2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級訓(xùn)練42 直線的交點坐標(biāo)與距離公式(含解析)文 新人教A版.doc
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課下層級訓(xùn)練(四十二) 直線的交點坐標(biāo)與距離公式 [A級 基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1.命題p:“a=-2”是命題q:“直線ax+3y-1=0與直線6x+4y-3=0垂直”成立的( ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 A [直線ax+3y-1=0與直線6x+4y-3=0垂直的充要條件是6a+12=0,即a=-2.] 2.(2019湖南衡陽月考)三條直線l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0圍成一個三角形,則k的取值范圍為( ) A.{k|k≠5且k≠1} B.{k|k≠5且k≠-10} C.{k|k≠1且k≠0} D.{k|k≠5} B [三條直線圍成一個三角形,則三條直線互不平行,且不過同一點,∴-k5≠0,且51-k-15≠0,∴k≠5且k≠-10. ] 3.(2019山東臨沂聯(lián)考)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點A(2,0),B(0,4),若其歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點C的坐標(biāo)是( ) A.(-4,0) B.(0,-4) C.(4,0) D.(4,0)或(-4,0) A [當(dāng)頂點C的坐標(biāo)是(-4,0)時,三角形重心坐標(biāo)為,在歐拉線上,對于其他選項,三角形重心都不在歐拉線上.] 4.從點(2,3)射出的光線沿與向量a=(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上,則反射光線所在的直線方程為( ) A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0 C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0 A [由直線與向量a=(8,4)平行知,過點(2,3)的直線的斜率k=,所以直線的方程為y-3=(x-2),其與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(-2,3),所以反射光線過點(-2,3)與(0,2),由兩點式知A正確.] 5.直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30,直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)為__________. (1,) [直線l1:x-3y+2=0,直線l2:x+y-2=0,聯(lián)立方程組可求得x=1,y=.] 6.已知兩點A(-m,0)和B(2+m,0)(m>0),若在直線l:x+y-9=0上存在點P,使得PA⊥PB,則實數(shù)m的取值范圍是__________. m≥3 [設(shè)P(x,y),則kPA=,kPB=, 由已知可得 消去x得4y2-16y+63-m2-2m=0, 由題意得 解得m≥3.] 7.已知0<k<4,直線l1:kx-2y-2k+8=0和直線l2:2x+k2y-4k2-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,則使得這個四邊形面積最小的k值為__________. [由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,4),直線l1的縱截距為4-k,直線l2的橫截距為2k2+2,如圖, 所以四邊形的面積S=2k22+(4-k+4)2=4k2-k+8,故面積最小時,k=.] 8.已知兩直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且直線l1過點(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等. 解 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直線l1過點(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故a=2,b=2. (2)∵直線l2的斜率存在,l1∥l2, ∴直線l1的斜率存在. ∴k1=k2,即=1-a. 又∵坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等, ∴l(xiāng)1,l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即=b. 故a=2,b=-2或a=,b=2. 9.已知直線l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及點P(3,4). (1)證明直線l過某定點,并求該定點的坐標(biāo); (2)當(dāng)點P到直線l的距離最大時,求直線l的方程. (1)證明 直線l的方程可化為a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,由得 所以直線l恒過定點(-2,3). (2)解 由(1)知直線l恒過定點A(-2,3), 當(dāng)直線l垂直于直線PA時,點P到直線l的距離最大. 又直線PA的斜率kPA==, 所以直線l的斜率kl=-5. 故直線l的方程為y-3=-5(x+2), 即5x+y+7=0. [B級 能力提升訓(xùn)練] 10.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) B [直線l1:y=k(x-4)恒過定點(4,0),其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2).又由于直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,故直線l2恒過定點(0,2).] 11.已知動直線l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過點P(1,m)且Q(4,0)到動直線l的最大距離為3,則+的最小值為( ) A. B. C.1 D.9 B [因為動直線l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過點P(1,m),所以a+bm+c-2=0,又因為Q(4,0)到動直線l的最大距離為3,所以=3,解得m=0.所以a+c=2,則+=(a+c)=≥ =,當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=時取等號.] 12.(2018吉林延邊模擬)P點在直線3x+y-5=0上,且P點到直線x-y-1=0的距離為,則P點坐標(biāo)為__________. (1, 2)或(2, -1) [設(shè)P點坐標(biāo)為(x,5-3x),則P點到直線x-y-1=0的距離d===,所以|2x-3|=1,所以x=1或x=2. 所以P點坐標(biāo)為(1, 2)或(2,-1).] 13.已知M(x,y)為曲線C:+=1上任意一點,且A(-3,0),B(3,0),則|MA|+|MB|的最大值是__________. 8 [原曲線方程可化為+=1,作圖如下: 由上圖可得要使|MA|+|MB|取得最大值,則M必須在菱形的頂點處,不妨取M(0,),或M(4,0),均可求得|MA|+|MB|=8,故|MA|+|MB|的最大值為8.] 14.已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點P. (1)點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程; (2)求點A(5,0)到l的距離的最大值. 解 (1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, ∴=3,解得λ=2或λ=. ∴l(xiāng)的方程為x=2或4x-3y-5=0. (2)由解得交點P(2,1). 如圖,過P作任一直線l,設(shè)d為點A到l的距離, 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時等號成立). ∴dmax=|PA|=. 15.一條光線經(jīng)過點P(2,3)射在直線l∶x+y+1=0上,反射后經(jīng)過點Q(1,1),求: (1)入射光線所在直線的方程; (2)這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度. 解 (1)設(shè)點Q′(x′,y′)為Q關(guān)于直線l的對稱點,QQ′交l于M點,∵kl=-1,∴kQQ′=1, ∴QQ′所在直線的方程為y-1=1(x-1),即x-y=0. 由解得 ∴交點M,∴ 解得∴Q′(-2,-2). 設(shè)入射光線與l交于點N,則P,N,Q′三點共線, 又P(2,3),Q′(-2,-2), 故入射光線所在直線的方程為 =,即5x-4y+2=0. (2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| ==, 即這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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