廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢三 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 文.docx

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單元質(zhì)檢三　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (時(shí)間:100分鐘　滿(mǎn)分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=1-t+t2,其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 答案C 解析根據(jù)瞬時(shí)速度的意義,可得3秒末的瞬時(shí)速度是v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5. 2.設(shè)曲線(xiàn)y=x+1x-1在點(diǎn)(3,2)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)ax+y+3=0垂直,則a等于(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 答案B 解析因?yàn)閥=x+1x-1的導(dǎo)數(shù)為y=-2(x-1)2,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(3,2)處的切線(xiàn)斜率k=-12. 又因?yàn)橹本€(xiàn)ax+y+3=0的斜率為-a, 所以-a-12=-1,解得a=-2. 3.若函數(shù)y=ex+mx有極值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 答案B 解析求導(dǎo)得y=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有極值,則必須使y的值有正有負(fù),故m<0. 4.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(-∞,-3]∪[3,+∞) B.[-3,3] C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,3) 答案B 解析由題意,知f(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4(-3)(-1)≤0,解得-3≤a≤3. 5.函數(shù)f(x)=x2+x-ln x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析由f(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).當(dāng)012時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.則f(x)的最小值為f12=34+ln2>0,所以無(wú)零點(diǎn). 6.(2018全國(guó)Ⅰ,文6)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為(　　) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案D 解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,則f(x)=x3+x. 由f(x)=3x2+1,得在(0,0)處的切線(xiàn)斜率k=f(0)=1.故切線(xiàn)方程為y=x. 7.已知當(dāng)x∈12,2時(shí),a≤1-xx+ln x恒成立,則a的最大值為 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析令f(x)=1-xx+lnx,則f(x)=x-1x2. 當(dāng)x∈12,1時(shí),f(x)<0; 當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)>0. ∴f(x)在區(qū)間12,1內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞增, ∴在x∈12,2上,f(x)min=f(1)=0, ∴a≤0,即a的最大值為0. 8.已知函數(shù)f(x)=ln x+tan α0<α<π2的導(dǎo)函數(shù)為f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,則α的取值范圍為(　　) A.π4,π2 B.0,π3 C.π6,π4 D.0,π4 答案A 解析∵f(x)=lnx+tanα,∴f(x)=1x. 令f(x)=f(x),得lnx+tanα=1x, 即tanα=1x-lnx. 設(shè)g(x)=1x-lnx,顯然g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,而當(dāng)x→0時(shí),g(x)→+∞, 故要使?jié)M足f(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1. 又0<α<π2,∴α∈π4,π2. 9.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)g(x)+f(x)g(x)>0,且g(3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 答案D 解析∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)g(x)+f(x)g(x)>0,即[f(x)g(x)]>0, ∴當(dāng)x<0時(shí),f(x)g(x)為增函數(shù),又g(x)是偶函數(shù),且g(3)=0,∴g(-3)=0, ∴f(-3)g(-3)=0.故當(dāng)x<-3時(shí),f(x)g(x)<0; ∵f(x)g(x)是奇函數(shù), ∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)g(x)為增函數(shù),且f(3)g(3)=0, 故當(dāng)00,解得x<344,令f(x)<0,解得x>344, 故f(x)在0,344內(nèi)遞增,在344,+∞內(nèi)遞減,故f(x)的最大值是f344,a=344. 11.若函數(shù)f(x)=x33-a2x2+x+1在區(qū)間12,3內(nèi)有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.2,52 B.2,52 C.2,103 D.2,103 答案C 解析若f(x)=x33-a2x2+x+1在區(qū)間12,3內(nèi)有極值點(diǎn),則f(x)=x2-ax+1在區(qū)間12,3內(nèi)有零點(diǎn),且零點(diǎn)不是f(x)的圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo). 由x2-ax+1=0,得a=x+1x.因?yàn)閤∈12,3,y=x+1x的值域是2,103, 當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合題意. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,103,故選C. 12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x10), 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最大值,此時(shí)最大值為g(1)=a-1, 令a-1>1,解得a>2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+∞). 16.(2018東北三省三校一模)已知函數(shù)f(x)=xln x+12x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),給出以下幾個(gè)命題: ①01e;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0. 其中正確的命題是　　　　　.(填出所有正確命題的序號(hào)) 答案①③ 解析由已知得f(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g(x)=1x+1,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),有g(shù)(x)>0總成立,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g1e=1e>0,又x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以f(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以00, 所以f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 所以不存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)是(-∞,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù). 18.(12分)已知f(x)=x3-12x2-2x+5. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)過(guò)點(diǎn)(0,a)可作y=f(x)的三條切線(xiàn),求a的取值范圍. 解(1)f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 故f(x)在-∞,-23,(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在-23,1內(nèi)單調(diào)遞減. (2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,f(x0)),則切線(xiàn)的方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0), 即y-(x03-12x02-2x0+5)=(3x02-x0-2)(x-x0). 又點(diǎn)(0,a)在切線(xiàn)上, 故a-x03-12x02-2x0+5=(3x02-x0-2)(0-x0), 即a=-2x03+12x02+5. 令g(x)=-2x3+12x2+5, 由已知得y=a的圖象與g(x)=-2x3+12x2+5的圖象有三個(gè)交點(diǎn),g(x)=-6x2+x, 令g(x)=0,得x1=0,x2=16,g(x1)=5,g(x2)=51216, 故a的取值范圍為5,51216. 19.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為-1. (1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值; (2)證明:當(dāng)x>0時(shí),x2ln2時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x=ln2時(shí),f(x)取得極小值,極小值為f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)無(wú)極大值. (2)證明令g(x)=ex-x2,則g(x)=ex-2x. 由(1),得g(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0, 故g(x)在R上單調(diào)遞增. 因?yàn)間(0)=1>0, 所以當(dāng)x>0,g(x)>g(0)>0,即x21. (1)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f(x)=1x-1=1-xx. 令f(x)>0,解得01. 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞). (2)證明根據(jù)題意得g(x)=lnx+12x-m(x>0). 因?yàn)閤1,x2是函數(shù)g(x)=lnx+12x-m的兩個(gè)零點(diǎn), 所以lnx1+12x1-m=0,lnx2+12x2-m=0. 兩式相減,可得lnx1x2=12x2-12x1, 即lnx1x2=x1-x22x2x1,故x1x2=x1-x22lnx1x2, 因此x1=x1x2-12lnx1x2,x2=1-x2x12lnx1x2. 令t=x1x2,其中00恒成立,故h(t)1,故x1+x2>1. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線(xiàn)方程為y=bx.(e≈2.718 28) (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)當(dāng)x∈R時(shí),求證:f(x)≥-x2+x; (3)若f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. (1)解∵f(x)=ex-x2+a,∴f(x)=ex-2x. 由已知,得f(0)=1+a=0,f(0)=1=b,解得a=-1,b=1. ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=ex-x2-1. (2)證明令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,則φ(x)=ex-1. 由φ(x)=0,得x=0. 當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),φ(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),φ(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增. 故φ(x)min=φ(0)=0,從而f(x)≥-x2+x. (3)解f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立?f(x)x>k對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立. 令g(x)=f(x)x,x>0, 則g(x)=xf(x)-f(x)x2=x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2 =(x-1)(ex-x-1)x2. 由(2)可知當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex-x-1>0恒成立, 由g(x)>0,得x>1;由g(x)<0,得00,若x∈(-∞,0),則f(x)=x(ex+1+2a)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,若x∈(0,+∞),則f(x)=x(ex+1+2a)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; ②當(dāng)-e20,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,若x∈(ln(-2a)-1,0),則f(x)=x(ex+1+2a)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,若x∈(0,+∞),則f(x)=x(ex+1+2a)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; ③當(dāng)a=-e2時(shí),f(x)=x(ex+1+2a)≥0恒成立,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; ④當(dāng)a<-e2時(shí),若x∈(-∞,0), 則f(x)=x(ex+1+2a)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, 若x∈(0,ln(-2a)-1),則f(x)=x(ex+1+2a)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 若x∈(ln(-2a)-1,+∞),則f(x)=x(ex+1+2a)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=(ex-e)ex有唯一零點(diǎn)x=1,不符合題意; 由(1)知,當(dāng)a>0時(shí),若x∈(-∞,0),則函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,若x∈(0,+∞),則函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,f(0)=-e<0必有兩個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)-e20時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).