八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 巧用分式方程的增根解決問題試題 （新版）青島版.doc

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巧用分式方程的增根解決問題 一、解分式方程的步驟： 二、分式方程增根的概念： 在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，那么這個(gè)根叫做原分式方程的增根。 三、產(chǎn)生增根的原因： 增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程去分母的過程中產(chǎn)生的。因?yàn)榈忍?hào)兩邊同乘以的最簡公分母有可能是0，因此就有可能產(chǎn)生滿足整式方程，但是不滿足分式方程的根。 注意：1. 解分式方程必須要驗(yàn)根； 2. 驗(yàn)根時(shí)只需要把求出的x的值代入最簡公分母中，看是否為0。 四、常見的題型： 1. 求增根問題： 方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最簡公分母，若為零是增根，若不為零是原方程的根。 2. 根據(jù)增根求待定系數(shù)問題： 步驟：①去分母，化分式方程為整式方程； ②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值。 例題1 若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為__________。 解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a, 答案：原方程可化為： ① 又原方程的增根是，把代入①，得： 故應(yīng)填“”。 點(diǎn)撥：本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程，即可求得相關(guān)字母的值。 例題2 當(dāng)a取何值時(shí)，解關(guān)于x的方程：無增根？ 解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a,最后從保證整式方程有實(shí)根的a的取值范圍中把產(chǎn)生增根的a的值去掉。 答案：原方程可化為： ① 又原方程的增根為x=2或，把x=2或分別代入①得： 或 又由知，a可以取任何實(shí)數(shù)。 所以，當(dāng)且時(shí)，解所給方程無增根。 點(diǎn)撥：解答此類問題的基本思路是： （1）將已知方程化為整式方程； （2）由所得整式方程，求出有增根的字母系數(shù)的值和使整式方程有實(shí)數(shù)根的字母系數(shù)的取值范圍； （3）從有實(shí)數(shù)根的范圍里排除有增根的值，即得無增根的取值范圍。 例題3 當(dāng)k的值為_________（填出一個(gè)值即可）時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。 解析：先化成整式方程（即一元二次方程）分兩種情況：（1）一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根。（2）有兩個(gè)不等實(shí)根，且有一個(gè)是增根。 答案：原方程可化為： ① 要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，有下面兩種情況： （1）當(dāng)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且不為原方程的增根，所以由得k=－1。當(dāng)k=－1時(shí)，方程①的根為，符合題意。 （2）方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中有一個(gè)是原方程的增根，所以由，得k>－1。又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入①得k=0，或k=3，均符合題意。 綜上所述：可填“－1、0、3”中的任何一個(gè)即可。 點(diǎn)撥：本題要分清方程的增根和方程無根的區(qū)別。 分式方程無解是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等。它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。 例題 （1）當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程①會(huì)產(chǎn)生增根？ （2）當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程①無解？ 解析：（1）首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。 （2）除了考慮第（1）種情況外，此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a－1）x＝－10本身無解的情況。 答案：（1）方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ② 若原分式方程有增根，則x＝2或－2是方程②的根， 把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6。 （2）方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ② 若原方程無解，則有兩種情形： ①當(dāng)a－1＝0（即a＝1）時(shí)，方程②為0x＝－10，此方程無解，所以原方程無解。 ②如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解。此時(shí)由（1）可知，a＝－4或6。 綜上所述，a＝1或a＝一４或a＝6時(shí)，原分式方程無解。 點(diǎn)撥：弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系,能幫助我們提高解分式方程的正確性,對(duì)判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義。 （答題時(shí)間：45分鐘） 一、選擇題 1. （岳陽）關(guān)于x的分式方程有增根，則增根為（　?。? A. x=1 B. x=－1 C. x=3 D. x=－3 2. 若分式方程有增根，則它的增根是（　　） 　 A. 1 B. 2或－2 C. －2 D. 2 3. 若方程有增根，則增根可能是（　?。? 　 A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 1 4. 若解關(guān)于x的方程有增根x=－1，則a的值為（　?。? 　 A. 3 B. －3 C. 3或1 D. －3或－1 5. 下列關(guān)于分式方程增根的說法，正確的是（　?。? 　 A. 使所有的分母的值都為零的解是增根 　 B. 分式方程的解為零就是增根 　 C. 使分子的值為零的解就是增根 　 D. 使最簡公分母的值為零的解是增根 6. 關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值及增根x的值分別為（　?。? 　 A. m=－1，x=－3 B. m=1，x=－3 C. m=－1，x=3 D. m=1，x=3 二、填空題 7. （天水）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為____________。 8. （巴中）若分式方程有增根，則這個(gè)增根是____________。 9. 若方程有增根x=2，則m=____________。 三、解答題 10. 若關(guān)于x的方程有增根，試解關(guān)于y的不等式5（y－2）≤28+k+2y。 11. 增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值。 閱讀以上材料后，完成下列探究： 探究1：m為何值時(shí)，方程有增根。 探究2：m為何值時(shí)，方程的根是－1。 探究3：任意寫出三個(gè)m的值，使對(duì)應(yīng)的方程的三個(gè)根中兩個(gè)根之和等于第三個(gè)根。 探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的m1、m2、m3的關(guān)系是　_________　。 12. 李明在解關(guān)于x的方程時(shí)，把m的值看錯(cuò)了。解方程產(chǎn)生了增根，請(qǐng)你指出李明把m看成了幾？為什么？  一、選擇題 1. A 解：方程兩邊都乘（x－1），得7+3（x－1）=m， ∵原方程有增根， ∴最簡公分母x－1=0， 解得x=1， 當(dāng)x=1時(shí)，m=7，這是可能的，符合題意。 2. C 解：由題意得x2－4=0時(shí)，原方程有增根。 解得x=2或－2， 原方程化為整式方程為：3=（x－1+m）（x－2） 當(dāng)x=2時(shí)，右邊為0，所以不能是2， 當(dāng)x=－2時(shí)，左邊可能等于右邊。 3. C 解：分式方程， 最簡公分母x（x－2）， 去分母得：4－x2=0， 整理得：x2=4， 解得：x=2， 把x=2代入x（x－2）=0， 則x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解為－2。 4. B 解：方程兩邊都乘以x（x+1）得：3（x+1）+（ax－3）x=2x（x+1），① 把x=－1代入①得：3（－1+1）+（－a－3）=2（－1）（－1+1）， 解得：a=－3。 5. D 解：分式方程的增根是使最簡公分母的值為零的解。 6. A 解：方程兩邊都乘（x+3），得 x+2=m ∵方程有增根， ∴最簡公分母x+3=0，即增根是x=－3， 把x=－3代入整式方程，得m=－1。 二、填空題 7. －1 解：方程兩邊都乘（x－1），得 ax+1－（x－1）=0， ∵原方程有增根， ∴最簡公分母x－1=0，即增根為x=1， 把x=1代入整式方程，得a=－1。 8. x=1 解：根據(jù)分式方程有增根，得到x－1=0，即x=1， 則方程的增根為x=1。 9. －6 解：方程兩邊都乘（x+2）（x－2），得 x－m－x（x+2）=2（x+2）（x－2） ∵原方程增根為x=2， ∴把x=2代入整式方程，得m=－6。 三、解答題 10. 解：方程兩邊都乘（x－3），得 k+2x－6=4－x， ∵方程有增根， ∴最簡公分母x－3=0，即增根是x=3， 把x=3代入整式方程，得k=1。 把k=1代入不等式5（y－2）≤28+k+2y得， 5（y－2）≤28+1+2y， 解得y≤13。 11. 解：探究1：方程兩邊都乘以（x－3）， 得3x+5（x－3）=－m ∵原方程有增根， ∴最簡公分母x－3=0， 解得x=3， 當(dāng)x=3時(shí)，m=－9， 故m的值是－9。 探究2：方程兩邊都乘以（x－3）， 得3x+5（x－3）=－m ∵原方程的根為x=－1， ∴m=23， 探究3：由（1）（2）得x=， 方程的三個(gè)對(duì)應(yīng)根為a，b，c且a+b=c， 即可得出對(duì)應(yīng)的m，m1=15－8a，m2=15－8b，m3=15－8c， 探究4：∵a+b=c， ∴ 整理得m3=m1+m2－15。 12. 解：把m看成了－6或－14， 理由是： 去分母得：x（x+2）－（x+m）=2x（x－2）， x2－5x+m=0①， ∵有增根， ∴x+2=0，x－2=0， ∴x=2或－2， 當(dāng)x=2時(shí)，代入①得：4－10+m=0， 解得：m=6； 當(dāng)x=－2時(shí)，代入①得：4+10+m=0， 解得：m=－14； 即m=6或－14。