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考點(diǎn)規(guī)范練46 雙曲線
一、基礎(chǔ)鞏固
1.若a>1,則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是( )
A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2)
答案C
解析由題意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.
因?yàn)閍>1,所以1<1+1a2<2.所以1
0)的一條漸近線與直線y=13x垂直,則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A.2 B.4 C.18 D.36
答案C
解析雙曲線的一條漸近線的方程為y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=18.故選C.
4.設(shè)橢圓C1的離心率為513,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x242-y232=1 B.x2132-y252=1
C.x232-y242=1 D.x2132-y2122=1
答案A
解析由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-5,0),F2(5,0),設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P,則||PF1|-|PF2||=8.
由雙曲線的定義知a=4,b=3.
故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x242-y232=1.
5.設(shè)F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,則該雙曲線的離心率為( )
A.2 B.15 C.4 D.17
答案D
解析由雙曲線的定義知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3ba=4,解得ba=4ba=-1舍去.
因?yàn)殡p曲線的離心率e=ca=1+b2a2,
所以e=17.故選D.
6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線與圓(x-2)2+y2=1相切,則雙曲線的離心率為( )
A.32 B.2 C.3 D.4
答案B
解析因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),
所以c=2,因?yàn)殡p曲線與圓(x-2)2+y2=1相切,
所以圓心為F(2,0),半徑r=1.
所以c-a=1,即a=1,
所以雙曲線的離心率e=ca=2.
7.(2018江蘇,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值是 .
答案2
解析雙曲線的漸近線為y=bax,即bxay=0.
所以雙曲線的焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離為|bc0|a2+b2=bcc=b,解得b=32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.
8.(2018江西六校聯(lián)考)雙曲線C:x24-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn),則|AF2|+|BF2|的最小值為 .
答案9
解析由雙曲線的定義,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2b2a+4a=212+8=9.
9.設(shè)A,B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為43,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使OM+ON=tOD,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).
解(1)由題意知a=23,故可得一條漸近線方程為y=b23x,
即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3.
所以b2=3,所以雙曲線的方程為x212-y23=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
將直線方程代入雙曲線方程得x2-163x+84=0,
則x1+x2=163,y1+y2=12.
故x0y0=433,x0212-y023=1,解得x0=43,y0=3.
由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(43,3).
10.已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=22,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.
(1)求W的方程;
(2)若A和B是W上的不同兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),求OAOB的最小值.
解(1)由|PM|-|PN|=22知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)半軸長(zhǎng)a=2.
又焦距2c=4,所以虛半軸長(zhǎng)b=c2-a2=2.
所以W的方程為x22-y22=1(x≥2).
(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x1=x2,y1=-y2,
從而OAOB=x1x2+y1y2=x12-y12=2.
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k≠1),與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
則x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,
所以O(shè)AOB=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k2m21-k2+m2
=2k2+2k2-1=2+4k2-1.
又因?yàn)閤1x2>0,所以k2-1>0.所以O(shè)AOB>2.
綜上所述,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),OAOB取得最小值2.
二、能力提升
11.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y2=1 D.x2-y23=1
答案D
解析∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,且△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=bax上,
∴c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.
∴雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.
12.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M,且MF與雙曲線的實(shí)軸垂直,則雙曲線C的離心率為( )
A.52 B.5 C.2 D.2
答案C
解析設(shè)F(c,0),漸近線方程為y=bax,
可得點(diǎn)F到漸近線的距離為bca2+b2=b,
即有圓F的半徑為b.
令x=c,可得y=bc2a2-1=b2a.
由題意可得b2a=b,即a=b,則c=a2+b2=2a.
即離心率e=ca=2.
13.已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
答案B
解析如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點(diǎn),
又O為F1F2的中點(diǎn),∴|MF2|=2.
∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,
∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,
由雙曲線的定義可得,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線.
14.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為 .
答案53
解析由定義,知|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=83a,|PF2|=23a.
在△PF1F2中,由余弦定理,
得cos∠F1PF2=649a2+49a2-4c2283a23a=178-98e2.
要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,
∴當(dāng)cos∠F1PF2=-1時(shí),得e=53,
即e的最大值為53.
15.已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.
(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若l與C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為2,求實(shí)數(shù)k的值.
解(1)雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
則方程組x2-y2=1,y=kx-1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
故1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)>0,
解得-2|x2|時(shí),
S△OAB=S△OAD-S△OBD
=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2|;
當(dāng)A,B在雙曲線的兩支上且x1>x2時(shí),
S△OAB=S△ODA+S△OBD
=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|.
故S△OAB=12|x1-x2|=2,
即(x1-x2)2=(22)2,即-2k1-k22+81-k2=8,
解得k=0或k=62.
又-20,b>0),
則8a2-4b2=1,且a=2,解得b=2.
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y24=1.
(2)由(1)知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-22,0),F2(22,0).
若∠F1PF2是直角,則設(shè)P(x,y),則有x2+y2=8.
由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.
由x2+y2=8,x2+(y2)2=8,解得y=1,不滿足題意,舍去.
故在曲線上所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).
三、高考預(yù)測(cè)
17.已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,若△ABF為等腰三角形,則該雙曲線的離心率為( )
A.1+3 B.5 C.3 D.2
答案A
解析由題意得F(-c,0),A(a,0),不妨設(shè)B(0,b),則|BF|=b2+c2>c,|AF|=a+c>c,|AB|=a2+b2=c,
因?yàn)椤鰽BF為等腰三角形,所以只能是|AF|=|BF|,
∴a+c=c2+b2.
∴a2+c2+2ac=c2+c2-a2.
∴c2-2a2-2ac=0,
即e2-2e-2=0,e=1+3(舍去負(fù)值),選A.
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