四川省成都市高中數學 第二章 圓錐曲線及方程 第8課時 拋物線的簡單幾何性質同步測試 新人教A版選修1 -1.doc

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第8課時　拋物線的簡單幾何性質 基礎達標(水平一 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.設M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,點F為拋物線C的焦點,以F為圓心、|FM|為半徑的圓與拋物線C的準線相交于不同兩點,則y0的取值范圍是(　　). A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞)　 D.[2,+∞) 【解析】圓心到拋物線準線的距離為p=4,根據題意,只要滿足|FM|>4即可.由拋物線定義知,|FM|=y0+2.由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范圍是(2,+∞). 【答案】C 2.探照燈反光鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點處,已知燈口直徑是60 cm,燈深40 cm,則光源到反光鏡頂點的距離是(　　). A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm 【解析】如圖,建立平面直角坐標系,設拋物線方程為y2=2px(p>0),則點A(40,30). ∴302=2p40, ∴p=454,∴y2=452x. ∴光源到反光鏡頂點的距離為p2=12454=458=5.625(cm). 【答案】B 3.拋物線y2=2x的焦點為F,其準線經過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點,點M為這兩條曲線的一個交點,且|MF|=2,則雙曲線的離心率為(　　). A.102 B.2 C.5 D.52 【解析】點F12,0,準線l:x=-12, 由題意知a=12. 由拋物線的定義知,xM--12=2,∴xM=32, ∴yM2=3.∵點(xM,yM)在雙曲線上,∴9414-3b2=1, ∴b2=38,∴c2=a2+b2=58,∴e2=c2a2=584=52, ∴e=102. 【答案】A 4.已知點O為坐標原點,點F為拋物線y2=4x的焦點,點A是拋物線上一點,若OAAF=-4,則點A的坐標是(　　). A.(1,2) B.(4,4) C.(1,2)或(1,-2) D.(4,4)或(4,-4) 【解析】因為拋物線的焦點為F(1,0),設點Ay024,y0, 則OA=y024,y0,AF=1-y024,-y0. 由OAAF=-4,得y0=2, 所以點A的坐標是(1,2)或(1,-2). 【答案】C 5.對標準形式的拋物線,給出下列條件: ①焦點在y軸上;②焦點在x軸上;③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6;④由原點向過焦點的某直線作垂線,垂足坐標為(2,1). 其中滿足拋物線方程y2=10x的是　　　　.(要求填寫適合條件的序號) 【解析】拋物線y2=10x的焦點在x軸上,①不滿足,②滿足;設M(1,y0)是拋物線y2=10x上的一點,F為拋物線的焦點,則|MF|=1+p2=1+52=72≠6,所以③不滿足;由于拋物線y2=10x的焦點為52,0,過該焦點的直線方程為y=kx-52,若由原點向該直線作垂線,垂足坐標為(2,1)時,則k=-2,此時存在,所以④滿足. 【答案】②④ 6.設過點P(-2,4)且傾斜角為135的直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A,B兩點,若|PA|,|AB|,|PB|成等比數列,則拋物線C的方程為　　　　. 【解析】直線l的方程為y=-x+2, 聯立y=-x+2和y2=2px,消去x,得y2+2py-4p=0. 設點A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=-2p,y1y2=-4p. 由P,A,B三點共線,且|PA|,|AB|,|PB|成等比數列,則|y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等比數列,得|(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|2≠0, 則|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2,且y1≠y2,即|p+4|=p2+4p, 且Δ=(2p)2-4(-4p)=4p2+16p>0,解得p=1. 所求拋物線的方程為y2=2x. 【答案】y2=2x 7.在平面直角坐標系中,已知點A(0,4),B(0,-2),動點P(x,y)滿足PAPB-y2+8=0. (1)求動點P的軌跡方程; (2)設(1)中所求的軌跡與直線y=x+2交于C,D兩點,求證:OC⊥OD(O為坐標原點). 【解析】(1)由題意,可知PA=(-x,4-y), PB=(-x,-2-y), ∴x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0, 整理得x2=2y,∴動點P的軌跡方程為x2=2y. (2)由y=x+2,x2=2y,整理得x2-2x-4=0, ∴x1+x2=2,x1x2=-4. ∵kOCkOD=y1x1y2x2=(x1+2)(x2+2)x1x2 =x1x2+2(x1+x2)+4x1x2 =-4+4+4-4 =-1, ∴OC⊥OD. 拓展提升(水平二) 8.已知點M在拋物線y2=6x上,N為拋物線的準線l上的一點,F為拋物線的焦點,若FN=MF,則直線MN的斜率為(　　). A.2 B.1 C.2 D.3 【解析】由題設可知點M,N,F三點共線,且點F是線段MN的中點,不妨設點M(x0,y0)(y0<0),N-32,t(t>0),F32,0,則x0=92,y0=-t.又點M(x0,y0)在拋物線上,所以y02=6x0,即y0=-33,所以t=33.故直線MN的斜率k=-3. 設y0>0,則t<0,同理可得MN的斜率k=3,故選D. 【答案】D 9.已知點A(1,2)在拋物線C:y2=4x上,過點A作兩條直線分別交拋物線于D,E兩點,直線AD,AE的斜率分別為kAD,kAE,若直線DE過點P(-1,-2),則kADkAE=(　　). A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】設點D(x1,y1),E(x2,y2), 則kAD=y1-2x1-1,kAE=y2-2x2-1, ∴kADkAE=y1-2x1-1y2-2x2-1=y1y2-2(y1+y2)+4x1x2-(x1+x2)+1,?、? 設直線DE:y+2=k(x+1), 聯立方程y2=4x,y+2=k(x+1), 消去x,可得ky2-4y+4k-8=0. ∴y1+y2=4k,y1y2=4k-8k. ∴x1+x2=y1+y2+4-2kk=4+4k-2k2k2, x1x2=(y1y2)216=k2-4k+4k2, 代入①可得kADkAE=4k-8k-24k+4k2-4k+4k2-4+4k-2k2k2+1=2. 【答案】C 10.已知南北方向有條公路L,A地在公路正東2 km處,B地在A地北偏東60方向23 km處,河流沿岸曲線PQ上任意一點到公路L和到A地距離相等.現要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運貨物.經測算,從M到A,B修建公路的費用都為a萬元/km,那么,修建這兩條公路的總費用最低是　　　　萬元. 【解析】如圖所示,由題意知,曲線PQ是以A為焦點、L為準線的拋物線,根據拋物線的定義,知欲求M到A,B修建公路的費用最低,只需求出B點到準線L的距離即可.∵B地在A地北偏東60方向23 km處,∴B點到拋物線L的距離為23sin 60+2=5(km),∴修建這兩條公路的總費用最低為5a萬元. 【答案】5a 11.已知拋物線y2=4x的焦點為F, (1)若直線l過點M(4,0),且點F到直線l的距離為2,求直線l的方程. (2)設A,B為拋物線上兩點,且AB不與x軸垂直,若線段AB中點的橫坐標為2.求證:線段AB的垂直平分線恰過定點. 【解析】(1)由已知,x=4不合題意. 設直線l的方程為y=k(x-4), 由已知,拋物線的焦點坐標為F(1,0), 因為點F到直線l的距離為2,所以|3k|1+k2=2, 解得k=255,所以直線l的斜率為255. 所以直線l的方程為y=255(x-4). (2)設A,B兩點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 因為AB不與x軸垂直,所以設直線AB的方程為y=kx+b, 聯立方程y2=4x,y=kx+b, 消去y,得k2x2+(2bk-4)x+b2=0, x1+x2=4-2bkk2, 又因為線段AB中點的橫坐標為2,所以4-2bkk2=4, 整理得b=2-2k2k. 由線段AB中點的坐標為(2,2k+b), 得線段AB的垂直平分線的方程為 y-(2k+b)=-1k(x-2),　　(※) 將b=2-2k2k代入方程(※), 整理得x+ky-4=0,顯然過定點(4,0). 所以線段AB的垂直平分線恰過定點(4,0).