九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 三招教你求陰影面積試題 （新版）青島版.doc

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三招教你求陰影面積 在近年的中考或各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，頻頻出現(xiàn)求陰影面積的題目，而其陰影部分圖形大多又是不規(guī)則的，部分同學(xué)乍遇這類題目則顯得不知所措．求不規(guī)則圖形面積主要是通過(guò)轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，再進(jìn)行計(jì)算． 以下三招可以助你一臂之力！ 第一招：直接法 將不規(guī)則圖形直接轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形的求和或求差，先求出涉及適合該圖形的面積計(jì)算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進(jìn)行計(jì)算．這是求面積的常用方法．不規(guī)則陰影部分常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，其中： 1. 扇形的定義：如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形． 2. 扇形面積公式：若設(shè)⊙O半徑為R，則圓心角為n的扇形的面積公式為： 又因?yàn)閚的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為：，所以． 說(shuō)明：公式中n表示1圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的； 例如：如圖，扇形AOB的圓心角為直角，若OA＝4cm，以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積． 解析：圖中陰影部分面積為：以AB為直徑的半圓面積減去弓形AmB面積；而弓形面積等于扇形AOB面積減去△AOB面積． 解：∵OA＝4cm，∠O＝90，OB＝4cm，∴（cm2）， 又，所以， 而， 故． 第二招：割補(bǔ)法 1. 把陰影部分的圖形通過(guò)割補(bǔ)，拼成規(guī)則圖形，然后再求面積． 例如：如圖（1），在以AB為直徑的半圓上，過(guò)點(diǎn)B做半圓的切線BC，已知AB=BC=， 連結(jié)AC，交半圓于D，則陰影部分圖形的面積是______． 解析：圖中兩塊陰影部分圖形都是不規(guī)則圖形，但因，所以可進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化． 解：連接DB，因?yàn)锳B=BC， ，如圖（2），所以 AD=DB=DC，所以 把弓形AD割補(bǔ)到弓形DB處，則圖（1）中陰影部分圖形的面積等于圖（2）中Rt△BDC的面積． 因此． 2. 當(dāng)陰影部分圖形為分散的個(gè)體時(shí)，可針對(duì)其結(jié)構(gòu)特征，視各陰影部分圖形為一個(gè)整體，然后利用相關(guān)圖形的面積公式整體求出． 例如：如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是多少？ 解析：由題意知，五個(gè)扇形（陰影部分）的半徑都是1，是等圓，可把五個(gè)扇形割補(bǔ)到同一個(gè)圓中． 解：因?yàn)?，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）180=540 所以． 第三招：等積變形 把所求陰影部分的圖形適當(dāng)進(jìn)行等積變形，即是找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分圖形的面積．例如： 如圖，A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB是⊙O的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，求圖中陰影部分的面積． 解析：圖中陰影部分可看作弓形BC面積與三角形ABC面積的和，而△ABC不是Rt△，所以考慮借助OA∥BC將△ABC移形，連接OC、OB，則S△OCB＝S△ACB．則陰影部分面積為扇形AOB面積． 解：連接OB、OC，如圖， 因?yàn)锽C∥OA，所以△ABC與△OBC在BC上的高相等，所以， 所以，又∵AB是⊙O的切線，所以O(shè)B⊥AB，而OB＝2，OA＝4，所以∠AOB＝60，由BC∥OA得∠OBC＝60，所以△OBC為等邊三角形，∠BOC＝60， ． 例題 如圖，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)O1、O2、O3、O4分別OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，若⊙O的半徑是2，則陰影部分的面積為（ ） A. 8 B. 4 C. 4π+4 D. 4π－4 解析：如圖將AD、DB、BC、CA、OE、O3E連接起來(lái)，得到一個(gè)對(duì)角線為4的正方形，由割補(bǔ)法：將每個(gè)小圓外面兩個(gè)弓形圖形放進(jìn)正方形空白處，陰影面積正好是正方形面積． 解：連接AD，DB，BC，CA，．故選A． 答案：A 點(diǎn)撥：求解一些幾何圖形的面積，特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時(shí)，?？赏ㄟ^(guò)變換等，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這種解題方法也體現(xiàn)了整體思想、轉(zhuǎn)化思想．割補(bǔ)法是轉(zhuǎn)化法的一種． 求旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中的陰影面積 滿分訓(xùn)練 （江蘇中考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝5cm，AC＝2cm，將△ABC繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45至△A1B1C的位置，則線段AB掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為 cm2． 解析：陰影部分的圖形是不規(guī)則的圖形，求面積時(shí)應(yīng)想到利用圖形的割補(bǔ)或利用特殊圖形的面積的和或差來(lái)求． 解：∵∠BAC＝90，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29．∴S陰影＝S扇形BCB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形ACA1 ．∵△ABC旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S陰影＝S扇形BCB1－S扇形ACA1＝－＝（cm2），故答案為． 答案： 點(diǎn)撥：扇形面積的計(jì)算公式：S＝，S＝lR，求陰影面積（或不規(guī)則圖形面積）時(shí)常用圖形割補(bǔ)的方法（圖形變換），或用幾個(gè)特殊圖形的面積的和或差來(lái)求．利用旋轉(zhuǎn)變換將所求面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形的面積之差是解題關(guān)鍵。 （答題時(shí)間：30分鐘） 1. （德州中考）如圖，扇形AOB的半徑為1，∠AOB=90，以AB為直徑畫半圓，則圖中的陰影部分的面積為（ ） A. p B. p- C. D. p+ 2. 如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AB＝4，∠BED＝120，則圖中陰影部分的面積之和為（ ） A. 1 B. C. D. 2 *3. 如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E． B，E是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧BE的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（ ） A. B. C. D. *4. 在△ABC中，∠C為銳角，分別以AB、AC為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)B、A、C作弧，如圖所示，若AB=4，AC=2，，則S3－S4的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，兩等⊙A、⊙B外切，那么圖中兩個(gè)扇形（即陰影部分）的面積之和為 ． 6. 如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在55的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點(diǎn)A′、C′仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積約是 （π≈3．14，結(jié)果精確到0．1） *7. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝2． 將△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△AB′C′的位置，B、A、C′三點(diǎn)共線，則線段BC掃過(guò)的區(qū)域面積為 ． 8. 如圖，三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，則圖中陰影部分面積的和是 ．（結(jié)果保留） **9. 如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC． （1）求證EF是⊙O的切線；（2）求證AC2=ADAB （3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30，求圖中陰影部分的面積． 10. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90，E為BC上的一點(diǎn)，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點(diǎn)D，連接CD，若BE=OE=2． （1）求證：∠A=2∠DCB；⑵求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）． **11. 如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE． （1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）若E是的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積． **12. 如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠APD=30 （1）求證：DP是⊙O的切線；⑵若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積． 13. 如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝8，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)．將此半圓沿BC所在的直線折疊，若恰好過(guò)圓心O，則圖中陰影部分的面積是 ．（結(jié)果保留π）  1. C 解析：因?yàn)樯刃蜛OB的半徑為1，∠AOB=90，所以AB=，△AOB的面積為，扇形AOB的面積為，所以弓形的面積為，又因?yàn)榘雸A的面積為，所以陰影部分的面積為：－（）=．故選C． 2. C 解析：連接AE、OD，∵AB是直徑，∴AE⊥BC．∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AB=AC．在△AEB與△AEC中，AE=AE，∠AEB=∠AEC=90，BE=CE，∴Rt△AEB≌Rt△AEC，∴AB=AC（SAS）∴△ABC是等腰三角形．∵∠BED=120，∴∠BAD=60（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），∴△ABC是等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形）．∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴AD=OA=2，∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DE=2（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半），∵∠BAE=30，∴BE=AB=2，∴DE=BE，∴=，∴=．又∵DE是△ABC的中位線，∴△CDE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴===． 故選C． 3. D 解析：如下圖所示：連接OB、OE、BE、BD．設(shè)半圓的半徑為R． ∵B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，∴∠DOB＝∠BOE＝∠EOA＝60． ∵弧BE的長(zhǎng)為，∴，解得R＝2．∴S扇形OBE＝＝2＝． ∵AD是半圓O的直徑，∴∠ABD＝90．在Rt△ABD中，∠BAD＝∠DOB＝30， ∴AB＝ADcos∠BAD＝4＝．在Rt△ABC中，∠C＝90，∠BAC＝∠BOE＝30， ∴BC＝AB＝，AC＝ABcos∠BAC＝＝3．∴S△ABC＝ACBC＝3＝．∵OB＝OE，∠BOE＝60，∴△BOE是等邊三角形， ∴∠BEO＝60＝∠EOA，∴BE∥AD，∴S△ABE＝S△OBE， ∴S陰影＝S△ABC－S△ABE－S弓形OBE＝S△ABC－S△OBE－S弓形OBE＝S△ABC－S扇形OBE ＝． 故選D． 4. D 解析：∵S1+S3=πAB2=2π ①，S2+S4=πAC2=π ②，∴①－②得：（S1－S2）+（S3－S4）=，∵， ∴S3－S4=－=．故選D． 5. 解析：∵∠C=90，AC=8，BC=6∴AB=10∵∠C=90∴∠A+∠B=90，由等圓可知⊙A、⊙B的半徑為5，根據(jù)扇形的面積計(jì)算公式，可得陰影部分的面積等于 +=== 6. 7.2 解析：依題意，得扇形的半徑＝＝，圓心角∠ABA′＝90，∴圖中陰影部分的面積＝扇形的面積－直角三角形的面積＝－23＝π13－3≈3．1413－3＝10．205－3≈7．2． 7. 解析：＝＝＝． 8. 解析：圖中三塊陰影部分都是扇形，且半徑相等，由平行線內(nèi)錯(cuò)角相等和正方形的對(duì)角線的性質(zhì)可知，三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之和為，所以，圖中陰影部分面積的和為=． 9. 解析：⑴證明：連接OC， ∵AD⊥EF，∴∠ADC=90，∴∠ACD+∠CAD=90，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90，∴∠ACD+∠ACO =90即∠OCD=90，∴EF是⊙O的切線. ⑵證明：連接BC．∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90，即∠ACD+∠ACO=90．①∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180－2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90．②，由①②得：∠ACD－∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADC=90．在Rt△ACD與△RtACB中，∵∠B=∠ACD ∠ACB=∠ADC，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=ABAD． ⑶∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90， 即∠ACD+∠ACO=90，∵∠ACD=30，∴∠OCA=60，∵OC=OA，∴△ACO是等邊三角形，∴AC= OC=2，∠AOC=60， 在Rt△ADC中，∵∠ACD=30，∴AD=1，CD=，S陰影= S梯形OCDA－ S扇形OCA=． 10. 解析：（1）證明：連接OD． ∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODB=90，∴∠B+∠DOB=90， ∵∠ACB=90，∴∠A+∠B=90，∴∠A=∠DOB， ∵OC=OD，∴∠DOB=2∠DCB，∴∠A=2∠DCB; （2）在Rt△ODB中，∵OD=OE，OE=BE，∴cos∠B==，∴∠DOB=60． ∵BD=OBsin60=2．∴S扇形ODE==π，S陰影=S△DOB－S扇形ODE=2－π． 11. 解析：（1）CD與圓O相切，理由為： ∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD與圓O相切； （2）連接EB， 由AB為直徑，得到∠AEB=90，∴EB∥CD，F(xiàn)為EB的中點(diǎn)，∴OF為△ABE的中位線，∴OF=AE=，即CF=DE=，在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=，則S陰影=S△DEC==． 12. 解析：⑴連接OD、DB， ∵∠ACD=60∴∠ABD=60．又∵OB=OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠BOD=60． 又∵∠APD=30，∴∠ODP=90，∴OD⊥DP，又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DP是⊙O的切線． ⑵由⑴知△ODP為Rt△，∠APD=30，∴tan30=，∴DP=． ∴S陰影=S△ODP-S扇形=OD?DP－=3-=- 答：陰影部分的面積為cm． 13. 解析：如下圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，交半圓周于點(diǎn)D． 易知直線BC、OD是兩條弧BOC與BDC所圍成的圖形的對(duì)稱軸，故OG＝OC，從而∠OCG＝30，∠COG＝∠GOB＝60，∠AOC＝60．由對(duì)稱性易知，弧OFB與半徑OB組成的弓形面積等于弧OEC與半徑OC組成的弓形面積，因此，S陰影部分＝S扇形OAC＝＝．