線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型.ppt

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LinearProgramming,運(yùn)籌學(xué)課件,線性規(guī)劃,線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型圖解法單純形法原理單純形法計(jì)算步驟單純形法的進(jìn)一步討論數(shù)據(jù)包絡(luò)其他應(yīng)用例子案例分析,線性規(guī)劃概述,線性規(guī)劃（LinearProgramming，簡記為LP）是運(yùn)籌學(xué)中的一個最重要、應(yīng)用最廣泛的分支。線性規(guī)劃及其通用解法--單純形法一般認(rèn)為是美國學(xué)者丹捷格（G.Dantzig）在1947年研究美國空軍軍事規(guī)劃時提出的。蘇聯(lián)學(xué)者康托洛維奇在1939年解決工業(yè)生產(chǎn)組織與計(jì)劃問題時就提出類似線性規(guī)劃的模型及解法；康托洛維奇的工作當(dāng)時沒有被重視，但直到1960年康托洛維奇再次發(fā)表《最佳資源利用的經(jīng)濟(jì)計(jì)算》一書后，才受到重視。一些常見的帶有Spreadsheet的軟件，如：Excel、Lotus1-2-3等，均有內(nèi)置的線性規(guī)劃求解功能。最優(yōu)化問題求解軟件，如：Lindo、Lingo、Matlab等。,線性規(guī)劃問題提出,在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中經(jīng)常會提出這樣一類問題：如何利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源，取得最好的效果。例如：配載問題一交通工具，運(yùn)輸幾種不同體積、重量的物資，如何裝配，所運(yùn)的物資最多？下料問題用圓鋼制造長度不等的機(jī)軸，如何下料，所剩的余料最少？生產(chǎn)計(jì)劃問題企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種電器產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品的市場需求狀況可以確定，按當(dāng)前的定價可確保所有產(chǎn)品均能銷售出去。企業(yè)可提供的兩種原材料和勞動時間的數(shù)量是有限的。產(chǎn)品A與產(chǎn)品B各應(yīng)生產(chǎn)多少，可使企業(yè)總利潤最大?,線性規(guī)劃問題提出,上述這些問題有如下共同特點(diǎn)：問題解決要滿足一定條件，稱為約束條件；問題有多個滿足條件的解決方案；問題解決有明確的目標(biāo)要求，對應(yīng)不同方案有不同目標(biāo)值，可表示成目標(biāo)函數(shù)。,線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型,問題提出與建模生產(chǎn)計(jì)劃問題運(yùn)輸問題線性規(guī)劃模型一般形式規(guī)范形式標(biāo)準(zhǔn)形式形式轉(zhuǎn)換,常山機(jī)械廠制造Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品。已知各制造一件時分別占用的設(shè)備A、B、C的臺時，每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件時的獲利情況如下表所示。問該企業(yè)應(yīng)制造兩種產(chǎn)品各多少件，可使獲取的利潤最大。,生產(chǎn)計(jì)劃問題,問題分析,模型,運(yùn)輸問題,問題分析,模型,線性規(guī)劃問題的三個要素,決策變量決策問題待定的量值稱為決策變量。決策變量的取值有時要求非負(fù)。約束條件任何問題都是限定在一定的條件下求解，把各種限制條件表示為一組等式或不等式，稱之為約束條件。約束條件是決策方案可行的保障。LP的約束條件，都是決策變量的線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)衡量決策方案優(yōu)劣的準(zhǔn)則，如時間最省、利潤最大、成本最低。目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)。有的目標(biāo)要實(shí)現(xiàn)極大，有的則要求極小。,何謂線性規(guī)劃問題,最優(yōu)化問題我們稱如下一般問題：“在一定約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值”為最優(yōu)化問題，用數(shù)學(xué)模型描述的最優(yōu)化問題，稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題在最優(yōu)化問題中，如果約束條件與目標(biāo)函數(shù)均是線性的，我們就稱之為線性規(guī)劃問題。,線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型,如果規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型中，決策變量的取值是連續(xù)的，既可以為整數(shù)，也可以為分?jǐn)?shù)、小數(shù)或?qū)崝?shù)，目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，約束條件是含決策變量的線性等式或不等式，則該規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型,建立線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的步驟：Step1分析實(shí)際問題；Step2確定決策變量；Step3找出約束條件；Step4確定目標(biāo)函數(shù)；Step5整理、寫出數(shù)學(xué)模型。,【例1.1】某市今年要興建大量住宅,已知有三種住宅體系可以大量興建，各體系資源用量及今年供應(yīng)量見下表：要求在充分利用各種資源條件下使建造住宅的總面積為最大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。,線性規(guī)劃問題舉例,【例1.2】最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃問題。某企業(yè)在計(jì)劃期內(nèi)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別需要要在設(shè)備A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工及所需要的資源如表1.1所示。已知在計(jì)劃期內(nèi)設(shè)備的加工能力各為200臺時，可供材料分別為360、300公斤；每生產(chǎn)一件甲、乙、丙三種產(chǎn)品，企業(yè)可獲得利潤分別為40、30、50元，假定市場需求無限制。企業(yè)決策者應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)在計(jì)劃期內(nèi)總的利潤收入最大？,線性規(guī)劃問題舉例,產(chǎn)品資源消耗表,【例1.3】某商場決定：營業(yè)員每周連續(xù)工作5天后連續(xù)休息2天，輪流休息。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，商場每天需要的營業(yè)員如表1.2所示。,表1.2營業(yè)員需要量統(tǒng)計(jì)表,商場人力資源部應(yīng)如何安排每天的上班人數(shù)，使商場總的營業(yè)員最少。,線性規(guī)劃問題舉例,【例1.4】合理用料問題。某汽車需要用甲、乙、丙三種規(guī)格的軸各一根，這些軸的規(guī)格分別是1.5，1，0.7（m），這些軸需要用同一種圓鋼來做，圓鋼長度為4m?，F(xiàn)在要制造1000輛汽車，最少要用多少圓鋼來生產(chǎn)這些軸？,線性規(guī)劃問題舉例,注意：（１）求下料方案時應(yīng)注意，余料不能超過最短毛坯的長度；（２）最好將毛坯長度按降的次序排列，即先切割長度最長的毛坯，再切割次長的，最后切割最短的，不能遺漏了方案。（３）如果方案較多，用計(jì)算機(jī)編程排方案，去掉余料較長的方案，進(jìn)行初選。,,【例1.5】配料問題。某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分規(guī)格是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳要界于35%~55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進(jìn)行冶煉，每種礦物的成分含量和價格如表1.4所示。礦石雜質(zhì)在治煉過程中廢棄，現(xiàn)要求每噸合金成本最低的礦物數(shù)量。假設(shè)礦石在冶煉過程中，合金含量沒有發(fā)生變化。,表1.4礦石的金屬含量,,線性規(guī)劃問題舉例,解:設(shè)xj（j=1,2，…，5）是第j種礦石數(shù)量，得到下列線性規(guī)劃模型,注意：礦石在實(shí)際冶煉時金屬含量會發(fā)生變化，建模時應(yīng)將這種變化考慮進(jìn)去，有可能是非線性關(guān)系。配料問題也稱配方問題、營養(yǎng)問題或混合問題，在許多行業(yè)生產(chǎn)中都能遇到。,【例1.6】投資問題。某投資公司在第一年有200萬元資金，每年都有如下的投資方案可供考慮采納：“假使第一年投入一筆資金，第二年又繼續(xù)投入此資金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入資金的一倍金額”。投資公司決定最優(yōu)的投資策略使第六年所掌握的資金最多。,,線性規(guī)劃問題舉例,,【例1.7】均衡配套生產(chǎn)問題。某產(chǎn)品由2件甲、3件乙零件組裝而成。兩種零件必須經(jīng)過設(shè)備A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工時間分別為5分鐘和9分鐘，每件乙零件在A、B上的加工時間分別為4分鐘和10分鐘?，F(xiàn)有2臺設(shè)備A和3臺設(shè)備B，每天每臺可供加工時間為8小時。為了保持兩種設(shè)備均衡負(fù)荷生產(chǎn)，要求一種設(shè)備每天的加工總時間不超過另一種設(shè)備總時間1小時。怎樣安排設(shè)備的加工時間使每天產(chǎn)品的產(chǎn)量最大。,線性規(guī)劃問題舉例,,,線性規(guī)劃問題的一般形式,目標(biāo)函數(shù),約束條件,,,假定線性規(guī)劃問題有n個決策變量，m個約束條件。一般地，線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型中可表示成如下形式：,注釋,規(guī)范形式,標(biāo)準(zhǔn)形式,模型轉(zhuǎn)換,約束轉(zhuǎn)換實(shí)例,目標(biāo)轉(zhuǎn)換,變量轉(zhuǎn)換,約束轉(zhuǎn)換,不等式變等式不等式變不等式,等式變不等式,,,不等式變等式,松弛變量,,剩余變量,,不等式變不等式,例1把問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,例1把問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,練習(xí)將下列問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,