2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 空間中位置關(guān)系的判斷與證明（文）學(xué)案.docx

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第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明 1．以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以選擇、填空題的形式，題目難度較小； 2．以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并常與幾何體的表面積、體積相滲透． 1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α． (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b． (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β． (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b． 2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α． (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b． (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β． (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β． 熱點(diǎn)一　空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定 【例1】　(2018保定期末)已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（ ） A．， B．，， C．，， D．，， 解析由a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面， 在A中，，，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤； 在B中，，，，則a與b相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤； 在C中，由，，則，又，由線面垂直的性質(zhì)可知，故C正確； 在D中，，，，則a與b相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤． 答案　C 探究提高　判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法： (1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷． (2)借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定． (3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷． 【訓(xùn)練1】(2017廣東省際名校聯(lián)考)已知α，β為平面，a，b，c為直線，下列命題正確的是(　　) A．a(chǎn)?α，若b∥a，則b∥α B．α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，則b⊥β C．a(chǎn)⊥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)∩b＝A，a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β 解析　選項(xiàng)A中，b?α或b∥α，不正確． B中b與β可能斜交，B錯(cuò)誤． C中a∥c，a與c異面，或a與c相交，C錯(cuò)誤． 利用面面平行的判定定理，易知D正確． 答案　D 熱點(diǎn)二　空間平行、垂直關(guān)系的證明 【例2】　(2018聊城一中)如圖，在四棱錐中，平面PCD⊥平面ABCD，， ，． （1）求證：平面PAD⊥平面PBC； （2）求直線PB與平面PAD所成的角； （3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)E使得直線平面PAD，若存在求PE的長(zhǎng)，并證明你的結(jié)論． 證明(1)因?yàn)椋? 所以,四邊形為直角梯形,， 又，滿足，∴， 又，， ，∴， 又∵，∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴平面PAD⊥平面PBC. (2)取CD的中點(diǎn)H，連接BH,PH,作于G，如圖， 在四邊形ABCD中，，， 所以為正方形，所以； 因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，所以平面； 所以，. 因?yàn)?，所以? 在直角三角形中，，所以， 又，所以平面，所以到平面的距離等于； 設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為，則，即直線PB與平面PAD所成的角為， (3)存在為中點(diǎn)，即滿足條件,證明如下：取中點(diǎn)，連接.如圖， 因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以且， 所以且，即為平行四邊形，所以; 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，此時(shí)． 探究提高　垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型． (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行． (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直． (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直． (4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直． 【訓(xùn)練2】(2017成都診斷)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，點(diǎn)G，R分別在線段DH，HB上，且＝．將△AED，△CFD， △BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，B，C重合于點(diǎn)P，如圖2所示． 圖1　　　　　　　圖2 (1)求證：GR⊥平面PEF； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑． (1)證明　在正方形ABCD中，∠A，∠B，∠C為直角． ∴在三棱錐P－DEF中，PE，PF，PD兩兩垂直． 又PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF． ∵＝，即＝， ∴在△PDH中，RG∥PD． ∴GR⊥平面PEF． (2)解　正方形ABCD邊長(zhǎng)為4． 由題意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2． ∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4． S△DEF＝2＝6． 設(shè)三棱錐P－DEF內(nèi)切球的半徑為r， 則三棱錐的體積為VP－DEF＝PDS△PEF＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)r，解得r＝． ∴三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑為．  1．(2017全國(guó)Ⅰ卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) 2．(2016全國(guó)Ⅱ卷)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β． ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n． ③如果α∥β，m?α，那么m∥β． ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號(hào))． 3．(2016全國(guó)Ⅰ卷)平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A． B． C． D． 4．(2018全國(guó)I卷)如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且． （1）證明：平面平面； （2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積． 1．(2016浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 2．(2017全國(guó)Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 3．(2018全國(guó)II卷)如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離． 4．(2016全國(guó)Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求四面體NBCM的體積． 1．(2017梅州質(zhì)檢)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B．若m⊥α，n⊥m，則n∥α C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β 2．如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 3．(2017石家莊質(zhì)檢)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M∈AB，點(diǎn)N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是______． 5．(2017石家莊模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB． (1)求證：AC⊥平面FBC． (2)求四面體FBCD的體積． (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 6.(2018全國(guó)III卷)如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由． 參考答案 1．【解題思路】在平面MNQ中找是否有直線與直線AB平行． 【答案】　法一　對(duì)于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ．因此A項(xiàng)不正確．故選A． 　　 圖(1)　　　　　　　圖(2) 法二　對(duì)于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行．A項(xiàng)不正確．故選A． 2．【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的模型（可在長(zhǎng)方體中構(gòu)建）． 【答案】　當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故①錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④．故填②③④． 3．【解題思路】利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化m，n所成角． 【答案】　如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1，所以m1∥m， 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1， 所以B1D1∥m1，故B1D1∥m． 因?yàn)槠矫鍭BB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n． 故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角， 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為． 故選A． 4．【解題思路】(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到，即，再結(jié)合已知條件BA⊥AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，又因?yàn)锳B?平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ACD⊥平面ABC； (2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長(zhǎng)度，根據(jù)第一問(wèn)的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積. 【答案】（1）由已知可得，，BA⊥AC． 又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=． 又，所以． 作QE⊥AC，垂足為E，則． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱錐的體積為． 1．【解題思路】構(gòu)建模型再進(jìn)一步證明． 【答案】　由已知，α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確．故選C． 2．【解題思路】畫出其圖形，一一驗(yàn)證選項(xiàng)． 【答案】　如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1． 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1．故選C． 3．【解題思路】（1）連接，欲證平面，只需證明，即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可. 【答案】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)， 所以，且．連結(jié)． 因?yàn)椋? 所以為等腰直角三角形，且，． 由知，． 由，，知平面． （2）作，垂足為．又由（1）可得，所以平面． 故的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離． 由題設(shè)可知，，． 所以，． 所以點(diǎn)到平面的距離為． 4．【解題思路】(1)取BP中點(diǎn)，利用中位線；(2) N點(diǎn)到底面的距離是P點(diǎn)到底面的距離的一半． 【答案】(1)證明　由已知得AM＝AD＝2． 如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2． 又AD∥BC，故TNAM， 所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT． 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB． (2)解　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)， 所以N到平面ABCD的距離為PA． 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE． 由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝． 由AM∥BC得M到BC的距離為， 故S△BCM＝4＝2． 所以四面體NBCM的體積VNBCM＝S△BCM＝． 1．【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的模型（可在長(zhǎng)方體中構(gòu)建）． 【答案】　對(duì)于A，m∥α，α∩β＝n，則m∥n或m，n異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m⊥α，n⊥m，則n∥α或n?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正確；對(duì)于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m可能與β相交，也可能與β平行，也可能在β內(nèi)，故D錯(cuò)誤．故選C． 2．【解題思路】等腰三角形三線合一可得線線垂直關(guān)系． 【答案】　因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是AC⊥平面BDE．因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE．又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C． 3．【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的模型（可在長(zhǎng)方體中構(gòu)建）． 【答案】?、賛∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤．故選B． 4．【解題思路】相似比可得平行關(guān)系． 【答案】　由＝，得MN∥BD．而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC．故填平行． 5．【解題思路】(1)底面長(zhǎng)度確定，可用勾股定理證垂直；(2) FC即為棱錐的高；(3)先利用中點(diǎn)找出M，再證明． 【答案】(1)證明　在△ABC中，因?yàn)锳C＝，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2， 所以AC⊥BC． 又因?yàn)锳C⊥FB，BC∩FB＝B，BC，F(xiàn)B?平面FBC， 所以AC⊥平面FBC． (2)解　因?yàn)锳C⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC， 所以AC⊥FC． 因?yàn)镃D⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD． 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1． 所以△BCD的面積為S＝． 所以四面體FBCD的體積為VF－BCD＝SFC＝． (3)解　線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM．證明如下： 連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN． 因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn)． 所以EA∥MN．因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM， 所以EA∥平面FDM． 所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA∥平面FDM成立． 6.【解題思路】（1）先證,再證，進(jìn)而完成證明． （2）判斷出為中點(diǎn)，，證明，然后進(jìn)行證明即可． 【答案】（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD． 因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因?yàn)镸為CD上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM． 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． （2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD． 證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)． 連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP． MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．