2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢卷九 解析幾何 理 北師大版.docx

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單元質(zhì)檢卷九　解析幾何 (時(shí)間:100分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2018名校聯(lián)盟二模,4)“a=1”是“直線(2a+1)x+ay+1=0和直線ax-3y+3=0垂直”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.(2019屆河北武邑中學(xué)調(diào)研三,文7)雙曲線my2-x2=1的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y=12x2的準(zhǔn)線上,則該雙曲線的離心率為(　　) A.5 B.25 C.23 D.3 3.已知直線l:xa+yb=1(a>0,b>0)將圓C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,則直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值為(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 4.(2018西藏自治區(qū)拉薩中學(xué)模擬,11)已知直線x-y+m=0與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),且△OAB為正三角形,則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A.32 B.62 C.32或-32 D.62或-62 5.(2018廣東佛山七校聯(lián)考,5)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為(　　) A.x23-y2=1 B.x2-y23=1 C.x24-y212=1 D.x212-y24=1 6.已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對(duì)稱軸,過(guò)點(diǎn)A(-2,m)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|的值為(　　) A.4 B.25 C.42 D.3 7.(2019屆湖南、湖北八市十二校一調(diào)聯(lián)考,9)已知點(diǎn)A(0,2),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若|FM||MN|=55,則p的值等于(　　) A.18 B.14 C.2 D.4 8.已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若四邊形PACB面積的最小值是2,則k的值是(　　) A.2 B.212 C.2 D.22 9.(2018河北衡水二模,9)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線x2a-y2=1(a>1)與橢圓x2a+2+y2=1(a>1)的一個(gè)交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q(a+1,0),則△POQ的面積為(　　) A.a2 B.a C.1 D.12 10.(2018河北衡水中學(xué)第十七次模擬,10)若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是l,點(diǎn)M(4,m)是拋物線上一點(diǎn),則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,M且與l相切的圓共有(　　) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè) 11.(2018四川成都七中三診,11)已知雙曲線C:x2a2-4y2=1(a>0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于34,拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,則拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距離之和的最小值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 12.(2018青海西寧二模,11)拋物線C1:y2=4x和圓C2:(x-1)2+y2=1,直線l經(jīng)過(guò)C1的焦點(diǎn)F,依次交C1,C2于A,B,C,D四點(diǎn),則ABCD的值為(　　) A.34 B.1 C.2 D.4 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.已知點(diǎn)A(1,0),B(3,0),若直線y=kx+1上存在點(diǎn)P,滿足PA⊥PB,則k的取值范圍是　　　　　. 14.(2019屆河北衡水聯(lián)考,14)已知點(diǎn)P(-1,2)及圓(x-3)2+(y-4)2=4,一光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T,則|PQ|+|QT|的值為　　　　. 15.(2018河南南陽(yáng)聯(lián)考,15)M是拋物線C:y2=4x上一點(diǎn),F是拋物線C的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)且|MF|=2,K是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則∠MKO=　　　　　. 16.(2018云南曲靖一中質(zhì)檢七,16)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,直線l:x-2y=0交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=2,點(diǎn)P到直線l的距離不小于55,則橢圓離心率的取值范圍是　　　　　. 三、解答題(本大題共5小題,共70分) 17.(14分)(2019屆廣東廣州測(cè)試,20)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P,Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,又滿足OPOQ=0. (1)求m的值; (2)求直線PQ的方程. 18.(14分)(2019屆廣東湛江調(diào)研,20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=63,且右焦點(diǎn)為(22,0).斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求△PAB的面積. 19.(14分)(2019屆四川成都棠湖中學(xué)模擬,20)如圖,已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在x軸上,拋物線上的點(diǎn)A到F的距離為2,且A的橫坐標(biāo)為1.過(guò)A點(diǎn)作拋物線C的兩條動(dòng)弦AD,AE,且AD,AE的斜率滿足kADkAE=2. (1)求拋物線C的方程; (2)直線DE是否過(guò)某定點(diǎn)?若過(guò)某定點(diǎn),請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)某定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由. 20.(14分)(2018東北師范大學(xué)附中五模,20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為32,點(diǎn)3,12在C上. (1)求橢圓C的方程; (2)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)作直線AQ交橢圓C于另外一點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R,P為橢圓C上一點(diǎn),且AQ∥OP,求證:|AQ||AR||OP|2為定值. 21.(14分)(2019屆江西撫州七校聯(lián)考,20)已知圓M與直線3x-7y+4=0相切于點(diǎn)(1,7),圓心M在x軸上. (1)求圓M的方程; (2)過(guò)點(diǎn)M且不與x軸重合的直線l與圓M相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OB分別與直線x=8相交于C,D兩點(diǎn),記△OAB,△OCD的面積分別是S1,S2,求S1S2的取值范圍. 參考答案 單元質(zhì)檢卷九　解析幾何 1.A　當(dāng)a=1時(shí),直線(2a+1)x+ay+1=0的斜率為-3,直線ax-3y+3=0的斜率為13,兩直線垂直;當(dāng)a=0時(shí),兩直線也垂直,所以“a=1”是“直線(2a+1)x+ay+1=0和直線ax-3y+3=0垂直”的充分不必要條件,故選A. 2.A　∵拋物線的方程為y=12x2,∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-12.∵雙曲線my2-x2=1的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y=12x2的準(zhǔn)線上,∴雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,-12,∴a=12.又∵b=1,∴c=52,則雙曲線的離心率為ca=5.故選A. 3.B　圓C:x2+y2-2x-4y+4=0的圓心坐標(biāo)為(1,2), 則1a+2b=1≥22ab,∴ab≥8, 當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=4時(shí),等號(hào)成立. ∴直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12ab≥4. ∴直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值是4,故選B. 4.D　由題意得,圓O:x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑r=1.因?yàn)椤鱋AB為正三角形,則圓心O到直線x-y+m=0的距離為32r=32,即d=|m|2=32,解得m=62或m=-62,故選D. 5.B　雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),可得c=2,ba=3,即b2a2=3,c2-a2a2=3,解得a=1,b=3,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸,所得雙曲線的方程為x2-y23=1,故選B. 6.A　由x2+y2-4x+2y+1=0, 得(x-2)2+(y+1)2=4, ∴圓心C(2,-1),半徑r=2. 由題意可得,直線l:mx+y-1=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心(2,-1), ∴2m-1-1=0, ∴m=1,點(diǎn)A(-2,1). ∵AC=20,CB=r=2, ∴切線的長(zhǎng)|AB|=20-4=4. 7.C　設(shè)Fp2,0,MK是點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離,點(diǎn)K是垂足.由拋物線定義可得|MK|=|MF|,因?yàn)閨FM||MN|=55,所以|MK||MN|=55,那么|KN|∶|KM|=2∶1,即直線FA的斜率是-2,所以2-00-p2=-2,解得p=2.故選C. 8.C　∵圓的方程為x2+(y-1)2=1, ∴圓心C(0,1),半徑r=1. 當(dāng)四邊形PACB的面積最小時(shí),圓心C到點(diǎn)P的距離最小,最小值為圓心C到直線kx+y+4=0(k>0)的距離d, 此時(shí)PA=PB=2. ∴d=5=|1+4|1+k2,解得k=2. ∵k>0,∴k=2. 故選C. 9.D　由題意知兩曲線有相同的焦點(diǎn),設(shè)左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2, 根據(jù)雙曲線的定義得到|PF1|-|PF2|=2a,根據(jù)橢圓的定義得到|PF1|+|PF2|=2a+2, 聯(lián)立兩個(gè)式子得到|PF1|=a+2+a,|PF2|=a+2-a,由橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得|F1F2|=2a+1, 所以Q與F2重合,由余弦定理得到cos∠F1PF2=2(2a+2)-4(a+1)2=0,故∠F1PF2=π2, 則S△POQ=12S△PF1F2=1212(a+2+a)(a+2-a)=12,故選D. 10.D　因?yàn)辄c(diǎn)M(4,m)在拋物線y2=4x上,所以可求得m=4.由于圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且與準(zhǔn)線l相切,所以由拋物線的定義知圓心在拋物線上.又圓經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)M,所以圓心在線段FM的垂直平分線上,故圓心是線段FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn).結(jié)合圖形知對(duì)于點(diǎn)M(4,4)和(4,-4),線段FM的垂直平分線與拋物線都各有兩個(gè)交點(diǎn).所以滿足條件的圓有4個(gè).故選D. 11.B　由雙曲線方程x2a2-4y2=1(a>0)可得,雙曲線的右頂點(diǎn)為(a,0),漸近線方程為y=12ax,即x2ay=0.∵雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于34,∴a1+4a2=34,解得a2=34,∴雙曲線的方程為4x23-4y2=1,∴雙曲線的焦點(diǎn)為(1,0).又拋物線E:y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,∴p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).如圖, 設(shè)點(diǎn)M到直線l1的距離為|MA|,到直線l2的距離為|MB|,則|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.結(jié)合圖形可得當(dāng)A,M,F三點(diǎn)共線時(shí),|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離d=|41+6|42+32=2.故選B. 12.B　拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),易知直線l存在斜率且不為0,設(shè)方程為y=k(x-1),聯(lián)立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得A1+2k2-2k2+1k2,2k-2k2+1k2,D1+2k2+2k2+1k2,2k+2k2+1k2, 聯(lián)立y=k(x-1),(x-1)2+y2=1,得(k2+1)(x-1)2=1,解得B1-1k2+1,-kk2+1,C1+1k2+1,kk2+1, 則AB=-1k2+1-2k2+2k2+1k2,-kk2+1-2k+2k2+1k,CD=2k2+2k2+1k2-1k2+1,2k+2k2+1k-kk2+1,則ABCD=1. 13.-43,0　以AB為直徑圓的方程為(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0. ∵直線y=kx+1上存在點(diǎn)P,滿足PA⊥PB, ∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化為3k2+4k≤0. 解得-43≤k≤0,則k的取值范圍是-43,0. 14.43　點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P(-1,-2), 由反射的對(duì)稱性可知,直線PQ與圓相切,|PQ|+|QT|=|PT|, ∵圓(x-3)2+(y-4)2=4的圓心坐標(biāo)為A(3,4),半徑r=2, ∴|AP|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|PT|=|AP|2-|AT|2=43,故答案為43. 15.45　由拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)M(x1,y1)(y1>0),則x1+1=2,得M(1,2),因?yàn)镵(-1,0),O(0,0),所以KM=(2,2),KO=(1,0),可得KMKO=2,|KM|=22,|KO|=1.cos∠MKO=cos=KMKO|KM||KO|=22,所以∠MKO=45. 16.0,32　設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,連接AF,BF(圖略),因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以|AF|+|BF|=|BF|+|AF|=2,則|AF|+|AF|+|BF|+|BF|=4,即2a=2,a=1,設(shè)P(0,b),因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離不小于55,所以|2b|5≥55,即b≥12,即c=1-b2≤32,即ca∈0,32,即橢圓離心率的取值范圍是0,32. 17.解 (1)x2+y2+2x-6y+1=0?(x+1)2+(y-3)2=9, 所以曲線為以(-1,3)為圓心,3為半徑的圓, 由已知,得直線過(guò)圓心,所以-1+3m+4=0, 解之,得m=-1. (2)設(shè)直線PQ的方程為y=-x+b, 聯(lián)立方程組 x2+y2+2x-6y+1=0,y=-x+b, 得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0, 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則有x1+x2=b-4,x1x2=b2-6b+12, 又OPOQ=0,所以x1x2+y1y2=0, 即2x1x2-b(x1+x2)+b2=0, 將x1+x2=b-4,x1x2=b2-6b+12代入上式得b2-2b+1=0, 所以b=1, 所以直線PQ的方程為y=-x+1. 18.解 (1)由已知得c=22,ca=63,解得a=23. b2=a2-c2=4, ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212+y24=1. (2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程得 4x2+6mx+3m2-12=0,?、? 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為E(x0,y0), 則x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4, 因?yàn)锳B是等腰三角形PAB的底邊,所以PE⊥AB. 所以PE的斜率為k=2-m4-3+3m4=-1,解得m=2, 此時(shí)方程①為4x2+12x=0. 解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=32, 此時(shí),點(diǎn)P(-3,2)到直線AB:x-y+2=0的距離 d=|-3-2+2|2=322, 所以△PAB的面積S=12|AB|d=92. 19.解 (1)設(shè)拋物線方程為C:y2=2px(p>0), 由其定義知|AF|=1+p2,又|AF|=2, 所以p=2,y2=4x. (2)易知A(1,2),設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程為x=my+n(m≠0). 把DE方程代入拋物線C,并整理得y2-4my-4n=0, Δ=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n. 由kADkAE=y1-2x1-1y2-2x2-1=2及y12=4x1,y22=4x2得 y1y2+2(y1+y2)=4,即-4n+24m=4,所以n=2m-1,代入DE方程得: x=my+2m-1,即(y+2)m=x+1, 故直線DE過(guò)定點(diǎn)(-1,-2). 20.解 (1)由題可得e=ca=32, 且(3)2a2+(12)2b2=1,a2=b2+c2, 所以a=2,c=3,b=1, 所以橢圓C的方程為x24+y2=1. (2)設(shè)直線AQ:y=k(x+2),R(0,2k), 由y=k(x+2),x24+y2=1?(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0, 由韋達(dá)定理可得:x1+x2=-16k21+4k2,x1x2=16k2-41+4k2, x1=-2,x2=xQ=2-8k21+4k2, 則|AQ|=1+k2|xQ-x1|=1+k22-8k21+4k2+2=1+k241+4k2, |AR|=1+k2|0-(-2)|=21+k2,|OP|=1+k2|xP-0|, 令直線OP為y=kx且令yP>0,xP>0. y=kx,x24+y2=1,得(1+4k2)x2-4=0, 由韋達(dá)定理可得x1+x2=0,x1x2=-41+4k2,x2=xP=41+4k2, 所以|OP|=21+k21+4k2,|AQ||AR||OP|2=41+4k2241+4k2=2, 所以|AQ||AR||OP|2為2. 21.解 (1)設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=r2, (1-a)2+7=r2,71-a37=-1, 解得a=4,r=4, 所以圓的方程為(x-4)2+y2=16. (2)由題意知:∠AOB=π2, 設(shè)直線OA的斜率為k(k≠0),則直線OA的方程為y=kx, 由y=kx,x2+y2-8x=0,得(1+k2)x2-8x=0, 解得x=0,y=0,或x=81+k2,y=8k1+k2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為81+k2,8k1+k2,又直線OB的斜率為-1k,同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為8k21+k2,-8k1+k2. 由題意知,C(8,8k),D8,-8k, 因此,S1S2=OAOBODOC=OAOCOBOD. 又OAOC=xAxC=81+k28=11+k2,同理,OBOD=k21+k2, 所以S1S2=k2k4+2k2+1=1k2+1k2+2≤14,當(dāng)且僅當(dāng)|k|=1時(shí)取等號(hào). 又S1S2>0,所以S1S2的取值范圍是0,14.