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考點(diǎn)規(guī)范練32 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
一、基礎(chǔ)鞏固
1.若點(diǎn)(1,b)在兩條平行直線6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之間,則b應(yīng)取的整數(shù)值為( )
A.2 B.1 C.3 D.0
答案B
解析由題意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,
即b-78(b-2)<0,
解得78
0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則a的值是( )
A.32 B.12
C.2 D.52
答案B
解析直線y=-ax+z(a>0)的斜率為-a<0,當(dāng)直線y=-ax平移到直線AC位置時取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個.
∵kAC=-12,∴-a=-12,即a=12.
5.已知實數(shù)x,y滿足x≥0,x-2y≥0,y≥x-1,則z=ax+y(a>0)的最小值為 ( )
A.0 B.a C.2a+1 D.-1
答案D
解析由約束條件x≥0,x-2y≥0,y≥x-1作出可行域如圖.
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)為y=-ax+z,
由圖可知,當(dāng)直線y=-ax+z過點(diǎn)A(0,-1)時,直線在y軸上的截距最小,z有最小值為-1.
6.若直線y=2x上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥m,則實數(shù)m的最大值為( )
A.-1 B.1 C.32 D.2
答案B
解析可行域如圖陰影所示,由y=2x,x+y-3=0,得交點(diǎn)A(1,2),當(dāng)直線x=m經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時,m取到最大值為1.
7.已知實數(shù)x,y滿足條件x≥2,x+y≤4,-2x+y+c≥0,若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值為5,則其最大值為 .
答案10
解析畫出x,y滿足的可行域如下圖,可得直線x=2與直線-2x+y+c=0的交點(diǎn)A,使目標(biāo)函數(shù)z=3x+y取得最小值5,故由x=2,-2x+y+c=0,
解得x=2,y=4-c,
代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.
由x+y=4,-2x+y+5=0,得B(3,1).
當(dāng)過點(diǎn)B(3,1)時,目標(biāo)函數(shù)z=3x+y取得最大值,最大值為10.
8.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元,該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸,則該企業(yè)可獲得的最大利潤是 萬元.
答案27
解析設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸,則獲得的利潤為z=5x+3y.
由題意得x≥0,y≥0,3x+y≤13,2x+3y≤18,此不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.
由圖可知當(dāng)y=-53x+z3經(jīng)過點(diǎn)A時,z取得最大值,此時x=3,y=4,zmax=53+34=27(萬元).
9.已知實數(shù)x,y滿足x-2y+4≥0,2x+y-2≥0,3x-y-3≤0,則x2+y2的取值范圍是 .
答案45,13
解析畫出約束條件對應(yīng)的可行域(如圖中陰影部分所示),x2+y2表示原點(diǎn)到可行域中的點(diǎn)的距離的平方,由圖知原點(diǎn)到直線2x+y-2=0的距離的平方為x2+y2的最小值,為252=45,原點(diǎn)到點(diǎn)(2,3)的距離的平方為x2+y2的最大值,為22+32=13.
因此x2+y2的取值范圍是45,13.
二、能力提升
10.已知x,y滿足約束條件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為( )
A.12或-1 B.2或12
C.2或1 D.2或-1
答案D
解析(方法一)由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示,
可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),
則zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,
要使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.
(方法二)目標(biāo)函數(shù)z=y-ax可化為y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,則當(dāng)l0∥AB或l0∥AC時符合題意,
故a=-1或a=2.
11.若不等式組x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面區(qū)域為三角形,且其面積等于43,則m的值為( )
A.-3 B.1 C.43 D.3
答案B
解析如圖,要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形,則不等式x-y+2m≥0表示的平面區(qū)域為直線x-y+2m=0下方的區(qū)域,且-2m<2,即m>-1.這時平面區(qū)域為△ABC.
由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,則A(2,0).
由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,則B(1-m,1+m).
同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0).
S△ABC=S△ABM-S△ACM
=12(2+2m)(1+m)-2+2m3=(m+1)23,
由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).
12.某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的質(zhì)量(單位:噸)如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用x,y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)量.
(1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤?并求出此最大利潤.
解(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為4x+5y≤200,8x+5y≤360,3x+10y≤300,x≥0,y≥0.該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分:
圖1
圖2
(2)設(shè)利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y.
考慮z=2x+3y,將它變形為y=-23x+z3,這是斜率為-23,隨z變化的一族平行直線,z3為直線在y軸上的截距,當(dāng)z3取最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當(dāng)直線z=2x+3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時,截距z3最大,即z最大.
解方程組4x+5y=200,3x+10y=300,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24).
所以zmax=220+324=112.
答:生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大,且最大利潤為112萬元.
三、高考預(yù)測
13.已知x,y滿足約束條件x-y+2≥0,x≤1,x+y+k≥0,z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,則k= .
答案1
解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,
結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(1,3)處取得最大值,在點(diǎn)B(1,-1-k)處取得最小值,
所以zmax=1+33=10,zmin=1+3(-1-k)=-2-3k.
根據(jù)題意有10=-2(-2-3k),解得k=1.
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