四川省成都市高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線及方程 第4課時 雙曲線及其標準方程同步測試 新人教A版選修1 -1.doc

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第4課時　雙曲線及其標準方程 基礎達標(水平一 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知雙曲線x216-y29=1上的點P到(5,0)的距離為15,則點P到點(-5,0)的距離為(　　). A.7 B.23 C.5或25 D.7或23 【解析】設點F1(-5,0),F2(5,0), 則由雙曲線的定義知||PF1|-|PF2||=2a=8, 而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23. 【解析】D 2.已知雙曲線x24-y25=1上一點P到點F(3,0)的距離為 6,O為坐標原點,OQ=12(OP+OF),則|OQ|=(　　). A.1 B.5 C.2 或 5 D.1 或 5 【解析】設雙曲線的另一個焦點為F1,則由雙曲線的定義知||PF1|-|PF||=4,所以|PF1|=2或10.因為OQ=12(OP+OF),所以Q為PF的中點.又因為O為F1F的中點,所以|OQ|=12|PF1|=1或5,故選D. 【答案】D 3.設F1、F2分別是雙曲線x2-y224=1的左、右焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積等于(　　). A.42 B.83 C.24 D.48 【解析】由3|PF1|=4|PF2|知,|PF1|>|PF2|.由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6.又∵c2=a2+b2=25,∴c=5,∴|F1F2|=10,∴△PF1F2為直角三角形, ∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=1286=24. 【答案】C 4.設P是雙曲線x29-y216=1右支上的一點,M和N分別是圓(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的點,則|PM|—|PN|的最大值為(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 　　【解析】設F1,F2分別為雙曲線的左,右焦點,由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=6, 由數(shù)形結合可知,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1, ∴(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9. 【答案】D 5.已知點P(2,-3)是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一點,雙曲線兩個焦點間的距離等于4,則該雙曲線方程是　　　　. 【解析】由題意知c=2,設該雙曲線方程是x2a2-y24-a2=1, 把點P(2,-3)代入,得4a2-94-a2=1, 解得a2=1或a2=16(舍去). 所以該雙曲線方程為x2-y23=1. 【答案】x2-y23=1 6.已知雙曲線C的中心為坐標原點,點F(2,0)是雙曲線C的一個焦點,過點F作漸近線的垂線l,垂足為M,直線l交y軸于點E,若|FM|=3|ME|,則雙曲線C的方程為　　　　. 【解析】設雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1,由已知得|FM|=b,所以|OE|=4b32-4,所以4b32-42=ab,因為a2=4-b2,所以b2=3,a2=1,所以雙曲線C的方程為x2-y23=1. 【答案】x2-y23=1 7.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的兩個頂點,且sin B-sin C=35sin A,求頂點A的軌跡方程. 【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=35|BC|=3510=6. 又|AC|>|AB|,6<|BC|,則點A的軌跡是以B,C為焦點的雙曲線的左支(除去左頂點). 由2a=6,2c=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16, 故頂點A的軌跡方程為x29-y216=1(x<-3). 拓展提升(水平二) 8.橢圓y249+x224=1與雙曲線y2-x224=1有公共點P,則點P與雙曲線兩焦點連線構成的三角形的面積為(　　). A.48 B.24 C.243 D.12 【解析】由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點F1(0,5)和F2(0,-5),又由橢圓與雙曲線的定義可得|PF1|+|PF2|=14,||PF1|-|PF2||=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6或|PF1|=6,|PF2|=8, 又|F1F2|=10,所以△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90. 所以△PF1F2的面積S=12|PF1||PF2|=1268=24. 【答案】B 9.已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲線為C.給出以下四個判斷: ①當14或t<1時,曲線C表示雙曲線; ③若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓,則14. 其中判斷正確的是　　　　.(只填正確命題的序號) 【解析】①錯誤,當t=52時,曲線C表示圓;②正確,若C為雙曲線,則(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正確,若C為焦點在x軸上的橢圓,則4-t>t-1>0,∴10,∴t>4. 【答案】②③④ 10.已知雙曲線x216-y225=1的左焦點為F,點P為雙曲線右支上一點,且PF與圓x2+y2=16相切于點N,M為線段PF的中點,O為坐標原點,則|MN|-|MO|=　　　　. 【解析】設F是雙曲線的右焦點,連接PF(圖略). 因為M,O分別是FP,FF的中點,所以|MO|=12|PF|,所以|FN|=|OF|2-|ON|2=5. 由雙曲線的定義知|PF|-|PF|=8,所以|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-12|PF|=12(|PF|-|PF|)-|FN|=128-5=-1. 【答案】-1 11.當0≤α≤180時,方程x2cos α+y2sin α=1表示的曲線如何變化? 【解析】當α=0時,方程為x2=1,它表示兩條平行直線x=1. 當0<α<90時,方程為x21cosα+y21sinα=1. ①當0<α<45時,0<1cosα<1sinα,它表示焦點在y軸上的橢圓; ②當α=45時,它表示圓x2+y2=2; ③當45<α<90時, 1cosα>1sinα>0,它表示焦點在x軸上的橢圓. 當α=90時,方程為y2=1,它表示兩條平行直線y=1. 當90<α<180時,方程為y21sinα-x21-cosα=1,它表示焦點在y軸上的雙曲線. 當α=180時,方程為x2=-1,它不表示任何曲線.