2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 第6課時 直接證明與間接證明練習(xí) 理.doc
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第6課時 直接證明與間接證明 1.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 答案 C 解析 0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 2.要證a2+b2-1-a2b2≤0只要證明( ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a(chǎn)2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 答案 D 3.下列不等式不成立的是( ) A.0,b>0,a+b=1,則下列不等式不成立的是( ) A.a(chǎn)2+b2≥ B.a(chǎn)b≤ C.+≥4 D.+≤1 答案 D 解析 a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2()2=,∴A成立; ab≤()2=,∴B成立; +==≥=4,∴C成立; (+)2=a+b+2=1+2>1,∴+>1,故D不成立. 8.(2018廣東模擬)設(shè)x,y,z∈R+,a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三個數(shù)( ) A.至少有一個不大于2 B.都小于2 C.至少有一個不小于2 D.都大于2 答案 C 解析 假設(shè)a,b,c三個數(shù)都小于2. 則6>a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6, 即6>6,矛盾. 所以a,b,c三個數(shù)中至少有一個不小于2. 9.設(shè)a>0,b>0,求證:lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]. 答案 略 證明 要證lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)], 只需證1+≤, 即證:(1+)2≤(1+a)(1+b), 即證:2≤a+b, 而2≤a+b成立, ∴l(xiāng)g(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]. 10.(2017江蘇鹽城一模)已知x1,x2,x3為正實(shí)數(shù),若x1+x2+x3=1,求證:++≥1. 答案 略 解析 ∵+x1++x2++x3≥2+2+2=2(x1+x2+x3)=2,∴++≥1. 11.(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù),求證:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3. (2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,請給出證明;如果不成立,請舉出一個使它不成立的x的值. 答案 (1)略 (2)成立,證明略 解析 (1)證明:x是正實(shí)數(shù),由均值不等式,得 x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2. 故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥22x2=8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立). (2)解:若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立. 由(1)知,當(dāng)x>0時,不等式成立; 當(dāng)x≤0時,8x3≤0, 而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)[(x-)2+]≥0, 此時不等式仍然成立. 12.(2017湖北武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=5,S8=64. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求證:+>(n≥2,n∈N*). 答案 (1)an=2n-1 (2)略 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則解得a1=1,d=2. 故所求的通項(xiàng)公式為an=2n-1. (2)證明:由(1)可知Sn=n2, 要證原不等式成立,只需證+>, 只需證[(n+1)2+(n-1)2]n2>2(n2-1)2. 只需證(n2+1)n2>(n2-1)2. 只需證3n2>1. 而3n2>1在n≥1時恒成立, 從而不等式+>(n≥2,n∈N*)恒成立. 13.(2015湖南,理)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立. 答案 (1)略 (2)略 解析 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得00,且x≠1時,f(x)>. 答案 (1)a=1,b=1 (2)略 解析 (1)f′(x)=-. 由于直線x+2y-3=0的斜率為-,且過點(diǎn)(1,1), 故即 解得a=1,b=1. (2)由(1)知f(x)=+,所以 f(x)-=(2lnx-). 考慮函數(shù)h(x)=2lnx-(x>0),則 h′(x)=-=-. 所以當(dāng)x≠1時,h′(x)<0.而h(1)=0,故 當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0,可得h(x)>0; 當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0,可得h(x)>0. 從而當(dāng)x>0,且x≠1時,f(x)->0, 即f(x)>. 1.(2017安徽毛坦廠中學(xué)月考)若a,b,c是不全相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 證明過程如下: 因?yàn)閍,b,c∈R, 所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 又因?yàn)閍,b,c不全相等, 所以以上三式至少有一個等號不成立, 所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca. 此證法是( ) A.分析法 B.綜合法 C.分析法與綜合法并用 D.反證法 答案 B 解析 由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義.故選B. 2.已知M=(-1,1),求證:當(dāng)a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|. 答案 略 證明 ∵a,b∈M,即-10 即證(1-a2)(1-b2)>0,∵-10,1-b2>0,∴(1-a2)(1-b2)>0 ∴原不等式成立. 3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且-=1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,記Sn=k,證明:Sn<1. 答案 (1)an=1- (2)略 解析 (1)由題設(shè)-=1, 得{}是公差為1的等差數(shù)列. 又=1,故=n.所以an=1-. (2)由(1)得 bn===-,
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