2019高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.2.2 反證法學案 新人教B版選修2-2.doc
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2.2.2 反證法 1.掌握間接證明的常見方法(反證法)的推理特點. 2.學會寫出命題的否定,并以此作條件推出矛盾結論,即學習用反證法證明簡單題目. 反證法 一般地,由證明pq轉向證明:____________________, t與假設矛盾,或與某個真命題矛盾.從而判定____為假,推出____為真的方法,叫做反證法. 1.反證法適宜證明“存在性,唯一性,帶有‘至少有一個’或‘至多有一個’等字樣”的一些數(shù)學問題. 2.應用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟: (1)分清命題的條件和結論; (2)做出與命題結論相矛盾的假設; (3)由假設出發(fā),應用演繹推理方法,推出矛盾的結果; (4)斷定產生矛盾結果的原因,在于開始所做的假定不真,于是原結論成立,從而間接地證明命題為真. 常見的主要矛盾有:①與數(shù)學公理、定理、公式、定義或已證明了的結論相矛盾; ②與臨時假設矛盾; ③與公認的事實或自相矛盾等. 【做一做1-1】應用反證法推出矛盾的推導過程中可以把下列哪些作為條件使用( ). ①結論的相反判斷,即假設;②原命題的條件;③公理、定理、定義等;④原結論. A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 【做一做1-2】用反證法證明命題“三角形的內角中至多有一個鈍角”時,假設正確的是( ). A.假設三角形的內角中至少有一個鈍角 B.假設三角形的內角中至少有兩個鈍角 C.假設三角形的內角中沒有一個鈍角 D.假設三角形的內角中沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角 如何理解反證法? 剖析:反證法證題的特征:通過導出矛盾、歸結為謬誤,而使命題得證. 反證法的原理是“否定之否定等于肯定”. 反證法解題的實質就是否定結論導出矛盾,從而說明原結論正確,即證明命題的逆否命題成立.否定結論:對結論的反面要一一否定,不能遺漏;否定一個反面之反證法稱為歸謬法,否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法.要注意用反證法解題,“否定結論”在推理論證中作為已知使用,導出矛盾是指在假設的前提下,邏輯推理結果與“已知條件、假設、公理、定理或顯然成立的事實”等相矛盾. 用反證法證明不等式,常用的否定形式有:“≥”的反面為“<”;“≤”的反面為“>”;“>”的反面為“≤”;“<”的反面為“≥”;“≠”的反面為“=”;“=”的反面為“≠”或“>”及“<”. 反證法屬邏輯方法范疇,它的嚴謹性體現(xiàn)在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中:第一個否定是指“否定結論”;第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”.反證法屬“間接解題方法”,書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設”. 反證法不是去直接證明結論,而是先否定結論,在否定結論的基礎上運用演繹推理,導出矛盾,從而肯定結論的正確性. 題型一 命題的結論是否定型 【例題1】已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1). (1)證明函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù); (2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根. 分析:應用增函數(shù)定義證明第一問;第二問的結論是否定型的,適于應用反證法. 反思:在解題過程中,提出假設,分類討論等都是在合理地增設條件,為解題提供幫助. 題型二 命題的結論涉及至多、至少及存在型 【例題2】已知a,b,c都是小于1的正數(shù),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個不大于. 分析:命題中有“至少、不都、都不、至多”等指示性語句時,應用直接方法證明時難度很大,根據(jù)正難則反的思想,應用反證法證明.本題中“至少有一個”的否定是“一個也沒有”,然后由假設入手,應用均值不等式證明. 反思:反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立,反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律,排中律的一般表現(xiàn)形式是:或者是A,或者非A,即在同一討論過程中,A和非A有一個且僅有一個是對的,不能有第三種情形出現(xiàn). 題型三 唯一性命題的證明 【例題3】求證:過直線外一點只有一條直線與它平行. 分析:本題屬唯一性的證明問題,用反證法證明. 已知:Aa,A∈b,b∥a, 求證:b唯一. 題型四 易錯辨析 易錯點:運用反證法時,第一步否定結論易錯.因為有些結論的對立面不易確定,從而導致錯誤. 【例題4】用反證法證明命題“a,b為整數(shù),若ab不是偶數(shù),則a,b都不是偶數(shù)”時,應假設________. 錯解:a,b不都是偶數(shù). 1反證法證題的關鍵是在正確的假設下得出矛盾.這個矛盾可以是( ). ①與已知矛盾;②與假設矛盾;③與定義、定理、公理、法則矛盾;④與事實矛盾. A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 2命題“在△ABC中,若∠A>∠B,則a>b”的結論的否定應該是( ). A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b 3“M不是N的子集”的充分必要條件是( ). A.若x∈M則xN B.若x∈N則x∈M C.存在x1∈Mx1∈N,又存在x2∈Mx2N D.存在x0∈Mx0N 4設實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個數(shù)不小于__________. 5用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a,b為實數(shù))”時,應假設________________________________________________________________________. 答案; 基礎知識梳理 qr…t q q 【做一做1-1】C 【做一做1-2】B “至多有一個”的反面為“至少有兩個”. 典型例題領悟 【例題1】證明:(1)任取x1,x2(-1,+∞),不妨設x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1>1,且ax1>0, ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0. 又∵x1+1>0,x2+1>0,∴-= =>0. ∴f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0. 故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù). (2)假設存在x0<0(x0≠-1),滿足f(x0)=0,則 ax0=-,且0<ax0<1, ∴0<-<1,即<x0<2,與假設x0<0矛盾,故方程f(x)=0沒有負根. 【例題2】證明:假設(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>. ∵a,b,c都是小于1的正數(shù), ∴>,>,>, 從而++>. 但是++≤++==, 與上式矛盾. ∴假設不成立,即原命題成立. 【例題3】證明:假設過點A還有一條直線b′∥a. 根據(jù)平行公理,∵b∥a,∴b∥b′, 與b∩b′=A矛盾. ∴假設不成立,原命題成立. 【例題4】錯因分析:a,b不都是偶數(shù)包括的情況是: ①a是偶數(shù),b是奇數(shù); ②a是奇數(shù);b是偶數(shù); ③a,b都不是偶數(shù).顯然,否定的結論并不是結論的對立面,所以不正確,題目中“a,b都不是偶數(shù)”指“a,b都是奇數(shù)”. 正解:a,b不都是奇數(shù). 隨堂練習鞏固 1.D 2.B “大于”的否定是“不大于”,即“小于”或“等于”. 3.D 按定義,若M是N的子集,則集合M的任一個元素都是集合N的元素.所以,要使M不是N的子集,只需存在x0M但x0N.選D. 4. 假設a,b,c都小于,則a+b+c<1. 故a,b,c中至少有一個不小于. 5.a,b不全為0(a,b為實數(shù)) “a,b全為0”即“a=0且b=0”,它的否定為“a≠0或b≠0”,即“a,b不全為0”.- 配套講稿:
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