(jié)論sin A＞sin B?a＞b. 2．當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，角A為銳角，若可判定其他兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形； 當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，角A為直角，三角形為直角三角形； 當(dāng)b2＋c2－a2＜0時(shí)，角A為鈍角，三角形為鈍角三角形． 【觸類(lèi)旁通】 【變式一】如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sin θ的值為(　　) A.　　 B．　　C.　　 D． 【答案】D 【變式二】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值． 【答案】 【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120. 根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為. 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問(wèn)：乙船每小時(shí)航行多少海里？ 易錯(cuò)分析：不能分清已知條件和未知條件，從而不能將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中．再利用正、余弦定理求解．解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要能理解題目給定的含義，轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理進(jìn)行求解. 正確解析： 如圖，連接A1B2由已知A2B2＝10，A1A2＝30＝10，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180－120＝60，∴△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105－60＝45， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos 45＝202＋(10)2－22010＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度為60＝30(海里/時(shí))． 溫馨提醒：利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題要注意根據(jù)條件畫(huà)出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題進(jìn)行求解． 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性.我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 【典例】【2018屆河北省衡水中學(xué)高三第十六次模擬】如圖，一山頂有一信號(hào)塔（所在的直線與地平面垂直），在山腳處測(cè)得塔尖的仰角為，沿傾斜角為的山坡向上前進(jìn)米后到達(dá)處，測(cè)得的仰角為. （1）求的長(zhǎng)； （2）若， ， ， ，求信號(hào)塔的高度. 【答案】(1) ；(2) . （2）由（1）及條件知， ， ， ， . 由正弦定理得