八年級數(shù)學下冊 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 矩形 第2課時 矩形的判定教案 新人教版.doc

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第2課時　矩形的判定 1．掌握矩形的判定方法；(重點) 2．能夠運用矩形的性質(zhì)和判定解決實際問題．(難點) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導入 我們已經(jīng)知道，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．這是矩形的定義，我們可以依此判定一個四邊形是矩形．除此之外，我們能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 矩形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，具有如下的性質(zhì)： 1．兩條對角線相等且互相平分； 2．四個內(nèi)角都是直角． 這些性質(zhì)，對我們尋找判定矩形的方法有什么啟示？ 二、合作探究 探究點一：有一個角是直角的平行四邊形是矩形 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E.求證：四邊形ADCE是矩形． 解析：首先利用外角性質(zhì)得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，進而得到AE∥BC，即可得出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)AD是高即可得出四邊形ADCE是矩形． 證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形．又∵∠ADC＝90，∴平行四邊形ADCE是矩形． 方法總結：平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定常綜合運用，解題時利用平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形再證明其中一角為直角即可． 探究點二：對角線相等的平行四邊形是矩形 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形． 解析：首先由平行四邊形ABCD可得OA＝OC，OB＝OD.若ON＝OB，那么ON＝OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可證得四邊形NDMB的對角線相等且互相平分，即可得證． 證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四邊形NDMB為矩形． 方法總結：證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證這個四邊形的對角線相等． 探究點三：有三個角是直角的四邊形是矩形 如圖，?ABCD各內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形． 解析：利用“有三個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形”證明四邊形EFGH是矩形． 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180.∵AH，BH分別平分∠DAB與∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝180＝90，∴∠H＝90.同理∠HEF＝∠F＝90，∴四邊形EFGH是矩形． 方法總結：題設中隱含多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形． 探究點四：矩形的性質(zhì)和判定的綜合運用 【類型一】 矩形的性質(zhì)和判定的運用 如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求證：四邊形EFGH是矩形； (2)若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面積． 解析：(1)證明四邊形EFGH對角線相等且互相平分；(2)根據(jù)題設求出矩形的邊長CD和BC，然后根據(jù)矩形面積公式求得． (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四邊形EFGH是矩形； (2)解：∵G是OC的中點，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中點，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四邊形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4cm，∴S矩形ABCD＝44＝16(cm2)． 方法總結：若題設條件與這個四邊形的對角線有關，要證明一個四邊形是矩形，通常證這個四邊形的對角線相等且互相平分． 【類型二】 矩形的性質(zhì)和判定與動點問題 如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90，AD＝24cm，BC＝26cm，動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動．點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動． (1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？ (2)經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？ 解析：(1)設經(jīng)過ts時，四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)DP＝CQ，代入后求出即可；(2)設經(jīng)過t′s時，四邊形PQBA是矩形，根據(jù)AP＝BQ，代入后求出即可． 解：(1)設經(jīng)過ts，四邊形PQCD為平行四邊形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6； (2)設經(jīng)過t′s，四邊形PQBA為矩形，即AP＝ BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝. 方法總結：①證明一個四邊形是平行四邊形，若題設條件與這個四邊形的邊有關，通常證這個四邊形的一組對邊平行且相等；②題設中出現(xiàn)一個直角時，常采用“有一角是直角的平行四邊形是矩形”來判定矩形． 三、板書設計 1．矩形的判定 有一角是直角的平行四邊形是矩形； 對角線相等的平行四邊形是矩形； 有三個角是直角的四邊形是矩形． 2．矩形的性質(zhì)和判定的綜合運用 在本節(jié)課的教學中，不僅要讓學生掌握矩形判定的幾種方法，更要注重學生在學習的過程中是否真正掌握了探究問題的基本思路和方法．教師在例題練習的教學中，若能適當?shù)匾龑W生多做一些變式練習，類比、遷移地思考、做題，就能進一步拓展學生的思維，提高課堂教學的效率．