九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 一元二次方程的根與系數(shù)究竟有何關(guān)系試題 （新版）青島版.doc

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一元二次方程的根與系數(shù)究竟有何關(guān)系 一、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根x1、x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝。 方法歸納：（1）如果方程x2＋px＋q＝0的兩個實數(shù)根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q。 （2）以x1、x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2－（x1＋x2）x＋x1x2＝0或（x－x1）（x－x2）＝0。 二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 （1）驗根； （2）已知方程的一個根，求方程的另一個根及未知系數(shù)； （3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值。 方法歸納：利用方程根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，幾個重要變形如下： （1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2； （2）＋＝； （3）＋＝＝； （4）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （5）x1－x2＝＝。 總結(jié)： 1. 已知一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍。 2. 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號。 例題1 已知方程x2－2x－1＝0，則此方程（ ） A. 無實數(shù)根 B. 兩根之和為－2 C. 兩根之積為－1 D. 有一根為－1＋ 解析：根據(jù)已知方程的根的判別式符號確定該方程的根的情況；由根與系數(shù)的關(guān)系確定兩根之積、兩根之和的值；通過求根公式即可求得方程的根。 A. ＝（－2）2－41（－1）＝8＞0，則該方程有兩個不相等的實數(shù)根。故本選項錯誤；B. 設(shè)該方程的兩根分別是α、β，則α＋β＝2。即兩根之和為2，故本選項錯誤；C. 設(shè)該方程的兩根分別是α、β，則αβ＝－1。即兩根之積為－1，故本選項正確；D. 根據(jù)求根公式x＝1可知，原方程的兩根是（1＋）和（1－），故本選項錯誤。故選C。 答案：C 點撥：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及求根公式的應(yīng)用。利用根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式解題時，務(wù)必清楚公式中的字母所表示的含義。 例題2 設(shè)x1、x2是方程x2－x－xx＝0的兩個實數(shù)根，求x13＋xxx2－xx的值。 解析：由原方程可知x2＝x＋xx，x＝x2－xx；x12＝x1＋xx，x1＝x12－xx。由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝1，根據(jù)以上關(guān)系代入求值即可。 答案：∵x2－x－xx＝0，∴x2＝x＋xx，x＝x2－xx。 又∵x1、x2是方程x2－x－xx＝0的兩個實數(shù)根 ∴x1＋x2＝1 ∴x13＋xxx2－xx ＝x1?x12＋xxx2＋x2－xx ＝x1?（x1＋xx）＋xxx2＋x2－xx ＝x12＋xxx1＋xxx2＋x2－xx ＝（x1＋xx）＋xxx1＋xxx2＋x2－xx ＝x1＋x2＋xx（x1＋x2）＋xx－xx ＝1＋xx ＝xx 點撥：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，對所求代數(shù)式的變形是解答此題的關(guān)鍵點和難點。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號。設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根為x1、x2，則 （1）當(dāng)≥0且x1x2＞0時，兩根同號，即 （2）當(dāng)＞0且x1x2＜0時，兩根異號，即 例題 如果關(guān)于x的方程x2－px－q＝0（p、q是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是（ ） A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個 解析：∵p、q是正整數(shù)，且＝p2＋4q＞0，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根。又∵x1x2＝－q＜0，∴此方程兩根異號。這個方程的正根為，即＜3。解得q＜9－3p，其正整數(shù)解是：、、、、、、。故選C。 答案：C 點撥：要判斷一元二次方程的根的符號有一個前提條件不能忽略，那就是判別式⊿≥0，然后再依據(jù)x1x2和x1＋x2的正負(fù)情況進(jìn)行判斷。 （答題時間：30分鐘） 一、選擇題 1. 已知（x＋a）（x－b）＝x2＋2x－1，則ab＝（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 2. 已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一個根為2，則另一個根為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的兩個解，若（m－1）（n－1）＝－6，則a的值為（ ） A. －10 B. 4 C. －4 D. 10 *4. 設(shè)x1、x2是方程x2＋3x－3＝0的兩個實數(shù)根，則＋的值為（ ） A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 *5. 若m、n是方程x2－2x＋1＝0的兩個實數(shù)根，則－的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 **6. 若方程x2＋2px－3p－2＝0的兩個不相等的實數(shù)根x1、x2滿足x12＋x1＝4－（x22＋x2），則實數(shù)p的可能的值為（ ） A. 0或－1 B. 0 C. 0或－4 D. －4 二、填空題 7. 若x1＝－1是關(guān)于x的方程x2＋mx－5＝0的一個根，則方程的另一個根x2＝__________。 8. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2－x－3＝0的兩個實數(shù)根分別為α、β，則（α＋3）（β＋3）＝__________。 *9. 已知實數(shù)a、b不相等，并且a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，則＋＝__________。 **10. 已知關(guān)于x的方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2。則正確的結(jié)論是__________。（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號） 三、解答題 11. 已知關(guān)于x的方程x2＋x＋n＝0有兩個實數(shù)根－2、m。求m、n的值。 *12. 已知α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2＋（2m＋3）x＋m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足＋＝－1，試求m的值。 **13. 已知α、β是方程x2＋2x－1＝0的兩個實數(shù)根，試求α3＋5β＋10的值。 **14. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有兩個實數(shù)根x1、x2。 （1）求實數(shù)k的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)k使得x1x2－x12－x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由。 **15. 已知關(guān)于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的兩個實數(shù)根x1、x2滿足︱x1︱＝x2，求實數(shù)m的值。  一、選擇題 1. C 解析：注意本題ab不是利用根與系數(shù)的關(guān)系求得的，根據(jù)等式的性質(zhì)求解即可。 2. C 解析：設(shè)方程的另一個根為x1，由題意可知x1＋2＝6，所以x1＝4，即方程的另一根為4。 3. C 解析：根據(jù)題意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，故選C。 *4. B 解析：由題意可知x1＋x2＝－3，x1x2＝－3，∴＋＝＝＝－5。 *5. D 解析：由已知得m＋n＝2，mn＝1，則（m－n）2＝（m＋n）2－4mn＝（2）2－4＝16，∴m－n＝4?！啵剑剑?。 **6. B 解析：∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴＝（2p）2＋4（3p＋2）＞0，即p2＋3p＋2＞0，且x1＋x2＝－2p，x1x2＝－3p－2。又∵x12＋x1＝4－（x22＋x2），即x12＋x22＋x1＋x2＝4，∴（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）＝4，即（－2p）2＋2（3p＋2）－2p＝4，∴4p2＋4p＝0，解得p＝0或－1。當(dāng)p＝0時＞0，當(dāng)p＝－1時＝0（舍去），所以p的可能的值為0。 二、填空題 7. 5 解析：由x1x2＝－5且x1＝－1，得x2＝5。 8. 9 解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3）（β＋3）＝αβ＋3（α＋β）＋9＝－3＋31＋9＝9。 *9. 23 解析：∵a、b滿足a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，即a、b是x2＋1＝5x的兩個實數(shù)根，整理此方程為x2－5x＋1＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知a＋b＝5，ab＝1?！啵剑剑?3。 **10. ①② 解析：①∵方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0中，＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，∴x1≠x2，故①正確；②∵x1x2＝ab－1＜ab，故②正確；③∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝ab－1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2ab＋2＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，即x12＋x22＞a2＋b2。故③錯誤；綜上所述，正確結(jié)論的序號是：①②。 三、解答題 11. 解：∵關(guān)于x的方程x2＋x＋n＝0有兩個實數(shù)根－2、m，∴，解得，即m、n的值分別是1、－2。 *12. 解：根據(jù)條件知：α＋β＝－（2m＋3），αβ＝m2，∴＋＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，所以有，解得m＝3。 **13. 解：∵α是方程x2＋2x－1＝0的根，∴α2＝1－2α?！唳?＝a2a＝（1－2α）α＝α－2α2＝α－2（1－2α）＝5α－2，又∵α＋β＝－2，∴α3＋5β＋10＝（5α－2）＋5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5（－2）＋8＝－2。 **14. 解：（1）∵原方程有兩個實數(shù)根，＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋2k）＝4k2＋4k＋1－4k2－8k＝1－4k≥0，∴k≤?！喈?dāng)k≤時，原方程有兩個實數(shù)根。（2）假設(shè)存在實數(shù)k使得x1x2－x12－x22≥0成立。理由如下：∵x1、x2是原方程的兩個實數(shù)根，∴x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋2k。由x1x2－x12－x22≥0得3x1x2－（x1＋x2）2≥0?！?（k2＋2k）－（2k＋1）2≥0，整理得：（k－1）2≤0，∴只有當(dāng)k＝1時，上式成立。又∵由（1）知k≤，∴不存在實數(shù)k使得x1x2－x12－x22≥0成立。 **15. 解：原方程可變形為：x2－2（m＋1）x＋m2＝0，∵x1、x2是方程的兩個實數(shù)根，∴≥0，即4（m＋1）2－4m2≥0，∴8m＋4≥0，m≥－。又x1、x2滿足︱x1︱＝x2，∴x1＝x2或x1＝－x2，即＝0或＞0且x1＋x2＝0，由＝0，即8m＋4＝0，得m＝－。由x1＋x2＝0，即2（m＋1）＝0，得m＝－1（不合題意，舍去）?！喈?dāng)︱x1︱＝x2時，m的值為－。