2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式專題檢測試卷 新人教A版選修4-5.docx

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第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 專題檢測試卷(四) (時(shí)間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．如果命題P(n)對n＝k成立，那么它對n＝k＋2成立，又若P(n)對n＝1成立，則P(n)對所有(　　) A．正整數(shù)n成立 B．正偶數(shù)n成立 C．正奇數(shù)n成立 D．大于1的自然數(shù)n成立 答案　C 2．若等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)，則(　　) A．n為任何正整數(shù)時(shí)都成立 B．僅當(dāng)n＝1,2,3時(shí)成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)成立，n＝5時(shí)不成立 D．僅當(dāng)n＝4時(shí)不成立 答案　B 解析　分別用n＝1,2,3,4,5驗(yàn)證即可． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－ 答案　A 解析　第一步驗(yàn)證n＝2時(shí)不等式成立，即1＋＜2－. 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除，假設(shè)a4k能被4整除，然后應(yīng)該證明(　　) A．a(chǎn)4k＋1能被4整除 B．a(chǎn)4k＋2能被4整除 C．a(chǎn)4k＋3能被4整除 D．a(chǎn)4k＋4能被4整除 答案　D 解析　假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，即a4k能被4整除，然后應(yīng)證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即a4(k＋1)＝a4k＋4能被4整除． 5．設(shè)f(n)＝1＋＋＋＋…＋，則f(k＋1)－f(k)等于(　　) A. B.＋＋ C.＋ D.＋ 答案　D 解析　當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，f(k)＝1＋＋＋…＋， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋， 所以f(k＋1)－f(k)＝＋. 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對42k＋1＋3k＋2變形正確的是(　　) A．16(42k－1＋3k＋1)－133k＋1 B．442k＋93k C．(42k－1＋3k＋1)＋1542k－1＋23k＋1 D．3(42k－1＋3k＋1)－1342k－1 答案　A 解析　假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，42n－1＋3n＋1能被13整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 42k＋1＋3k＋2＝1642k－1＋33k＋1 ＝16(42k－1＋3k＋1)－133k＋1. 7．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．a(chǎn)，b，c不存在 答案　A 解析　令n等于1,2,3，得 解得a＝，b＝c＝. 8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…－＝2時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2且為偶數(shù))時(shí)，等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證(　　) A．n＝k＋1時(shí)等式成立 B．n＝k＋2時(shí)等式成立 C．n＝2k＋2時(shí)等式成立 D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立 答案　B 解析　偶數(shù)k的后繼偶數(shù)為k＋2，故應(yīng)再證n＝k＋2時(shí)等式成立． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋)，在驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)，等式右邊的式子是________． 答案　cosα 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，右邊＝＝cosα. 10．仔細(xì)觀察下列不等式： >， >， >， >， 則第n個(gè)不等式為______________________________． 答案　…>(n∈N＋) 11．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜測第n個(gè)不等式為____________________________． 答案　1＋＋＋…＋>(n∈N＋) 解析　1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1， 31＝25－1，歸納第n個(gè)式子為1＋＋＋…＋>(n∈N＋)． 12．設(shè)n∈N＋，f(n)＝5n＋23n－1＋1，通過計(jì)算n＝1,2,3,4時(shí)f(n)的值，可以猜想f(n)能被數(shù)值________整除． 答案　8 三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分) 13．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N＋時(shí)，＋＋…＋＝. 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即＋＋…＋＝. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝ ＝. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N＋等式都成立． 14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)＝352n＋1＋23n＋1(n∈N＋)能被17整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝353＋24＝391＝1723， 故f(1)能被17整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立． 即f(k)＝352k＋1＋23k＋1能被17整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝352k＋3＋23k＋4 ＝52352k＋1＋5223k＋1－5223k＋1＋23k＋4 ＝25f(k)－1723k＋1. 由歸納假設(shè)可知，f(k)能被17整除，又1723k＋1顯然可被17整除，故f(k＋1)能被17整除． 綜合(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，f(n)能被17整除． 15．設(shè)an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在關(guān)于n的整式q(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q(n)(an－1)對于大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論． 解　假設(shè)q(n)存在，探索q(n)． 當(dāng)n＝2時(shí)，由a1＝q(2)(a2－1)， 即1＝q(2)，得q(2)＝2. 當(dāng)n＝3時(shí)，由a1＋a2＝q(3)(a3－1)， 即1＋＝q(3)，得q(3)＝3. 當(dāng)n＝4時(shí)，由a1＋a2＋a3＝q(4)(a4－1)， 即1＋＋＝ q(4)，得q(4)＝4. 由此猜想q(n)＝n(n≥2，n∈N＋)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥2且n∈N＋時(shí)， 等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． ①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝a1＝1，右邊＝2(a2－1)＝2＝1，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)結(jié)論成立， 即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak ＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k ＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 ＝(k＋1) ＝(k＋1)(ak＋1－1)， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 由①②可知，對于大于1的一切正整數(shù)n，都存在q(n)＝n使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q(n)(an－1)成立． 16．如果數(shù)列{an}滿足條件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，證明：對任何正整數(shù)n，都有an＋1＞an且an＜0. 證明　(1)由于a1＝－4， a2＝＝＝＞a1. 且a1＜0，因此，當(dāng)n＝1時(shí)不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，ak＋1＞ak且ak＜0，即 ak＋1＝＜0， ak＋2－ak＋1＝－ ＝＞0. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立， 由(1)(2)知，不等式對任何正整數(shù)n都成立． 因此，對任何正整數(shù)n，都有an＋1＞an且an＜0. 17．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋<. (1)解　由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由以上知結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝(k＋2)2. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． (2)證明　＝<. 當(dāng)n≥2且n∈N＋時(shí)，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n. 故＋＋…＋ <＋ ＝＋ ＝＋<＋＝. 故原不等式成立． 18．已知a，b∈R＋，n∈N＋.求證：≥n. 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，≥，顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即≥k. 要證n＝k＋1時(shí)，不等式成立， 即證≥k＋1. 在≥k的兩邊同時(shí)乘以，得 ≥k＋1. 要證≥k＋1， 只需證≥， 因?yàn)椤? ?2(ak＋1＋bk＋1)≥(a＋b)(ak＋bk) ?2(ak＋1＋bk＋1)－(ak＋1＋abk＋akb＋bk＋1)≥0 ?ak＋1－abk－akb＋bk＋1≥0 ?(a－b)(ak－bk)≥0. 又a－b與(ak－bk)同正負(fù)(或同時(shí)為0)， 所以不等式(a－b)(ak－bk)≥0顯然成立． 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 綜合(1)(2)可知，對任何n∈N＋，不等式恒成立．