2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末復(fù)習(xí)學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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第二章 數(shù)列章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進一步鞏固、深化所學(xué)知識.2.熟練掌握解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的基本技能.3.依托等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一般數(shù)列的常見通項、求和等問題． 1．等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念與公式 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 遞推公式 an＋1－an＝d ＝q 中項 由三個數(shù)x，A，y組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列．這時A叫做x與y的等差中項，并且A＝ 如果在x與y中間插入一個數(shù)G，使x，G，y成等比數(shù)列，那么G叫做x與y的等比中項，且G＝ 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 前n項和公式 Sn＝＝na1＋d 當(dāng)q≠1時，Sn＝＝，當(dāng)q＝1時，Sn＝na1 性質(zhì) am，an的關(guān)系 am－an＝(m－n)d ＝qm－n m，n，s，t∈N＋， m＋n＝s＋t am＋an＝as＋at aman＝asat 性質(zhì) {kn}是等差數(shù)列，且kn∈N＋ { }是等差數(shù)列 {}是等比數(shù)列 n＝2k－1，k∈N＋ S2k－1＝(2k－1)ak a1a2…a2k－1＝a 判斷方法 利用定義 an＋1－an是同一常數(shù) 是同一常數(shù) 利用中項 an＋an＋2＝2an＋1 anan＋2＝a 利用通項公式 an＝pn＋q，其中p，q為常數(shù) an＝abn(a≠0，b≠0) 利用前n項和公式 Sn＝an2＋bn (a，b為常數(shù)) Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p為非零常數(shù)) 2.數(shù)列中的基本方法和思想 (1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時，分別用到了疊加法和疊乘法； (2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時，分別用到了倒序相加法和錯位相減法． (3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量，已知其中任意三個求其余兩個，用到了方程思想． (4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性，等差數(shù)列前n項和最值問題時，都用到了函數(shù)思想． 題型一　方程思想求解數(shù)列問題 例1　等差數(shù)列{an}各項為正整數(shù)，a1＝3，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{}是公比為64的等比數(shù)列，求{an}，{bn}的通項公式． 解　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)， an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依題意有 由q(6＋d)＝64知q為正有理數(shù)，又由q＝知d為6的因子1,2,3,6之一，解①②得d＝2，q＝8， 故an＝2n＋1，bn＝8n－1. 反思感悟　在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首項a1和公比q(公差d)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，an，n，q(d)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量． 跟蹤訓(xùn)練1　記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，求Sn. 解　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 依題設(shè)有 即 解得或 因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋. 題型二　轉(zhuǎn)化與化歸思想求解數(shù)列問題 例2　在數(shù)列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1. (1) 設(shè)cn＝，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (2) 求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和的公式． (1)證明　∵Sn＋1＝4an＋2， ① ∴當(dāng)n≥2，n∈N＋時，Sn＝4an－1＋2. ② ①－②得an＋1＝4an－4an－1. 方法一　對an＋1＝4an－4an－1兩邊同除以2n＋1，得 ＝2－， 即＋＝2， 即cn＋1＋cn－1＝2cn， ∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列． 由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2， 則a2＝3a1＋2＝5， ∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝， ∴{cn}是以為首項，為公差的等差數(shù)列． 方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)， 令bn＝an＋1－2an， 則{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴bn＝32n－1. ∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝ ＝＝＝， c1＝＝， ∴{cn}是以為首項，為公差的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)＝n－， ∴an＝(3n－1)2n－2. ∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2. ∴Sn＝2n－1(3n－4)＋2(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，S1＝1＝a1，符合． ∴Sn＝2＋(3n－4)2n－1(n∈N＋)． 反思感悟　由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數(shù)列的前幾項，通過觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再采用公式求出． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)． (1)求a2，a3的值； (2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列． (1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)， ∴當(dāng)n＝1時，a1＝21＝2； 當(dāng)n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4， ∴a2＝4； 當(dāng)n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6， ∴a3＝8. (2)證明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)， ① ∴當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)． ② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2 ＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2 ＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2， 故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列． 題型三　函數(shù)思想求解數(shù)列問題 命題角度1　借助函數(shù)性質(zhì)解數(shù)列問題 例3　一個等差數(shù)列{an}中，3a8＝5a13，a1>0.若Sn為{an}的前n項和，則S1，S2，…，Sn中沒有最大值？請說明理由． 解　因為此等差數(shù)列不是常數(shù)列，所以其前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，我們可以利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解．設(shè){an}的首項為a1，公差為d，則有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－a1，所以Sn＝na1＋d＝－n2a1＋na1＝－a1(n－20)2＋a1，故n＝20時，Sn最大，即前20項之和最大． 反思感悟　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時，若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調(diào)性時，均可考慮采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導(dǎo)解題．值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或{1,2,3，…，n}，這一特殊性對問題結(jié)果可能造成影響． 跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－2019，問這個數(shù)列前多少項的和最?。? 解　設(shè)an＝2n－2 019，對應(yīng)的函數(shù)為y＝2x－2 019，易知y＝2x－2 019在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)y＝0時，x＝，因此，數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，a1 009<0，a1 010>0，故當(dāng)1≤n≤1 009時，an<0；當(dāng)n>1 009時，an>0. ∴數(shù)列{an}中前1 009項的和最?。? 命題角度2　以函數(shù)為載體給出數(shù)列 例4　已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn. 解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋， ∴an＋1－an＝， ∴{an}是以為公差的等差數(shù)列． 又a1＝1，∴an＝n＋. (2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－(a2＋a4＋…＋a2n) ＝－＝－(2n2＋3n)． 反思感悟　以函數(shù)為載體給出數(shù)列，只需代入函數(shù)式即可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題． 跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________. 答案　2n2＋3n 解析　設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，則b＝1， 所以f(x)＝kx＋1(k≠0)． 又[f(4)]2＝f(1)f(13)， 所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2. 所以f(x)＝2x＋1，則f(2n)＝4n＋1. 所以{f(2n)}是公差為4的等差數(shù)列． 所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n. 1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于(　　) A．6B．7C．8D．9 答案　A 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3， ∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0， 故當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的前n項和Sn取得最小值時，n等于6. 2．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99項和為(　　) A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99 答案　A 解析　由數(shù)列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以，前99項的和為S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101. 3．在等比數(shù)列{an}中，已知a2＝4，a6＝16，則a4＝________. 答案　8 解析　a＝a2a6＝416＝64，∴a4＝8. 若a4＝－8，則a＝a2a4＜0.∴a4＝－8舍去．∴a4＝8. 4．等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 答案　5 解析　log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2…a5)＝log2a， 又a1a5＝a＝4，且a3＞0，∴a3＝2. ∴l(xiāng)og2a＝log225＝5. 5．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，則此數(shù)列的通項公式為________；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第________項． 答案　an＝3n－16　3 解析　利用an＝求得an＝3n－16. 則nan＝3n2－16n＝3， 所以n＝3時，nan的值最小． 1．等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩種最基本的數(shù)列，也是高考中經(jīng)?？疾椴⑶抑攸c考查的內(nèi)容之一，這類問題多從數(shù)列的本質(zhì)入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡單運算、通項公式、求和公式等問題． 2．?dāng)?shù)列求和的方法：一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和． 3．在求通項求和的基礎(chǔ)上，可以借助不等式、單調(diào)性等研究數(shù)列的最值、取值范圍、存在性問題．