九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 幾何基本圖形：一線三等角試題 （新版）青島版.doc

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幾何基本圖形：一線三等角 1. 基本模型 注意：利用同角的余角相等證明△ACD∽△BEC 2. 模型擴展 （1）銳角 相似依據(jù)：運用三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和尋找相等的角度，得出兩個三角形相似并加以運用。 （2）鈍角 注意： （1）相似三角形中對應(yīng)邊要找準。 （2）熟練記憶“一線三等角”的基本模型，根據(jù)三角形相似可得：； （3）此模型中共有三組相似三角形，一般考查△BED∽△CDF。 例題 （歷城區(qū)三模）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點。 （1）若BE=2，求CM的長； （2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由； （3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積。 解析：（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得△ABE∽△ECM，就有，即可以得出答案；（2）分別從AE=AM，AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3）首先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積。 答案：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B， 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； ∴， ∴， ∴； （2）能。 當AE=EM時，則△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， 當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA， ∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴=， ∴； 當AE=AM時，此時E點與B點重合，M點與C點重合，即BE=0。 ∴BE=1或或0。 （3）設(shè)BE=x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴，即：， ∴， ∴， ∴當x=3時，AM最短為， 又∵當時， ∴點E為BC的中點， ∴AE⊥BC， ∴，此時，EF⊥AC， ∴，。 點撥：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題。關(guān)鍵是利用“一線三等角”判斷出兩三角形相似。此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵。 【方法歸納】 1. 平面直角坐標系中，常作點到坐標軸的垂線，構(gòu)造“一線三直角”。把點的坐標和線段的長度建立聯(lián)系，解決問題。 2. 矩形中的翻折問題發(fā)現(xiàn)“一線三等角”，常用方程的思想解決。 3. 動態(tài)幾何中圖形的存在性問題應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，不重不漏。 例題 在平面直角坐標系中，一張矩形紙片按圖所示放置。已知，，將這張紙片折疊，使點落在邊上，記作點，折痕與邊（含端點）交于點，與邊（含端點）或其延長線交于點。 請回答： （1）如圖，若點的坐標為，直接寫出點的坐標； （2）將矩形沿直線折疊，求點的坐標； 解析：（1）利用折疊的性質(zhì)，可得AE=OE=4，根據(jù)勾股定理就可以求出線段DA的長；（2）如圖，根據(jù)，則E點的坐標為（0，n），F(xiàn)點的坐標為（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出△DEA∽△GAF所以，由FG=CB=6解得DA=3，從而求得A點的坐標。 答案：（1）點A的坐標為 （2）如圖，過點F作FG⊥DC于G ∵EF的解析式為， ∴E點的坐標為（0，n）， ∴OE=n ∴F點的坐標為（2n，0）， ∴OF=2n ∵△AEF與△OEF全等， ∴OE=AE=n，AF=OF=2n ∵點A在DC上，且∠EAF=90 ∴∠1+∠3=90 又∵∠3+∠2=90 ∴∠1=∠2 在△DEA與△GAF中， ∴△DEA∽△GAF ∴ ∵FG=CB=6 ∴ ∴DA=3 ∴A點的坐標為（3，6）。 點撥：這是一道有關(guān)折疊的問題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識，在矩形折疊問題中要善于發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的模型，并利用該知識點解決問題。 （答題時間：30分鐘） 一、選擇題 1. （濟南）已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰的兩條平行直線間的距離均為h，矩形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，AB=4，BC=6，則tanα的值等于（　　） A. B. C. D. *2.（溫州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形紙片ABCO的頂點C的坐標為（0，8），沿著直線折疊紙片，使點C落在OA邊上的點F處，折痕為DE，則b等于　　。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 *3. （蘇州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經(jīng)過點A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與邊CD相交于點Q。則CQ的最大值為（　?。? A.4 B. C. D. **4. （道里區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB=5，BC=11，，點D在BC上，∠ADE=90，∠DAE=∠ACB，ED=EC，AE的長為（ ） A. 　 B.6 　 C. 　 D.8 二、填空題 *5. （潤州區(qū)二模）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，且OA⊥OB，∠A=30，則k的值是　 　。 *6. （海南）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為 。 **7. 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45。直角三角板含45角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與CD交于點F。若△ABE為等腰三角形，則CF的長等于　 　。 **8.（本溪一模）如圖所示，正方形ABCD中，點P是邊AB上一點，將一個直角三角板的直角頂點與點P重合，并保證其一條直角邊始終經(jīng)過點C，另一條直角邊與AD交于點Q，若，則　?。蝗?，則　　。 三、解答題 **9.（鹽城）情境觀察： 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示。將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示。 觀察圖2可知：與BC相等的線段是　 　，∠CAC′=　 　 問題探究： 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q。試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 拓展延伸： 如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H。若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 **10.（相城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點。把線段AM進行以A為旋轉(zhuǎn)中心、向順時針方向旋轉(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換得到AB。過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交x軸于一點E。設(shè)A點的橫坐標為t， （1）若t=3，則點B的坐標為　 　，若t=﹣3，則點B的坐標為　 　； （2）若t＞0，△BCD的面積為S，則t為何值時，△BCD的面積為6？ （3）是否存在t，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由。 **11. （咸寧）閱讀理解： 如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點。解決問題： （1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55，試判斷點E是不是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E； 拓展探究： （3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處。若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系。 **12. （揚州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處。 （1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA。 ①求證：△OCP∽△PDA； ②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長； （2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數(shù)； （3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP。動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E。試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度。  1. C 解析：如圖，過點C作CE⊥l4于點E，延長EC交l1于點F 在矩形ABCD中，∠BCD=90， ∵∠α+∠BCE=90，∠BCE+∠DCF=180﹣90=90， ∴， 又∵∠BEC=∠CFD=90， ∴△BEC∽△CFD， ∴，即， ∴。 在Rt△BCE中， ∵∠BEC=90， ∴。 2. B 解析：作EH⊥OA于H， 如圖，把x=0代入，D點坐標為（0，b）， ∵C點坐標為（0，8），而四邊形ABCO為矩形， ∴E點的縱坐標為8， 把y=8代入得，解得， ∴E點坐標為， ∴OD=b，，，EH=8， ∵矩形紙片ABCO沿著直線折疊，使點C落在OA邊上的點F處，折痕為DE， ∴，，∠DFE=∠DCE=90， ∴∠DFO+∠EFH=90，而∠DFO+∠ODF=90， ∴∠ODF=∠EFH， ∴， ∴，即， ∴OF=4，F(xiàn)H=2b， ∵， ∴， ∴b=3. 3. B 解析：設(shè)BP=x，CQ=y， ∵,, ∴ 又∵，則； ∴，即 整理得： ∴CQ的最大值為：。 4. A 解析：作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足分別為M，N。 又∵AB=5，BC=11，， ∴AM=4，BM=3， ∴CM=11﹣3=8， ∵∠DAE=∠ACB， ∴， 又∵∠ADE=90， ∴△AMD∽△DNE，， 又∵ED=EC，EN⊥BC， ∴MD=DC=4， 由勾股定理得：， ∴， 5. 解析：過點B作BC⊥x軸于點C，AD⊥x軸于點D， ∵OA⊥OB， ∴∠1+∠2=90， ∵∠1+∠OAD=90， ∴∠2=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90， ∴△OBC∽△AOD， ∴， ∵∠A=30，∠BOA=90， ∴， 設(shè)， ∴， ∴， ∵ ， ∴。 6. 解析：分別過點A、B、D作， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC， ∵∠EBC+∠BCE=90，∠BCE+∠ACF=90，∠ACF+∠CAF=90， ∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF， 在△BCE與△ACF中， ， ∴△BCE≌△ACF（ASA） ∴CF=BE，CE=AF， ∵與的距離為1，與的距離為3， ∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4， 在Rt△ACF中， ∵AF=4，CF=3， ∴， ∵， ∴△CDG∽△CAF， ∴，，解得， 在Rt△BCD中，∵，BC=5， ∴。 7. 解析：作AM⊥BC，DN⊥BC，根據(jù)已知條件可得，= 在直角三角形ABM中，∠B=45，則AB=， ①當 時，如圖2， ， ∴， 則在中，，故。 易得△FE′C為等腰直角三角形，故。 ②當時，如圖3 ∵AB=3，∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵ 為等腰三角形， ∴； ③當時，如圖4 和是等腰Rt△， ∴， ∴ ∴。 8. 解析：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90，BC=AB。設(shè)AP=k。 （1）∵， ∴BC=AB=2k，BP=k。 在△AQP與△BPC中， ， ∴△AQP∽△BPC， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴。 在△AQP與△BPC中， ， ∴△AQP∽△BPC， ∴， ∴， ∴。 9. 解：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)，即BC=AD，， ∴；故答案為：AD，90。 ②FQ=EP，理由如下： ∵∠FAQ+∠CAG=90，∠FAQ+∠AFQ=90， ∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ， 又∵AF=AC，∴△AFQ≌△CAG， ∴FQ=AG，同理EP=AG， ∴FQ=EP。 ③HE=HF。 理由：過點E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q。 ∵四邊形ABME是矩形， ∴∠BAE=90， ∴∠BAG+∠EAP=90， 又AG⊥BC， ∴∠BAG+∠ABG=90， ∴∠ABG=∠EAP。 ∵∠AGB=∠EPA=90， ∴△ABG∽△EAP， ∴AG：EP=AB：EA。 同理△ACG∽△FAQ， ∴AG：FQ=AC：FA。 ∵AB=k?AE，AC=k?AF， ∴AB：EA=AC：FA=k， ∴AG：EP=AG：FQ。 ∴EP=FQ。 又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH， ∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）。 ∴HE=HF。 10.（1）∵C的坐標為（0，4），t=3或﹣3， ∴由勾股定理得：AC=5， ∵△AOC∽△BEA且相似比為，AO=3，OC=4 ∴AE=2，BE=1.5 ∴點B的坐標為或； （2）①當0＜t＜8時，如圖（1）△AOC∽△BEA且相似比為， 求得點B的坐標為， ∴，解得t=2或4， ②當t＞8時，如圖（2） ，解得t=10或t=﹣4（舍去） ∴t=2，t=4，t=10 （3）①當0＜t＜8時，如圖（1） 若△AOC∽△CDB ∴即： ∴t無解 若△AOC∽△BDC，同理，解得或（不合題意舍去）， ②當t＞8時，如圖（2） 若△AOC∽△CDB， ∴即：， 解得，取t=4+8， 若△AOC∽△BDC，同理，t無解， ③當﹣2＜t＜0時，如圖（3）， 若△AOC∽△CDB， ∴即： 解得（不合題意舍去）或， 若△AOC∽△BDC，同理，t無解 ④當t＜﹣2時，如圖（4） 若△AOC∽△CDB， ∴即：，則t無解， 若△AOC∽△BDC，同理，解得（不合題意舍去）或（不合題意舍去）； 則，，。 11. 解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點。 理由：∵∠A=55， ∴∠ADE+∠DEA=125。 ∵∠DEC=55， ∴∠BEC+∠DEA=125。 ∴∠ADE=∠BEC。 ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC。 ∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點。 （2）作圖如下： （3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。 由折疊可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴， ∴。 在Rt△BCE中，， ∴， ∴ 12. 解：（1）如圖1， ①∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90。 由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B。 ∴∠APO=90。 ∴∠APD=90﹣∠CPO=∠POC。 ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC。 ∴△OCP∽△PDA。 ②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4， ∴。 ∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP。 ∵AD=8，∴CP=4，BC=8。 設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8﹣x。在Rt△PCO中， ∵∠C=90，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， ∴。解得：x=5。 ∴AB=AP=2OP=10。 ∴邊AB的長為10。 （2）如圖1， ∵P是CD邊的中點， ∴。 ∵DC=AB，AB=AP， ∴。 ∵∠D=90， ∴。 ∴∠DAP=30。 ∵∠DAB=90，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30， ∴∠OAB=30。 ∴∠OAB的度數(shù)為30。 （3）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2。 ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP。 ∴∠APB=∠MQP。 ∴MP=MQ。 ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴。 ∵BN=PM，MP=MQ， ∴BN=QM。 ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF。 在△MFQ和△NFB中， ∴△MFQ≌△NFB。 ∴QF=BF。 ∴。 ∴。 由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90。 ∴。 ∴。 ∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為。