特征值與特征向量的應用PPT.ppt

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第一節(jié)特征值與特征向量,一特征值與特征向量的概念,二特征值和特征向量的求法,第一節(jié)特征值與特征向量,三特征值和特征向量的性質,一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則λ稱為Ａ的特征值，,稱為Ａ的特征向量．,（１）,注,②并不一定唯一；,③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組,①特征向量，特征值問題只針對與方陣；,有非零解的λ值，即滿足,的λ都是方陣Ａ的特征值．,定義,稱以λ為未知數的一元ｎ次方程,為Ａ的特征方程．,定義,稱以λ為變量的一元ｎ次多項式,為Ａ的特征多項式．,定理,設ｎ階方陣的特征值為,則,證明①,當是Ａ的特征值時，Ａ的特征多項,式可分解為,令,得,即,證明②,因為行列式,它的展開式中，主對角線上元素的乘積,是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至,多含ｎ－２個主對角線上的元素，,含的項只能在主對角線上元素的乘積項中．,故有,比較①，有,因此，特征多項式中,定義,方陣Ａ的主對角線上的元素之和稱為方陣Ａ的跡.,記為,二、特征值和特征向量的性質,推論１,ｎ階方陣Ａ可逆?Ａ的ｎ個特征值全不為零.,若數λ為可逆陣的Ａ的特征值，,特別,單位陣Ｅ的一個特征值為１．,三、應用舉例,１、若λ＝２為可逆陣Ａ的特征值，則,的一個特征值為（）,２、證ｎ階方陣Ａ的滿足，則Ａ的特征值為,０或１．,3、求下列方陣的特征值與特征向量,四、特征向量的性質,定理,互不相等的特征值所對應的特征向量線性無關。,定理,互不相等的特征值對應的各自線性無關的特征,向量并在一塊，所得的向量組仍然線性無關。,一相似矩陣的定義、性質,二矩陣可相似對角化的條件,三應用舉例,第二節(jié)矩陣相似對角化,一、定義,定義,設Ａ、Ｂ都是ｎ階矩陣，若有可逆矩陣Ｐ，,使得,則稱Ｂ是Ａ的相似矩陣，或者說矩陣,Ａ與Ｂ相似．,可逆矩陣Ｐ稱為把Ａ變成Ｂ的相似變換矩陣．,記作：,Ａ∽Ｂ．,二、性質,（1）反身性：,（2）對稱性：,（3）傳遞性：,Ａ∽Ａ；,Ａ∽Ｂ，則Ｂ∽Ａ；,Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，則Ａ∽Ｃ；,（4）Ａ∽Ｂ，則,（5）Ａ∽Ｂ，則,（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，則,定理,若ｎ階矩陣Ａ與Ｂ相似，則Ａ與Ｂ有相同的特征多項式，從而Ａ與Ｂ有相同的特征值．,推論,若ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣,相似，,若能尋得相似變換矩陣Ｐ使,對ｎ階方陣Ａ，,稱之為把方陣Ａ對角化．,三、相似對角化,定理的推論說明，如果ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣Λ相,似，,則Λ的主對角線上的元素就是Ａ的全部特征值．,設存在Ｐ可逆，,使得,有,于是有,因為Ｐ可逆，,故,關的特征向量。,反之，,即,設,可逆，且,則Ｐ,若Ａ有ｎ個線性無關的特征向量,所以,即Ａ與對角矩陣Λ相似．,定理,ｎ階矩陣Ａ能與對角矩陣Λ相似,?Ａ有ｎ階線性無關的特征向量．,推論,如果ｎ階矩陣Ａ有ｎ個不同的特征值，則矩陣Ａ,可相似對角化．,內積的定義與性質,定義,設ｎ維實向量,稱實數,為向量α與β的內積，記作,注：內積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有,施密特（Schmidt）正交化法,設,是向量空間Ｖ的一個基，要求向量空,間Ｖ的一個標準正交基，就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,，使,與,等價，,此問題稱為把,這組基標準正交化.,1）正交化,令,就得到Ｖ的一個標準正交向量組.,Ｖ的一組標準正交基.,如果,上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.,2）標準化,令,是Ｖ的一組基，則,就是,定理對稱矩陣的特征值為實數.,說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣．,定理對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量正交.,定理若ｎ階對稱陣Ａ的任重特征值對應的線性,無關的特征向量恰有個．（不證）,定理若Ａ為ｎ階對稱陣，則必有正交矩陣Ｐ，使得,實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質,根據上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：,2.,1.,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法,例設矩陣,求一個正交矩陣P，使得,為對角陣。,例設三階對稱矩陣A的特征值為1,2,3;矩陣A的屬于特征值1，2的特征向量分別為,（1）A的屬于特征值3的特征向量。（2）求矩陣A。,