2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊三 數(shù)列 第10講 數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理.docx

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第10講　數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列 1.(1)[2014全國(guó)卷Ⅱ]數(shù)列{an}滿足an+1=11-an,a8=2,則a1=　　　　. (2)[2018全國(guó)卷Ⅰ]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=　　　　. [試做] 命題角度　數(shù)列的遞推問題 (1)解決數(shù)列的遞推問題:關(guān)鍵一,利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2得出an與an+1(或an-1)的遞推式; 關(guān)鍵二,觀察遞推式的形式,采用不同的方法求an. (2)若遞推式形如an+1=an+f(n),an+1=f(n)an,則可分別通過累加、累乘法求得通項(xiàng)公式,或用迭代法求得通項(xiàng)公式; 若遞推式形如an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),且p≠1),則通?；癁閍n+1-t=p(an-t)的形式,其中t=q1-p,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解. 2.(1)[2017全國(guó)卷Ⅲ]等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-24 B.-3 C.3 D.8 (2)[2016全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　. [試做] 命題角度　等差、等比數(shù)列的基本計(jì)算 關(guān)鍵一:基本量思想(等差數(shù)列:首項(xiàng)a1和公差d.等比數(shù)列:首項(xiàng)a1和公比q). 關(guān)鍵二:等差數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則an+am=ap+aq; 等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則anam=apaq. 3.(1)[2017全國(guó)卷Ⅱ]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則∑k=1n1Sk=　　　　. (2)[2015全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　. [試做] 命題角度　數(shù)列求和 關(guān)鍵一:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解. 關(guān)鍵二:利用數(shù)列求和方法(公式法、倒序相加法、分組求和法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法)求解. 小題1數(shù)列的遞推關(guān)系 1 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2018= (　　) A.22018-1 B.32018-6 C.122018-72 D.132018-103 (2)已知數(shù)列{an}滿足a1=15,an+1-ann=2(n∈N*),則ann的最小值為　　　　. [聽課筆記] 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,常用的方法有:①求出數(shù)列的前幾項(xiàng),再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(注意驗(yàn)證);②將已知遞推關(guān)系式整理、變形得到等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,或用累加法(適用于an+1=an+f(n)型)、累乘法(適用于an+1=anf(n)型)、待定系數(shù)法(適用于an+1=pan+q型)求通項(xiàng)公式. 【自我檢測(cè)】 1.數(shù)列{an}滿足a1=1,且對(duì)任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,則1a1+1a2+1a3+…+1a2017等于 (　　) A.20162017 B.20172018 C.20171009 D.40242017 2.定義各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}:a1=1,a2=1,當(dāng)n≥3時(shí),an=an-1+an-12an-2.定義各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{bn}:b1=1,b2=3,當(dāng)n≥3時(shí),bn=bn-1+bn-12bn-2.則b2017a2018= (　　) A.2017 B.2018 C.2019 D.1009 3.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=3+an1-3an,則數(shù)列{an}的前2018項(xiàng)和S2018=　　　　. 4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+Sn=3n-1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=　　　　. 小題2等差、等比數(shù)列的基本計(jì)算 2 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,bn=log2(an22an),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則滿足Tn>1024的n的最小值為(　　) A.9 B.10 C.12 D.15 (2)已知等差數(shù)列{an}中,a3=7,a9=19,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則Sn+10an+1的最小值為　　　　. [聽課筆記] 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 等差、等比數(shù)列問題的求解策略:(1)抓住基本量,首項(xiàng)a1、公差d或公比q;(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征,如前n項(xiàng)和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=pqn-1(p,q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列;(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常采用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 【自我檢測(cè)】 1.已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若a1,a3,a2成等差數(shù)列,則公比q的值為 (　　) A.-12 B.-2 C.1或-12 D.-1或12 2.等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,公比q≠1,若a4,a3,a5成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5= (　　) A.-31 B.33 C.45 D.93 3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取得最小值時(shí),n的值為　　　　. 4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=9,a5=1,則使得Sn>0成立的n的最大值為　　　　. 小題3等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 3 (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的兩個(gè)根,則S13= (　　) A.58 B.54 C.56 D.52 (2)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),對(duì)任意的m,n∈N*,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,則log2a1+log2a2+…+log2a7=　　　　. [聽課筆記] 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 等差、等比數(shù)列性質(zhì)使用的注意點(diǎn): (1)通項(xiàng)性質(zhì):若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則對(duì)于等差數(shù)列有am+an=ap+aq=2ak,對(duì)于等比數(shù)列有aman=apaq=ak2. (2)前n項(xiàng)和的性質(zhì):對(duì)于等差數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差數(shù)列;對(duì)于等比數(shù)列,若有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比數(shù)列,則僅在q≠-1,或q=-1且m為奇數(shù)時(shí)滿足. 【自我檢測(cè)】 1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且滿足a2017+a2018=π,b202=4,則tana2+a4033b1b39= (　　) A.-1 B.22 C.1 D.3 2.已知等比數(shù)列{an}中,a5=2,a6a8=8,則a2018-a2016a2014-a2012=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S30=130,則S40= (　　) A.-510 B.400 C.400或-510 D.30或40 4.已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,a1=1,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn= (　　) A.n(n+1)2 B.(n+1)22 C.n2+12 D.n(n+3)4 小題4等差、等比數(shù)列的綜合問題 4 (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn,a3=4,T6=27,數(shù)列{bn}滿足bn+1=b1+b2+b3+…+bn,b1=b2=1,設(shè)cn=an+bn,則數(shù)列{cn}的前11項(xiàng)和S11= (　　) A.1062 B.2124 C.1101 D.1100 (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+t(t∈R),數(shù)列{bn}為公比小于1的等比數(shù)列,且滿足b1b4=8,b2+b3=6,設(shè)cn=an+bn2+|an-bn|2,在數(shù)列{cn}中,若c4≤cn(n∈N*),則實(shí)數(shù)t的取值范圍為　　　　. [聽課筆記] 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 解決數(shù)列的綜合問題的易失分點(diǎn):(1)公式an=Sn-Sn-1適用于所有數(shù)列,但易忽略n≥2這個(gè)前提;(2)對(duì)含有字母的等比數(shù)列求和時(shí)要注意q=1或q≠1的情況,公式Sn=a1(1-qn)1-q只適用于q≠1的情況. 【自我檢測(cè)】 1.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù),a8=-2,a13=4,前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列,從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列,則a15=(　　) A.8 B.16 C.64 D.128 2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1a6=2a3,a4與2a6的等差中項(xiàng)為32,則S5= (　　) A.315325 B.30 C.31 D.315324 3.當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù),如N(3)=3,N(10)=5.若S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),則S(5)=(　　) A.342 B.345 C.341 D.346 4.已知等比數(shù)列{an}滿足a2a5=2a3,且a4,54,2a7成等差數(shù)列,則a1a2…an的最大值為　　　　.  模塊三　數(shù)列 第10講　數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列 典型真題研析 1.(1)12　(2)-63　[解析] (1)由題易知a8=11-a7=2,得a7=12;a7=11-a6=12,得a6=-1;a6=11-a5=-1,得a5=2,于是可知數(shù)列{an}具有周期性,且周期為3,所以a1=a7=12. (2)方法一:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,又由Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n≥2),得Sn=2Sn-1-1(n≥2),即Sn-1=2(Sn-1-1)(n≥2),所以數(shù)列{Sn-1}是以S1-1=-2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以S6-1=(-2)25=-64,則S6=-63. 方法二:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1.由Sn=2an+1①,得Sn-1=2an-1+1(n≥2)②,①-②得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2),所以{an}是以a1=-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,于是S6=(-1)(1-26)1-2=-63. 2.(1)A　(2)64　[解析] (1){an}為等差數(shù)列,且a2,a3,a6成等比數(shù)列,則a32=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d). 將a1=1代入上式并化簡(jiǎn),得d2+2d=0, ∵d≠0,∴d=-2, ∴S6=6a1+652d=16+652(-2)=-24. (2)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,則q=a2+a4a1+a3=12,可得a1+14a1=10,得a1=8,所以an=812n-1=12n-4. 所以a1a2…an=12-3-2-1+0+…+(n-4)=1212(n2-7n),易知當(dāng)n=3或n=4時(shí),12(n2-7n)取得最小值-6,故a1a2…an的最大值為12-6=64. 3.(1)2nn+1　(2)-1n　[解析] (1)設(shè)公差為d,則a1+2d=3且4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以Sk=k(k+1)2,1Sk=21k-1k+1, 所以∑k=1n1Sk=21-12+12-13+…+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1. (2)因?yàn)閍1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn+1-1Sn=-1,所以數(shù)列1Sn是首項(xiàng)為-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以1Sn=-n,所以Sn=-1n. 考點(diǎn)考法探究 小題1 例1　(1)A　(2)274　[解析] (1)由題意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1), 兩式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,即an+1=-2an-3,即an+1+1=-2(an+1), 由3S1=2a1-3=3a1,可得a1=-3,∴a1+1=-2, ∴數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為-2,公比為-2的等比數(shù)列, 據(jù)此有a2018+1=(-2)(-2)2017=22018,∴a2018=22018-1. (2)由an+1-ann=2,得an+1-an=2n, ∵a1=15, ∴當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=15+2+4+…+2(n-1)=15+2n(n-1)2=n2-n+15, ∵a1=15滿足上式, ∴an=n2-n+15,∴ann=n+15n-1, 易知當(dāng)n依次取1,2,3時(shí),n+15n-1的值遞減;當(dāng)n取大于或等于4的自然數(shù)時(shí),n+15n-1的值遞增. 當(dāng)n=3時(shí),ann=3+5-1=7;當(dāng)n=4時(shí),ann=4+154-1=274. 故ann的最小值為274. 【自我檢測(cè)】 1.C　[解析] ∵an+m=am+an+mn對(duì)任意的m,n∈N*都成立,∴an+1=an+a1+n=an+1+n,即an+1-an=1+n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),把上面(n-1)個(gè)式子相加可得,an-a1=2+3+4+…+n,∴an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a1=1,滿足上式,∴an=n(n+1)2,從而有1an=2n(n+1)=21n-1n+1,∴1a1+1a2+1a3+…+1a2017=21-12+12-13+…+12017-12018=20171009. 2.D　[解析] 當(dāng)n≥3時(shí),由an=an-1+an-12an-2兩邊同除以an-1,可得anan-1=1+an-1an-2,即anan-1-an-1an-2=1, 則數(shù)列anan-1是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以anan-1=n-1(n≥2), 所以an=a1a2a1a3a2…anan-1=112…(n-1)(n≥2). 同理可得bnbn-1-bn-1bn-2=1(n≥3),則數(shù)列bnbn-1是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,所以bnbn-1=n+1(n≥2), 可得bn=b1b2b1b3b2…bnbn-1=134…(n+1)(n≥2), 所以b2017a2018=134…2018112…2017=1009,故選D. 3.3　[解析] ∵a1=0,an+1=3+an1-3an, ∴a2=31=3,a3=3+31-33=23-2=-3, a4=3-31+33=0, ∴數(shù)列{an}具有周期性,其周期為3,且a1+a2+a3=0, 則S2018=S3672+2=a1+a2=3. 4.3-12n-2　[解析] 由an+Sn=3n-1,得當(dāng)n≥2時(shí),an-1+Sn-1=3n-4,兩式相減得an=12an-1+32,∴an-3=12(an-1-3).∵當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=3-1=2,∴a1=1,∵a1-3=-2,∴數(shù)列{an-3}是以-2為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列, ∴an-3=-212n-1,∴an=3-12n-2. 小題2 例2　(1)A　(2)3　[解析] (1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=21+1-2=2,滿足上式,所以an=2n, 所以bn=log2(an22an)=log2an2+log22an=2n+2n, 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n(2+2n)2+2(1-2n)1-2=n(n+1)+2n+1-2,易知當(dāng)n∈N*時(shí),Tn遞增. 當(dāng)n=9時(shí),T9=910+210-2=1112>1024; 當(dāng)n=8時(shí),T8=89+29-2=582<1024. 所以滿足Tn>1024的n的最小值為9. (2)∵a3=7,a9=19,∴公差d=a9-a39-3=19-76=2,∴an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1, ∴Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2), ∴Sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12(n+1)+9n+1≥122(n+1)9n+1=3, 當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào). 【自我檢測(cè)】 1.C　[解析] 由題意知2a3=a1+a2,∴2a1q2=a1q+a1,即2q2=q+1,∴q=1或q=-12. 2.B　[解析] ∵等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,∴an=3qn-1,又a4,a3,a5成等差數(shù)列,∴a4+a5=2a3,∴q2+q=2,∴(q+2)(q-1)=0,∴q=-2,∴an=3(-2)n-1,∴S5=3[1-(-2)5]1-(-2)=33,故選B. 3.6　[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a4+a6=2a1+8d=2(-11)+8d=-6,解得d=2,所以Sn=-11n+n(n-1)22=n2-12n=(n-6)2-36,所以當(dāng)n=6時(shí),Sn取得最小值. 4.9　[解析] 因?yàn)閍1=9,a5=1,所以公差d=1-94=-2,所以Sn=9n+12n(n-1)(-2)=10n-n2,令Sn>0,得00成立的n的最大值為9. 小題3 例3　(1)D　(2)21　[解析] (1)由根與系數(shù)的關(guān)系可得a4+a10=8, 結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a13=a4+a10=8, 則S13=13(a1+a13)2=1382=52. (2)令m=1,∵aman=am+n,∴a1an=a1+n,∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列.由a3a5+a4=72,得a42+a4=72,∵a4>0,∴a4=8,∴l(xiāng)og2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log2a47=log287=21. 【自我檢測(cè)】 1.C　[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a2+a4033=a2017+a2018=π,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,b1b39=b202=4,所以tana2+a4033b1b39=tanπ4=1,故選C. 2.A　[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴a6a8=a72=8,∴a7=22(與a5同號(hào)),∴q2=a7a5=2,∴a2018-a2016a2014-a2012=q4=(2)2=2.故選A. 3.B　[解析] ∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,∴S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等比數(shù)列,∴10(130-S20)=(S20-10)2,解得S20=40或S20=-30(舍),故S40-S30=270,∴S40=400,故選B. 4.A　[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).∵a2,a4,a8成等比數(shù)列,∴a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴(1+3d)2=(1+d)(1+7d),∴d=1,∴Sn=n+n(n-1)2=n(n+1)2.故選A. 小題4 例4　(1)C　(2)[-4,-2]　[解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a1+2d=4,6a1+15d=27,解得a1=2,d=1, ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+1. 當(dāng)n≥2時(shí),bn+1-bn=bn,∴bn+1=2bn, 即數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列,∴bn=2n-2(n≥2), ∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1,n=1,2n-2,n≥2. 分組求和可得數(shù)列{cn}的前11項(xiàng)和S11=(2+3+4+…+12)+(1+1+2+22+…+29)=77+210=1101. (2)在等比數(shù)列{bn}中,由b1b4=8得b2b3=8,又b2+b3=6,且公比q小于1,∴b2=4,b3=2,∴q=b3b2=12,因此bn=b2qn-2=412n-2=12n-4.由cn=an+bn2+|an-bn|2,得cn=bn(an≤bn),an(an>bn),∴cn是取an,bn中的較大者.由題易知c4是數(shù)列{cn}中的最小項(xiàng),又bn=12n-4遞減,an=n+t遞增,∴當(dāng)c4=a4時(shí),c4≤cn,即a4≤cn,a4是數(shù)列{cn}中的最小項(xiàng),則必須滿足b40.∵a1a6=2a3,a4與2a6的等差中項(xiàng)為32,∴a12q5=2a1q2,a1(q3+2q5)=3,得a1=16,q=12,則S5=161-1251-12=31. 3.A　[解析] 由題設(shè)知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1, ∴S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)]=4n-1+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)]=4n-1+S(n-1)(n≥2),又S(1)=N(1)+N(2)=2, ∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+2=4n+23, ∴S(5)=45+23=342. 故選A. 4.1024　[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由已知得a3a4=a2a5=2a3?a4=2,a4+2a7=254?a7=14,∴a7a4=18=q3, ∴q=12=2-1,a1=a4q3=24,∴an=242-(n-1)=25-n,∴a1a2…an=2423…25-n=24+3+…+(5-n)=2n[4+(5-n)]2=2-n2+9n2=2-(n-92)2+8142,∴當(dāng)n=4或5時(shí),a1a2…an取得最大值1024. [備選理由] 例1為由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題,難度較大;例2考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和中參數(shù)的計(jì)算,不同于原例2只考查等差、等比數(shù)列的基本量的計(jì)算;例3考查等比數(shù)列的計(jì)算,采用整體求解比較方便;例4為等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題;例5是一道等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題. 例1　[配例1使用] 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=13,若anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=　　　　. [答案] 12n-1 [解析] ∵anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n≥2,n∈N*), ∴1an+1+2an-1=3an,即1an+1-1an=21an-1an-1, 又∵1a2-1a1=2, ∴數(shù)列1an+1-1an是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列, ∴1an+1-1an=2n, ∴當(dāng)n≥2時(shí),1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+…+1a2-1a1+1a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-12-1=2n-1.當(dāng)n=1時(shí),1a1=1,滿足上式,∴1an=2n-1, ∴an=12n-1. 例2　[配例2使用] 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=32n-1+r,則r的值為 (　　) A.13 B.-13 C.19 D.-19 [解析] B　當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+r; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=832n-3=832n-23-1=839n-1. ∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列, ∴3+r=83,∴r=-13,故選B. 例3　[配例2使用] 在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a8+a9+a10=　　　　. [答案] 128 [解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.∵a1+a2+a3=1, a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q=2, ∴q=2, ∴a8+a9+a10=(a1+a2+a3)q7=27=128. 例4　[配例3使用] 在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,若2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則S13+2a7=(　　) A.17 B.26 C.30 D.56 [解析] C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a7=2a4,a9+a11=2a10,則有6a4+6a10=24,即a1+6d=2,所以S13=13a1+13122d=13(a1+6d)=26,2a7=2(a1+6d)=4,所以S13+2a7=30. 例5　[配例4使用] 已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1,且a2,12a3,a1成等差數(shù)列,則a4+a5a2+a3的值為 (　　) A.1+52 B.3+52 C.5-12 D.3-52或3+52 [解析] B　由題得12a32=a2+a1,∴a1q2=a1q+a1,∴q=1+52,∴a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=3+52.