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基于局部平滑和數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的邊緣檢測(cè)技術(shù)
摘要
一個(gè)基于局部平滑和數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)試驗(yàn)的邊緣檢測(cè)技術(shù)被提出，為檢測(cè)和限制分布邊緣和頂部邊緣的光華和統(tǒng)計(jì)假設(shè)試驗(yàn)程序成為一個(gè)固定格式。得到了關(guān)于灰度面積和試驗(yàn)結(jié)果。討論了所提技術(shù)的工作情況的優(yōu)點(diǎn)、局限、典型因素。列出了提高的可能和將來研究方向。
關(guān)鍵字： 邊緣檢測(cè) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn) 圖像處理
1 介紹
大部分計(jì)算機(jī)視圖識(shí)別系統(tǒng)中，邊緣檢測(cè)是前——后處理階段，在幾乎所有的執(zhí)行系統(tǒng)的展示中，精確可靠的邊緣檢測(cè)是一個(gè)典型的因素。隨著各種亮度輪廓的變化，各種各樣的邊緣檢測(cè)被文獻(xiàn)定義。本文中我們只討論他們中的二個(gè)。首先，是分布邊緣，它指出了圖像亮度功能的一個(gè)不連續(xù)。另一個(gè)，被稱為頂端分布，他指出了圖像功能連續(xù)但是在視圖功能的起初規(guī)則物中的不連續(xù)性，更高階段邊緣可被類似的定義。但是，分布邊緣階段和頂端邊緣被用來解釋現(xiàn)實(shí)世界圖像中的最普通發(fā)生邊緣。因此，文章中提出的和討論的邊緣檢測(cè)技術(shù)主要是針對(duì)檢測(cè)中的這兩種類型。
Torre 和Poggio(1986)和Peli和Mallah(1982)提出了一個(gè)優(yōu)秀的邊緣檢測(cè)概要。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)器，例如斜度檢測(cè)器，Laplacian 檢測(cè)器，或者Laplacian—Gaussian檢測(cè)器提出搞跨度過濾操作。這些操作器僅僅適合檢測(cè)有限類的邊緣，并且，它對(duì)噪聲非常敏感，會(huì)導(dǎo)致邊緣分裂。最近幾年的邊緣檢測(cè)技術(shù)基于最優(yōu)過濾，隨機(jī)鄰域模型，表面適應(yīng)，啟發(fā)式國(guó)家空間研究，導(dǎo)向擴(kuò)散，余留分析，攀巖式研究的總體開支最小化，模擬磨煉，平均領(lǐng)域磨煉，遺傳學(xué)算法。
在這篇論文中我們提出了一個(gè)可換方法。在一個(gè)灰度因素中，我們考慮了以給定因素P為中心的一個(gè)9x9 領(lǐng)域，這一個(gè)9x9矩陣可以被看作9個(gè)3x3次級(jí)矩陣的統(tǒng)一體。我們把被一個(gè)這樣的數(shù)的矩陣稱為SO因素，為了把他們從SO中區(qū)分出來，我們有時(shí)把原始圖素稱為FO因素，或者簡(jiǎn)單的稱為圖素。包含P的SO圖素被稱為，有兩對(duì)對(duì)角域毗連的SO圖素構(gòu)成的集合，并且有兩對(duì)直接毗連SO圖素構(gòu)成的集合，下標(biāo)4指的是相配元素在中是的4個(gè)相連領(lǐng)域。對(duì)和中每一個(gè)SO圖素，我們估計(jì)他們?cè)氐募訖?quán)平均為3x3FO圖素。在加重的平均數(shù)中，每一個(gè)FO圖素的加重決定于他跟P 距離。加重的平均數(shù)中，每一個(gè)FO圖素的加重決定于他跟P 的距離。加重的平均數(shù)被認(rèn)為是相對(duì)的SO 圖素的灰度水平值。必須指出的是，盡管每一個(gè)原圖素的灰度水平是在0~255范圍中的典型整數(shù)。SO圖素的灰度水平是全體實(shí)數(shù)。因此在SO圖素的上下文章中，術(shù)語灰度水平多少是一個(gè)符號(hào)的濫用，但他仍然不是混淆讀者的原因。我們用計(jì)算機(jī)對(duì)和中每一對(duì)相對(duì)的SO圖素測(cè)試不同灰度水平值得絕對(duì)值。這四個(gè)不同值中的最大絕對(duì)值，被定義為， 是決定P 是不是分布邊緣因素的主要標(biāo)準(zhǔn)。如果在P 的9x9領(lǐng)域中沒有分布邊緣因素，這時(shí)我們預(yù)測(cè)非常小，因此，8個(gè)SO 因素的灰度水平應(yīng)該是彼此相當(dāng)接近。如果P是一個(gè)分布邊緣的圖素，我們可以至少找到一對(duì)SO 圖素，圖素被穿越圖素P的邊緣分割。也就是說這樣的一對(duì)中的一個(gè)SO圖素可被認(rèn)為依靠邊緣的一邊，另一個(gè)圖素依靠于邊緣的另一邊。根據(jù)我們的試驗(yàn)和試驗(yàn)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)大多數(shù)因素，這一個(gè)假設(shè)是正確的。因此，這種情況中，為這個(gè)SO圖素對(duì)應(yīng)值得絕對(duì)值的差異可能是導(dǎo)致值很大的主要原因。于是我們可用統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)測(cè)試程序?yàn)檫x擇一個(gè)開始值。當(dāng)決定著開始值大小時(shí)要考慮兩個(gè)因素；一個(gè)是不可避免的噪音引起的灰度水平值的變化。另一個(gè)是由圖像強(qiáng)度功能本身變化引起的灰度值得變化。我們提示并采用局部平滑技術(shù)來區(qū)分這兩種變量來決定開始值（初始值）。對(duì)于頂部邊緣，就分布邊緣而言，新增加的情況跟那個(gè)相似。我們?nèi)匀坏玫搅硪粋€(gè)為頂部邊緣特殊設(shè)計(jì)的條件。如果一個(gè)因素滿足兩個(gè)條件，那么他就被標(biāo)為頂部邊緣因素。
從如上我們所給出的方法的簡(jiǎn)單討論，我們可以看出使用局部光滑概念和SO像素概念來移除噪音。同時(shí)也用每一對(duì)SO圖素灰度水平值差異，沿著四個(gè)方向來檢測(cè)邊緣。而且，在邊緣檢測(cè)中，一定程度上他消除了不明顯亮度功能的變化的影響。跟那些基于表面適應(yīng)技術(shù)的相比，我們可以看出，我們沒有在一個(gè)圖像因素P 的領(lǐng)域中使用模型來模擬不明顯圖像亮度功能，也沒有計(jì)算它的復(fù)合物估計(jì)值。相反地，我們直接使用灰度水平值差異為每一對(duì)SO 圖素來測(cè)量灰度水平對(duì)P 的不連續(xù)程度。考慮到非常明顯的圖像亮度變化，這使得我們的技術(shù)模型獨(dú)立，因此更靈活。不像其他絕大多數(shù)在文章中被發(fā)現(xiàn)的操作者，在邊緣檢測(cè)中，我們的技術(shù)考慮了四個(gè)不同獨(dú)立方向，而不是僅僅在X 和Y方向?？紤]到不明顯圖像亮度功能的局部光滑，這使得我們的技術(shù)更加靈活。
文章中其余部分安排如下：在第二部分，我們討論我們的分布邊緣檢測(cè)技術(shù)，并且簡(jiǎn)述了一個(gè)分布邊緣檢測(cè)算法。我們討論了一些影響我們算法運(yùn)行的典型因素，并且跟傳統(tǒng)的邊緣技術(shù)比如Sobel和Log造作器進(jìn)行了比較。在第三部分，我們提出并分析了關(guān)于一些灰度面積圖像的算法結(jié)果。在第四部分，我們提出了一個(gè)頂部邊緣檢測(cè)的算法，并且用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行了解釋。最后，我們總結(jié)了全文，并且簡(jiǎn)述了未來的研究方向。
2 分布邊緣檢測(cè)
我們使用符號(hào)P（i.j）表示在點(diǎn)（i，j）處圖素的灰度水平，（i=1，2，…N，j=1,2, …M）.
在每一個(gè)圖像圖素P（i.j）處，在圖素點(diǎn)（i，j）中心處，構(gòu)建了他們的矩陣。假設(shè)圖像在邊界處事被包圍的，以圖素P（i.j）為中心的9x9矩陣構(gòu)成了9個(gè)SO圖素。SO圖素的中心被稱為（i,j）,狠命，很明顯地，（i,j）有二對(duì)構(gòu)成集合的對(duì)角線領(lǐng)域圖素和兩對(duì)構(gòu)成集合的直接領(lǐng)域SO圖素。根據(jù)他們的位置，這些SO圖素被定義為（i+r,j+t）
()。
我們利用計(jì)算機(jī)測(cè)試了3x3 FO像素和一個(gè)SO像素的灰度水平值得權(quán)重，認(rèn)為權(quán)重就是SO像素灰度水平值。通過考慮SO像素（i-1,j+1），我們解釋了計(jì)算權(quán)重的過程，如圖1所示，在平均權(quán)重中我們用的權(quán)重集合描述如圖，像素（i-1,j+1）用同樣的權(quán)重。就距離尺寸來說，可以被認(rèn)為到P（i.j）點(diǎn)是等距離的。我們要求權(quán)數(shù)滿足如下條件：
（i）
圖1 以像素P（i.j）為中心的9x9模板
圖2 ，滿足的比例關(guān)系
(2) 是按照線性順序依次遞減，并且有一定的比例關(guān)系，如圖（2-a）中，水平軸上數(shù)字{4，5，6，7，8}說明了一個(gè)事情：權(quán)數(shù)a像素距離P（i.j）是4個(gè)單位，其他依此類推，所用的距離尺寸是 的距離尺寸，條件（i）保證了權(quán)數(shù)是正數(shù)并且是標(biāo)準(zhǔn)化的。條件（2）保證了隨著到像素P（i，j）距離的增長(zhǎng)，權(quán)數(shù)是線性遞減的。這兩個(gè)條件實(shí)際上反映了在用統(tǒng)計(jì)中心平滑技術(shù)上的三角形中心密度功能。對(duì)一個(gè)關(guān)于多類型平滑中心，詳細(xì)討論，我們參考了最近很吸引讀者的一本書，作者是 Wang 和 Jone。我們加強(qiáng)了一個(gè)額外限制，那就是直角三角形的斜邊，如圖2（a）.跟橫軸相交在點(diǎn)9。這說明了一個(gè)事實(shí)，那就是像素跟P（i，j）距離為9或者更遠(yuǎn)時(shí)，在我們關(guān)心的領(lǐng)域之外，一個(gè)滿足了以上所有要求的唯一連續(xù)權(quán)重才可以被確定：
（2.1）
相同的權(quán)重被用在屬于的其他SO像素中。那就是 和。
考慮到SO像素的權(quán)重，我們要求權(quán)數(shù)滿足如下條件：
（i）
（ii） 隨著到像素P（i，j）距離的增達(dá)，權(quán)數(shù)線性遞減；
（iii） 直角三角形斜邊叫水平軸于點(diǎn)5，如圖2（b）.
后面的合理的條件跟我們所引用權(quán)數(shù)相同。滿足以上所有條件的唯一方法是給出 。 （2.2）
相同權(quán)數(shù)被用在屬于的SO像素中。那就是 和
給出權(quán)數(shù)就可以得到像素和的灰度水平：
用類似的方法可以得到其他的和SO像素的灰度水平。直觀地說，，， 和 的差可被當(dāng)為在像素處的不連續(xù)度的度量。如果在以像素為中心的9x9面板中，沒有分布邊緣像素，那么上述所有的差將會(huì)是非常小，另一方面，如果是一個(gè)分布邊緣像素，那么他們中一些可能被預(yù)計(jì)非常大。然而，其他兩種因素也需要考慮：一個(gè)是在9x9面板中不明顯圖像亮度功能的變化，另一個(gè)實(shí)在圖像中可能的噪音引起的水度水平的變化。
直觀上，亮度功能沿著一個(gè)方向上的變化可以通過它的初次命令定向復(fù)合物來測(cè)量。從方向P（i+3，j-3）到P（i-3，j+3），我們用來估計(jì)初次命令定向復(fù)合物，在那里：
（2.5）
在這兒， 和 被認(rèn)為是定向復(fù)合物在P（i-3，j+3），P（i+3，j-3）的各自的估計(jì)值，而是他們的平均值。著名的拉格朗日中值定理中微積分告訴我們，對(duì)一個(gè)函數(shù)f(x)和兩點(diǎn) ，只要在區(qū)間 中f(x)值不等，則有： 。這個(gè)等式說明，當(dāng)x從，f(x)
的變化值近似等于兩點(diǎn)之間的距離與導(dǎo)數(shù)之積。我們定義：
，
， 。 （2.7）
和被用來測(cè)量從P（i+3，j+3）到P（i-3，j-3），從P（i+3，j-3）到P（i-3，j+3）,從P（i+3，j）到P（i-3，j），從P（i，j+3），P（i，j-3）的各自的亮度功能變化。
我們定義他們?yōu)樾拚g(shù)語，此亮度函數(shù)是線性，而且此時(shí)在P（i,j）不存在邊緣時(shí)，邊緣檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)值等于0，因此選擇乘法因子25/6，8/3。換句話說，兩度函數(shù)的線性變化受邊緣檢測(cè)方法的限制，這些二乘法因子的復(fù)合物用A 給出，我們定義：
（2.8）
其中{g(i,j)}是真實(shí)灰度水平，{n(i,j)}是獨(dú)立統(tǒng)一分布的噪聲模型，其中均值為零，方差為。
經(jīng)過一些簡(jiǎn)單的代數(shù)處理，我們可以得到：
（2.9）
指的是標(biāo)準(zhǔn)偏差，我們定義
for i=1,3 ; for i=2,4; （2.10）
如果在以P（i，j）為中心的9x9面板中沒有邊緣像素，通過統(tǒng)計(jì)學(xué)中心限制理論，全部近似于正態(tài)分布，均值為0，方差為。因此，他們中門每一個(gè)是18個(gè)可觀的灰度水平的線性聯(lián)合。我們定義：
（2.11）
作為分布邊緣檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)相對(duì)應(yīng)的 計(jì)算如下：
總體來說，當(dāng)在以 P（i，j）為中心的9x9面板中沒有邊緣像素時(shí)，同時(shí)，當(dāng) 非常小時(shí)， 另一方面，如果 我們有足夠的理由在 9x9面板中得到邊緣像素， 在這種情況下，我們定義 P（i，j） 就是一個(gè)分布邊緣像素。因此，可以作為的初始值。但在大多數(shù)情況下，我們不知道值，必須從圖像數(shù)據(jù)中估測(cè)，再下面的討論中，我們提出了兩個(gè)估計(jì)的方法。的可應(yīng)用初始值可被算出。
（2.12）
簡(jiǎn)評(píng) 2.1
決定重要水平，沒有混淆時(shí)，我們有時(shí)可以把它作為初始值，表1列舉了幾個(gè)值，對(duì)應(yīng)著的值和的值。
在上述假設(shè)測(cè)試方法中，對(duì)每一個(gè)像素檢測(cè)一個(gè)錯(cuò)誤邊緣的可能幾率是。另一方面，邊緣跳動(dòng)值小于時(shí)，可以被忽略。盡管它涉及到可靠水平，因?yàn)槭褂昧酥行臉O限定理，它提供了有限樣本容量的近似正態(tài)分布，這個(gè)關(guān)系僅是一個(gè)近似。在典型應(yīng)用中，初始值仍然需要一定探索調(diào)整。理論上來說，建立一個(gè)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)一的邊緣監(jiān)測(cè)方法是沒有苦難的。因此，隨著圖像空間解決方法的增長(zhǎng)，丟失邊緣或者檢測(cè)錯(cuò)誤邊緣的幾率會(huì)趨向于0，我們建議由興趣的讀者可以看相關(guān)討論獲取這方面更多的細(xì)節(jié)知識(shí)。
的一個(gè)自然期望是以P（i，j）為中心的9x9面板的灰度水平的樣本標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合值。但是如果在面板中有邊緣像素，則期望值很不充分。因此，我們用如下方法提出了期望值。在每一個(gè)8領(lǐng)域SO像素中，我們計(jì)算出了3x3 FO像素的灰度水平的樣本均方差，這些均方差定義如下：
我們定義：
（2.14）
；
；
；
；
我們假設(shè)P（i，j）是邊緣像素，那么上面所有例子的SO對(duì)中，至少有一對(duì)是這樣的，在那一對(duì)中，其中一個(gè)SO像素是邊緣的一邊，另一個(gè)是像素的另一邊。的期望值基于上述SO像素對(duì)將不會(huì)被以像素P（i,j）為中心的9x9面板中的邊緣存在而影響。換句話說，提供了一個(gè)的好的期望值，是否在以P（i,j）為中心的9x9面板中有邊緣像素。我們把稱為的0要求期望，因?yàn)闃颖痉讲羁杀徽J(rèn)為是隨機(jī)均值平方，當(dāng)在SO像素 中，樣本均值被認(rèn)為是真實(shí)FO像素的灰度水平的期望時(shí)，樣本均值是一個(gè)零階期望，它是一個(gè)零階多項(xiàng)式。
明顯地，每一個(gè)是的一個(gè)粗略期望，因?yàn)樵谙鄳?yīng)的SO像素中，樣本均值是實(shí)際上的FO 像素灰度水平是一個(gè)粗略期望。一個(gè)更精確的期望可以如下構(gòu)造。在每一個(gè)8個(gè)領(lǐng)域SO像素（i-r,j-t）中，我們完成了一個(gè)低級(jí)平方平面適度。得到了隨機(jī)均值平方，然后通過一些代數(shù)運(yùn)算，我們得到了的如下表示:
（2.15）
Y 是一個(gè)9x1矢量，這些元素是在（i-r,j-t）執(zhí)行為主的掃描方式中的3x3 FO像素灰度水平，9x9 矩陣如下：
（2.16）
我們接著定義：
（2.17）
在這里：
（2.18）
；
；
；
；
我們對(duì)如上討論的分布邊緣檢測(cè)方法做一個(gè)總結(jié)：
1 對(duì)每一個(gè)像素，P（i，j）其中 i=1，2，…N, j= 1,2,…M, 考慮以P（i,j）為中心的9x9面板，用公式（2.1）-（2.4）計(jì)算（i-r,j-t），此時(shí)，和
2 用公式（2.5）—（2.7）計(jì)算 和
3 用公式（2.8）和（2.10），（2.11）計(jì)算的值。
4 用公式（2.13）—（2.14）或者（2，17—2.18）來得到的一個(gè)期望值。用公式（2.12）得到一初始值，在很多的實(shí)際應(yīng)用中，可以選擇在7.5或者10 。
5 比較與大小，若則P（i，j）可以被確定為一個(gè)分布邊緣素像。
我們可以用如下簡(jiǎn)短的評(píng)論確認(rèn)我們的邊緣檢測(cè)技術(shù)：
評(píng)論2.2
在公式（2.3）和（2.4）中，我們用公式2.1，2.2中給出的不等權(quán)數(shù)來代替相等權(quán)數(shù)。因?yàn)槿缦驴紤]：如果我們?cè)谑?.3和2.4 中使用了公式2.1，和2.2 中的不等權(quán)重，那時(shí)：， 如果我們?cè)谑?.3 和2.4 中用等權(quán)數(shù)，那么。這些標(biāo)準(zhǔn)偏差值說明：用同樣的權(quán)數(shù)或者不同的權(quán)數(shù)在噪聲剔除能力中幾乎是一樣的，但是，同一權(quán)數(shù)比不同權(quán)數(shù)的模糊影響大。對(duì)于更多的關(guān)于權(quán)數(shù)選擇的詳細(xì)討論，我們建議由興趣的讀者可以閱讀Gonzalez Woods，主編的書的第四章的4.3節(jié)，出版于1992年。另一個(gè)用不同權(quán)數(shù)代替統(tǒng)一權(quán)數(shù)的考慮就是為了增加邊緣檢測(cè)精度。如果我們用相同的權(quán)數(shù)，那時(shí)，距離實(shí)際邊緣的3個(gè)單元像素仍然有很大的可能被檢測(cè)出來。如果我們?cè)谝訮（i,j）為中心的9x9面板中使用不同權(quán)數(shù)，就像我們?cè)诠?.3-2.4 中那樣，SO像素的權(quán)數(shù)中心很接近P（i,j），這樣會(huì)使可能檢測(cè)到的邊緣局限性增加。實(shí)際上，在距離實(shí)際邊緣2個(gè)單位處的像素很難被檢測(cè)到。
簡(jiǎn)評(píng)2.3
我們建議在公式2.12中使用0級(jí)或者初級(jí)的期望，我們也可以用的高級(jí)期望，但那將會(huì)涉及很大的一個(gè)計(jì)算空間。我們的試驗(yàn)結(jié)果顯示，在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，初級(jí)期望提供了足夠的精度，因?yàn)樽钚〉恼叫纹矫?，為小區(qū)域中的真實(shí)圖像亮度表面提供了一個(gè)很好的適應(yīng)。而那些小區(qū)域的圖像亮度函數(shù)時(shí)連續(xù)的。
簡(jiǎn)評(píng)2.4
P（i,j）為中心的9x9面板是最小的尺寸面板，他包含了以無重疊的SO像素為中心的8個(gè)領(lǐng)域，這簡(jiǎn)化了我們的理論分析。
簡(jiǎn)評(píng)2.5
在模型中，我們假設(shè)噪音樣本n(i,j)是獨(dú)立的，滿足統(tǒng)一分布，且有同一個(gè)方差，然而，在大多數(shù)情況下，噪聲樣本是相互關(guān)聯(lián)的，它的方差可能是一個(gè)與空間坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)。
在后者的情況下，我們的方法仍然是很適用的，因?yàn)槲覀兲岢龅姆讲钇谕且粋€(gè)局部集合模型，在式2-9中，我們確定假設(shè)噪音樣本是獨(dú)立的。如果噪音是相互關(guān)聯(lián)的，式2-9中的系數(shù)需要作適當(dāng)?shù)男薷?，而修改決定著相關(guān)模型。對(duì)于相關(guān)細(xì)節(jié)的討論，我們建議由興趣的讀者參考Cressie寫的相關(guān)書。
比較那些傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)技術(shù)，我們的邊緣檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)由如下優(yōu)勢(shì)：
1 通過使用校正方法，不明顯亮度函數(shù)變化幾乎從邊緣檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)中刪除。更特別的是，有著合適值。
如果（i,j）處的像素是一個(gè)邊緣像素，否則，C（i，j）指的是在像素（i，j）處亮度函數(shù)的分布長(zhǎng)度，h 是窗口亮度。不明顯亮度函數(shù)的變化對(duì)于邊緣檢測(cè)的影響被二階方程所反映。對(duì)于大多數(shù)其他邊緣檢測(cè)，這個(gè)影響值近似于，因此線性函數(shù)從我們的邊緣檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)中排除。
2 在構(gòu)造邊緣檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)我們用方法4代替了原來故有的X，Y方向。這使得在處理圖像亮度函數(shù)的局部光滑能力上，我們的方法更加靈活。
3 在邊緣檢測(cè)過程中，校正函數(shù)導(dǎo)致了噪音進(jìn)入，但是，通過引入FO和SO 像素概念，通過在每一個(gè)SO中使用局部平滑方法，噪音的影響已經(jīng)被極大的消除。每一個(gè)SO中灰度水平的噪音變化大約是每一個(gè)FO的噪音變化的1/9。
本文下一個(gè)部分的實(shí)驗(yàn)結(jié)果將會(huì)證明上述觀點(diǎn)。