2018-2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十四章 圓 小專題13 證明切線的兩種常用方法習(xí)題 （新版）新人教版.doc

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小專題13　證明切線的兩種常用方法 類型1　直線與圓有交點 　 直線過圓上某一點，證明直線是圓的切線時，只需“連半徑，證垂直，得切線”．“證垂直”時通常利用圓中的關(guān)系得到90的角，如直徑所對的圓周角等于90等． 【例1】　(山西中考改編)如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點(不與A，B重合)，過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q.在線段PQ上取一點D，使DQ＝DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由． 解：CD是⊙O的切線． 理由：連接OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. 又∵DC＝DQ，∴∠Q＝∠DCQ. ∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90. ∴∠B＋∠Q＝90. ∴∠OCB＋∠DCQ＝90. ∴∠DCO＝∠180－(∠OCB＋∠DCQ)＝90. ∴OC⊥DC. ∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線． 1．(山西中考改編)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D，E是⊙O上一點，且∠AED＝45.試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由． 解：CD與⊙O相切． 理由：連接OD， 則∠AOD＝2∠AED＝245＝90， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DC. ∴∠CDO＝∠AOD＝90. ∴OD⊥CD. ∵OD是⊙O的半徑， ∴CD與⊙O相切． 2．(常德中考)如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD＝BC，延長AD到點E，且有∠EBD＝∠CAB.求證：BE是⊙O的切線． 證明：連接OB，∵BD＝BC， ∴∠CAB＝∠BAD. ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD. ∵OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO. ∴∠EBD＝∠ABO. ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ABD＝90. ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90. ∵點B在⊙O上，且OB為⊙O的半徑， ∴BE是⊙O的切線． 3．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于E，D為AC延長線上一點，且∠DBC＝∠CAB，求證：BD是⊙O的切線． 證明：連接AE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90. 又∵AB＝AC， ∴AE平分∠CAB. ∴∠BAE＝∠BAC， ∵∠DBC＝∠CAB， ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠BAE＋∠ABE＝90， ∴∠DBC＋∠ABE＝90，即∠ABD＝90. ∴BD⊥OB.又OB為⊙O的半徑， ∴BD是⊙O的切線． 4．(永州中考改編)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D，E是BD中點，連接CE.求證：CE是⊙O的切線． 證明：連接CO，OE， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90.∴∠BCD＝90. ∵E是BD中點， ∴CE＝BE＝BD. 又∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△COE≌△BOE.∴∠OCE＝∠OBE. ∵BD為⊙O的切線，∴∠OBE＝90. ∴∠OCE＝90.∴CE是⊙O的切線． 5．(麗水中考)如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD＝AB，AD，BC的延長線相交于點E. (1)求證：AD是半圓O的切線； (2)連接CD，求證：∠A＝2∠CDE. 證明：(1)連接OD，BD， ∵AB是⊙O的切線， ∴AB⊥BC，即∠ABO＝90. ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB. ∵OB＝OD， ∴∠DBO＝∠BDO. ∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO. ∴∠ADO＝∠ABO＝90. 又OD為⊙O的半徑，∴AD是半圓O的切線． (2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90， ∴∠A＝360－∠ADO－∠ABO－∠BOD ＝180－∠BOD＝∠DOC. ∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE＝90. ∴∠ODC＋∠CDE＝90. ∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC＋∠BDO＝90. ∴∠BDO＝∠CDE. ∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO. ∴∠DOC＝2∠CDE. ∴∠A＝2∠CDE. 類型2　不確定直線與圓是否有交點 　 直線與圓沒有已知的公共點時，通常“作垂直，證半徑，得切線”．證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 【例2】　(貴港中考改編)如圖，在△ABC中，AB＝AC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D. (1)求證：AB是半圓O所在圓的切線； (2)若∠ABC＝60，AB＝12，求半圓O所在圓的半徑． 解：(1)證明：連接OD，OA，作OE⊥AB于點E， ∵AB＝AC，O為BC的中點， ∴∠CAO＝∠BAO. ∵OD⊥AC于點D，OE⊥AB于點E， ∴OD＝OE. ∵AB經(jīng)過圓O半徑的外端， ∴AB是半圓O所在圓的切線． (2)∵AB＝AC，∠ABC＝60， ∴△ABC是等邊三角形． ∴BC＝AB＝12. ∵點O為BC的中點，∴BO＝6. 由(1)可知∠BOE＝30. 在Rt△OBE中，BE＝BO＝3， OE＝＝3. ∴半圓O所在圓的半徑為3. 6．如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M，與AB，AD分別相交于點E，F(xiàn).求證：CD與⊙O相切． 證明：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N， ∵⊙O與BC相切于點M， ∴OM⊥BC. ∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD， 又∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴OM＝ON.又ON為⊙O的半徑， ∴CD與⊙O相切． 7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3. (1)求證：AC是⊙D的切線； (2)求線段AC的長． 解：(1)證明：過點D作DF⊥AC于點F. ∵∠ABC＝90，∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF. ∴點F在⊙D上． ∴AC是⊙D的切線． (2)在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)． ∴EB＝CF. 在Rt△ABD和Rt△AFD中， ∵BD＝FD，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)． ∴AB＝AF. ∴AB＋EB＝AF＋CF，即AB＋EB＝AC. ∴AC＝5＋3＝8.