八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 巧用中點(diǎn)解決問(wèn)題試題 （新版）青島版.doc

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巧用中點(diǎn)解決問(wèn)題 一、中位線定理 1. 三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 2. 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC兩邊中點(diǎn)，求證DE平行且等于。利用全等和平行四邊形進(jìn)行證明。 強(qiáng)調(diào)理解： （1）要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開(kāi)。三角形中線是連接一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段。 （2）三角形有三條中位線，首尾相接時(shí)，小三角形面積等于原三角形的四分之一，這四個(gè)三角形都互相全等。 二、直角三角形斜邊中線 如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB的中點(diǎn)，求證。利用矩形性質(zhì)進(jìn)行證明。 總結(jié)： （1）當(dāng)圖形中有一個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候考慮倍長(zhǎng)中線，當(dāng)圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候考慮連接后用中位線； （2）計(jì)算中經(jīng)常使用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，特別要注意等腰直角三角形。 例題1 如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，則△ABC的周長(zhǎng)是（　　） A. 28 B. 32 C. 18 D. 25 解析：延長(zhǎng)線段BN交AC于E，從而構(gòu)造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），進(jìn)而證明MN是中位線，從而求出CE的長(zhǎng)。 答案：延長(zhǎng)線段BN交AC于E。∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90， ∴△ABN≌△AEN，∴AB＝AE＝6，BN＝EN， 又∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴CE＝2MN＝21.5＝3， ∴△ABC的周長(zhǎng)是AB＋BC＋AC＝6＋10＋6＋3＝25，故選D。 例題2 如圖，以邊長(zhǎng)為1的正方形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，再以所得四邊形四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，…依次作下去，圖中所作的第三個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為 ；所作的第n個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為 。 解析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，求出第二個(gè)，第三個(gè)四邊形的周長(zhǎng)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求出第n個(gè)四邊形的周長(zhǎng)。 答案：根據(jù)三角形中位線定理得，第二個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)為＝，周長(zhǎng)為2，第三個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為4＝2，第n個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為4（）n?1，故答案為2，4（）n?1。 利用中點(diǎn)判斷三角形形狀 示例 如圖，在線段AE同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120），點(diǎn)P、點(diǎn)M分別是線段BE、AD的中點(diǎn)，則△CPM是（　　） A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 非等腰三角形 解析：首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60，則∠BCE＝∠ACD，從而根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACD，得∠CBE＝∠CAD，BE＝AD；再由點(diǎn)P、點(diǎn)M分別是線段BE、AD的中點(diǎn)，得BP＝AM，根據(jù)SAS證明△BCP≌△ACM，得PC＝MC，∠BCP＝∠ACM，則∠PCM＝∠ACB＝60，從而證明該三角形是等邊三角形。 答案：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60。∴∠BCE＝∠ACD。∴△BCE≌△ACD。∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD。又點(diǎn)P、點(diǎn)M分別是線段BE、AD的中點(diǎn)，∴BP＝AM?！唷鰾CP≌△ACM?！郟C＝MC，∠BCP＝∠ACM。∴∠PCM＝∠ACB＝60?！唷鰿PM是等邊三角形。故選C。 轉(zhuǎn)化三角形構(gòu)造中位線 示例 已知兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME。 （1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF； （2）如圖1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長(zhǎng)； （3）如圖2，當(dāng)∠BCE＝45時(shí)，求證：BM＝ME。 解析：（1）如答圖1所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線即可； （2）如答圖2所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線； （3）如答圖3所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM＝DF，ME＝AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到AG＝DF，從而證明BM＝ME。 答案：（1）證明：如答圖1，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△DBC均為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF。 （2）解：如答圖2所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△DBC與△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝DC＝a，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM＝DF。分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝2a，∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME＝AG?！逤G＝CF＝2a，CA＝CD＝a，∴AG＝DF＝a，∴BM＝ME＝a＝a。 （3）證明：如答圖3，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△DBC均為等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝DB，AC＝DC，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM＝DF。延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME＝AG。在△ACG與△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴AG＝DF，∴ME＝BM。 （答題時(shí)間：45分鐘） 一、選擇題 1. 直角三角形ABC的周長(zhǎng)為2＋，斜邊上的中線長(zhǎng)為1，則該三角形的面積等于（　?。? A. 1 B. C. D. 2. 如圖，∠MON＝90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（　?。? A. ＋1 B. C. D. *3. 如圖，BE、CF分別是△ABC的高，M為BC的中點(diǎn)，EF＝5，BC＝8，則△EFM的周長(zhǎng)是（　　） A. 21 B. 18 C. 13 D. 15 **4. 如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB＝CD。下列結(jié)論：①EG⊥FH，②四邊形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝（BC－AD），⑤四邊形EFGH是菱形。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。? A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) **5. 在正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，BE⊥PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE、BE、FA⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)C。下列結(jié)論：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中結(jié)論正確的是（　　） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空題 *6. 如圖，△ABC的周長(zhǎng)為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則PQ的長(zhǎng)為　　　　　。 *7. 如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處，折痕為EF，若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠A＝120，則EF＝　　　　　　　cm。 *8. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，D，E為BC上的點(diǎn)，連接DN，EM。若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，圖中陰影部分的面積為　　　　　　。 *9. 命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，AF＝BE，CE、BF交于點(diǎn)H，BF交AC于點(diǎn)M，O為AC的中點(diǎn)，OB交CE于點(diǎn)N，連接OH。下列結(jié)論中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③OH＝CN；④ OH＋BH＝CH。其中正確的結(jié)論有________。 三、解答題 *10. 如圖，直線a、b相交于點(diǎn)A，C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a，DE⊥b，點(diǎn)M、N分別是CE、BD的中點(diǎn)。 求證：（1）DM＝BM；（2）MN⊥BD。 *11. 已知：在△ABC中，∠ABC＝90，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM。 （1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論； （2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （3）若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并直接寫(xiě)出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系。 **12. 已知：在△ABC中，BC＞AC，動(dòng)點(diǎn)D繞△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD＝BC，連接DC。過(guò)AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N。 （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論∠AMF＝∠BNE（不需證明）； （2）當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別寫(xiě)出猜想，并任選一種情況證明。  1. B 解析：∵CD是直角三角形ABC斜邊上的中線，∴AB＝2CD＝2，∵直角三角形ABC的周長(zhǎng)是2＋，∴AC＋BC＝，兩邊平方得：AC2＋2AC?BC＋BC2＝6，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2＝4，∴2AC?BC＝2，ACBC＝1，∴S△ABC＝ACBC＝1＝。故選B。 2. A 解析：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵OD＜OE＋DE，∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝AB＝1，DE＝＝＝，∴OD的最大值為：＋1。 3. C 解析：∵BE、CF分別是△ABC的高，M為BC的中點(diǎn)，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝4，在Rt△BCF中，F(xiàn)M＝BC＝4，∴△EFM的周長(zhǎng)＝EM＋FM＋EF＝4＋4＋5＝13。故選C。 4. C 解析：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，∴EF＝CD，F(xiàn)G＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正確；②四邊形EFGH是矩形，錯(cuò)誤；③HF平分∠EHG，正確；④當(dāng)AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點(diǎn)，∴連接CD，延長(zhǎng)EG到CD上一點(diǎn)N，∴EN＝BC，GN＝AD，∴EG＝（BC－AD），只有AD∥BC時(shí)才可以成立，而本結(jié)論中AD與BC很顯然不平行，故本結(jié)論錯(cuò)誤；⑤四邊形EFGH是菱形，正確。綜上所述，①③⑤，共3個(gè)正確。故選C。 5. D 解析：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝∠90＝∠BEF，∵∠APD＝∠EPB，∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF，∴①正確；∵AE＝AF，BE＝DF，∴∠AEF＝∠AFE＝45，取EF的中點(diǎn)M，連接AM，∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，∴BE∥AM，∵AP＝BP，∴AM＝BE＝ME，∴∠EMB＝∠EBM＝45，∴∠AMB＝90＋45＝135＝∠FMB，∵BM＝FM，AM＝FM，∴△ABM≌△FBM，∴AB＝FB，∴②正確；∴∠BAM＝∠BFM，∵∠BEF＝90，AM⊥EF，∴∠BAM＋∠APM＝90，∠EBF＋∠EFB＝90，∴∠APF＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠FDC，∴∠EBF＝∠FDC，∵BE＝DF，BF＝DC，∴△BEF≌△DFC，∴FE＝CF，∠FEB＝∠CFD＝90，∴③正確，④正確；故選D。 6. 3 解析：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點(diǎn)Q是AE中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn)（三線合一），∴PQ是△ADE的中位線，∵BE＋CD＝AB＋AC＝26－BC＝26－10＝16，∴DE＝BE＋CD－BC＝6，∴PQ＝DE＝3。 7. 解：連接BD、AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD＝120，∴∠BAC＝60，∴∠ABO＝90－60＝30，∵∠AOB＝90，∴AO＝AB＝2＝1，由勾股定理得：BO＝DO＝，∵A沿EF折疊與O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF為△ABD的中位線，∴EF＝BD＝（＋）＝，故答案為：。 8. 30cm2 解析：連接MN。∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，且MN＝BC＝5cm；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F。則AF⊥MN，AF＝12cm（勾股定理）?！邎D中陰影部分的三個(gè)三角形的底長(zhǎng)都是5cm，且高的和為12cm；∴S陰影＝512＝30cm2。 9. ①②④ 解析：∵AF＝BE，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90，∴△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∠BFA＝∠CEB，∴∠BEC＋∠BCE＝∠BEH＋∠ABF＝90，∴∠BHE＝90，即BF⊥EC，①正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴BO⊥AC，BO＝OC，由題意，正方形ABCD中，∠ABO＝∠BCO，已證∠BCE＝∠ABF，∴∠ECO＝∠FBO，∴△OBM≌△OCN，∴OM＝ON，即②正確；③∵△OBM≌△OCN，∴BM＝CN，只有當(dāng)H為BM的中點(diǎn)時(shí)，OH等于CN的一半，故③錯(cuò)誤；④過(guò)O點(diǎn)作OG垂直于OH，OG交CH于點(diǎn)G，在△OGC與△OHB中，，故△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，，，所以結(jié)論④正確。綜上所述，①②④正確。 10. 證明：（1）∵BC⊥a，DE⊥b，∴∠CBE＝∠CDB＝90，∴△CBE，△CDE為直角三角形，∵點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，∴DM＝BM＝EC，∴DM＝BM；（2）∵DM＝BM，∴△MDB為等腰三角形，又∵N為BD的中點(diǎn)， ∴MN為BD邊上的中線，∴MN⊥BD（三線合一）。 11. 解：（1）結(jié)論：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD。 理由如下：∵BM、DM分別是Rt△EBC、Rt△DEC的斜邊上的中線，∴BM＝DM＝CE；又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME＋∠DME＝2（∠BCM＋∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD。（2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立。即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD。 證明：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，∴BM＝EC＝MC，又∵點(diǎn)M是Rt△DEC的斜邊EC的中點(diǎn)，∴DM＝EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB－∠EMD＝2∠BCM－2∠DCM＝2（∠BCM－∠DCM）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD。（3）所畫(huà)圖形如圖所示： 圖1中有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；圖2中∠BCD不存在，有BM＝DM；圖3中有BM＝DM，∠BMD＝360－2∠BCD。解法同（2）。 12. 解：圖1：∠AMF＝∠BNE；圖2：∠AMF＝∠BNE；圖3：∠AMF＋∠ENB＝180。 證明：如答圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF?！逨是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠BNE＝∠HEF?！逜D＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠BNE＝∠AMF。如答圖3：取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF?！逨是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，∴HF∥AD，HF＝AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180，同理，HE∥CB，HE＝CB，∴∠ENB＝∠HEF?！逜D＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180。 答圖2 答圖3