2019春九年級數學下冊 第一章 直角三角形的邊角關系 1.5 三角函數的應用教案2 （新版）北師大版.doc

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1.5 三角函數的應用 教學目標 (一)教學知識點 1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的應用. 2.能夠把實際問題轉化為數學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數的計算，并能對結果的意義進行說明. (二)能力訓練要求 發(fā)展學生的數學應用意識和解決問題的能力. (三)情感與價值觀要求 1.在經歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣. 2.選擇生活中學生感興趣的題材，使學生能積極參與數學活動，提高學習數學、學好數學的欲望. 教具重點 1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用. 2.發(fā)展學生數學應用意識和解決問題的能力. 教學難點 根據題意，了解有關術語，準確地畫出示意圖. 教學方法 探索——發(fā)現法 教具準備 多媒體演示 教學過程 Ⅰ.創(chuàng)設問題情境，引入新課 [師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關系后，接著又為我們展現了在它的世界中的邊角關系，它使我們現實生活中不可能實現的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等. 下面我們就來看一個問題(多媒體演示). 海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流. 下面就請同學們用銳角三角函數知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎) Ⅱ.講授新課 [師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? [生]應該是“上北下南，左西右東”. [師]請同學們根據題意在練習本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的. [生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25處.示意圖如下. [師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定? [生]根據題意，小島四周10海里內有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較. [師]這位同學分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉化成數學問題.下面我們就來看AD如何求.根據題意，有哪些已知條件呢? [生]已知BC＝20海里，∠BAD＝55，∠CAD＝25. [師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢? [生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25，不能求AD. [生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD. [師]那該如何是好?是不是可以將它們結合起來，站在一個更高的角度考慮? [生]我發(fā)現這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系. [師]有何聯(lián)系呢? [生]在Rt△ABD中，tan55＝，BD=ADtan55；在Rt△ACD中，tan25＝，CD＝ADtan25. [生]利用BC＝BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan25＝20. [師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數學問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數學中最重要的數學思想之一. 下面我們一起完整地將這個題做完. [師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=AD tan55，CD＝ADtan25，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55-ADtan25＝20. AD(tan55-tan25)＝20， AD=≈20.79(海里). 這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險. [師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現在我們來看他是怎樣測的，并根據他得到的數據幫他求出塔的高度. 多媒體演示 想一想你會更聰明： 如圖，小明想測量塔 CD的高度.他在A處 仰望塔頂，測得仰角 為30，再往塔的方 向前進50m至B處.測得仰角為60.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結果精確到1 m) [師]我想請一位同學告訴我什么是仰角?在這個圖中，30的仰角、60的仰角分別指哪兩個角? [生]當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30的仰角指∠DAC，60的仰角指∠DBC. [師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答. (教師留給學生充分的思考時間，感覺有困難的學生可給以指導) [生]首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30=， 即AC＝在Rt△BDC中，tan60=, 即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 -=50. 解得CD≈43(m)， 即塔CD的高度約為43 m. [生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應考慮小明的身高. [師]這位同學能根據實際大膽地提出質疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應該考慮小明的身高，更準確一點應考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離. 如果設小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數據不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎? [生]示意圖如 右圖所示，由前面的 解答過程可知CC′≈ 43 m，則CD＝43+ 1.6＝44.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m. [師]同學們的表現太棒了.現在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學們幫忙解決一下. 多媒體演示： 某商場準備改善原來 樓梯的安全性能，把 傾角由40減至35， 已知原樓梯長為4 m， 調整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.0l m) 請同學們根據題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉化成數學問題，(先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法) [生]在這個問題 中，要注意調整前后 的梯樓的高度是一個 不變量.根據題意可 畫㈩示意圖(如右 圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調整后的樓梯的長度，DB是調整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調整后的樓梯的傾角.轉化為數學問題即為： 如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40，∠ADB＝35，AC＝4m.求AD-AC及DC的長度. [師]這位同學把這個實際樓梯調整問題轉化成了數學問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧! [生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40＝，即AB＝4sin40m，原樓梯占地 長BC＝4cos40m. 調整后,在Rt△ADB中，sin35＝，則AD＝m.樓梯占地長 DB=m. ∴調整后樓梯加長AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC= -4cos40≈0.61(m). Ⅲ.隨堂練習 1.如圖，一燈柱AB被 一鋼纜CD固定，CD與地面 成40夾角，且DB＝5 m， 現再在C點上方2m處加固 另一條鋼纜ED，那么鋼纜 ED的長度為多少? 解：在Rt△CBD中，∠CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m). 在Rt△EDB中，DB=5 m， BE=BC+EC＝2+5sin40(m). 根據勾股定理，得DE=≈7.96(m). 所以鋼纜ED的長度為7.96 m. 2.如圖，水庫大壩的 截面是梯形ABCD，壩頂AD ＝6 m，坡長CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC=135. (1)求∠ABC的大?。? (2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結果精確到0.01 m3) 解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足. (1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135， ∴∠FDC＝45，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45=4 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在Rt△AEB中，AE＝DF=4 (m). tanABC＝≈0.308. ∴∠ABC≈178′21″. (2)梯形ABCD的面積S＝(AD+BC)AE = (6+30)4 =72 (m2). 壩長為100 m，那么建筑這個大壩共需土石料10072 ≈10182.34(m3). 綜上所述，∠ABC＝178′21″，建筑大壩共需10182.34 m3土石料. Ⅳ.課時小結