九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十四章 圓 小專題14 教材P124復(fù)習(xí)題T13的變式與應(yīng)用習(xí)題 新人教版.doc

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小專題14　教材P124復(fù)習(xí)題T13的變式與應(yīng)用 【教材母題】　如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D.求證：DE＝DB. 證明：連接BE，由點E是△ABC的內(nèi)心可知∠BAD＝∠CAD. ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD. 又∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD. ∴∠BED＝∠EBD. ∴DE＝DB. 【問題延伸1】　寫出∠BED與∠C的關(guān)系：∠BED＝90－∠C． 【問題延伸2】　設(shè)AD交BC于點F，AD為△ABC外接圓的直徑，G為AB上一點，且∠ADG＝∠C.若BG＝3，AG＝5，求DE的長． 解：易證AD垂直平分BC， ∵∠ADG＝∠C＝∠ADB， ∴DG平分∠ADB. 由(1)知BD＝DE，∴DG垂直平分BE.連接GE，∴BG＝GE，∠DEG＝∠DBG＝90. ∵BG＝3，AG＝5，∴GE＝3.∴AE＝4. 設(shè)BD＝DE＝x，則x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6. ∴DE＝6. 1．(臨沂中考)如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E. (1)求證：DE＝DB； (2)若∠BAC＝90，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑． 解：(1)解答同教材母題解答． (2)連接DC，∵∠BAC＝90， ∴BC是直徑．∴∠BDC＝90. ∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4， ∴BD＝CD＝4. ∴BC＝＝4. ∴外接圓的半徑為2. 2．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，點M為△ABC的內(nèi)心． (1)求證：BC＝DM； (2)若DM＝5，AB＝8，求OM的長． 解：(1)證明：連接MC，DB，DC. ∵點M為△ABC的內(nèi)心， ∴MC平分∠ACB. ∴∠ACM＝∠BCM. ∵BC為直徑， ∴∠BAC＝90. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45. ∴∠DBC＝∠BCD＝45. ∴△BDC為等腰直角三角形． ∴BC＝DC. 又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45＋∠ACM， 而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45＋∠BCM， ∴∠DMC＝∠DCM. ∴DC＝DM. ∴BC＝DM. (2)作MF⊥BC于點F，ME⊥AC于點E，MH⊥AB于點H，連接OM. ∵DM＝5， ∴BC＝DM＝10. 而AB＝8， ∴AC＝＝6. 設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r， ∵點M為△ABC的內(nèi)心， ∴MH＝ME＝MF＝r. ∴四邊形AHME為正方形． ∴AH＝AE＝r，則CE＝CF＝6－r， BH＝BF＝8－r. 而BF＋FC＝BC， ∴8－r＋6－r＝10，計算得出r＝2. ∴MF＝2，CF＝6－2＝4， ∵OC＝5， ∴OF＝5－4＝1. 在Rt△OMF中，OM＝＝. 小專題15　與圓的切線有關(guān)的計算與證明 1．(懷化中考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90. (1)先作∠ACB的平分線交AB邊于點P，再以點P為圓心，PA長為半徑作⊙P；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法) (2)請你判斷(1)中BC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：(1)如圖所示，⊙P為所求的圓． (2)BC與⊙P相切， 理由：過P作PD⊥BC，垂足為D， ∵CP為∠ACB的平分線，且PA⊥AC，PD⊥CB， ∴PD＝PA. ∵PA為⊙P的半徑， ∴BC與⊙P相切． 2．(永州中考)如圖，已知AB是⊙O的直徑，過O點作OP⊥AB，交弦AC于點D，交⊙O于點E，且使∠PCA＝∠ABC. (1)求證：PC是⊙O的切線； (2)若∠P＝60，PC＝2，求PE的長． 解：(1)證明：連接OC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90， ∴∠BCO＋∠ACO＝90. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠BCO. ∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠BCO＝∠ACP. ∴∠ACP＋∠OCA＝90. ∴∠OCP＝90，即OC⊥PC. ∵OC為⊙O的半徑， ∴PC是⊙O的切線． (2)∵∠P＝60，PC＝2，∠PCO＝90， ∴OC＝2，OP＝2PC＝4. ∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2. 3．(黃石中考)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心，連接AE并延長交⊙O于點D，連接BD并延長至點F，使得BD＝DF，連接CF，BE.求證： (1)DB＝DE； (2)直線CF為⊙O的切線． 證明：(1)∵E為△ABC的內(nèi)心， ∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA. 又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. (2)連接OD. ∵BD＝DF，O是BC的中點， ∴OD∥CF. 又∵BC為⊙O的直徑，OB＝OD， ∴∠ODB＝∠DBO＝∠DAC＝45. ∴∠BCF＝∠BOD＝90. ∴OC⊥CF. 又OC為⊙O的半徑，∴直線CF為⊙O的切線． 4．(北京中考)如圖，AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接OF并延長交于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E. (1)求證：AC∥DE； (2)連接CD，若OA＝AE＝a，寫出求四邊形ACDE面積的思路． 解：(1)證明：∵ED與⊙O相切于點D， ∴OD⊥DE. ∵F為弦AC的中點， ∴OD⊥AC.∴AC∥DE. (2)①連接AD，易知AD＝AO， 又∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，且邊長為a. ∴可以進(jìn)一步求出△AOD的面積為a2； ②根據(jù)點A是EO中點，可知△EOD的面積是△AOD面積的2倍，∴可得△EOD的面積為a2； ③等量代換可得四邊形ACDE的面積為a2. 5．如圖所示，MN是⊙O的切線，B為切點，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45，過C的直線與⊙O，MN分別交于A，D兩點，過C作CE⊥BD于點E. (1)求證：CE是⊙O的切線； (2)若∠D＝30，BD＝2＋2，求⊙O的半徑r. 解：(1)證明：連接OB，OC. ∵M(jìn)N是⊙O的切線， ∴OB⊥MN. ∵∠CBN＝45， ∴∠OBC＝45，∠BCE＝45. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45. ∴∠OCE＝90. 又∵點C在⊙O上， ∴CE是⊙O的切線． (2)∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE， ∴四邊形BOCE是矩形． 又∵OB＝OC，∴四邊形BOCE是正方形． ∴BE＝CE＝OB＝OC＝r. 在Rt△CDE中，∵∠D＝30，CE＝r，∴DE＝r. ∵BD＝2＋2，∴r＋r＝2＋2.解得r＝2. 即⊙O的半徑為2. 6．已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D. (1)如圖1，當(dāng)直線l與⊙O相切于點C時，若∠DAC＝30，求∠BAC的大??； (2)如圖2，當(dāng)直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，若∠DAE＝18，求∠BAF的大?。? 　　　 解：(1)連接OC. ∵直線l與⊙O相切于點C， ∴OC⊥l. 又∵AD⊥l， ∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠DAC＝30. ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO. ∴∠BAC＝∠DAC＝30. (2)連接BF. ∵∠AEF為Rt△ADE的一個外角，∠DAE＝18，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90＋18＝108. ∵四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠AEF＋∠B＝180. ∴∠B＝180－108＝72. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90. ∴∠BAF＝90－∠B＝18. 7．(教材P102習(xí)題T12變式)如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E，DE＝2，CD＝4. (1)求證：AC平分∠BAD； (2)求⊙O的半徑R； (3)延長AB，DC交于點F，OH⊥AC于點H.若∠F＝2∠ABH，則BH的長為2(直接寫出)． 解：(1)證明：連接OC， ∵FD切⊙O于點C. ∴OC⊥FD. ∵AD⊥FD.∴OC∥AD. ∴∠ACO＝∠DAC. ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠CAO. ∴∠DAC＝∠CAO， 即AC平分∠DAB. (2)作OG⊥AE于點G，則AG＝EG. ∴OG＝CD＝4，OC＝DG＝R. ∴EG＝R－2＝AG. 在Rt△AGO中，(R－2)2＋42＝R2， ∴R＝5. (3)提示：連接BE，∵∠AEB＝90. ∴BE∥DF. ∴∠F＝∠ABE＝2∠ABH. ∴BH平分∠ABE. 又∵AC平分∠BAD. ∴∠AHB＝135. ∴△CHB是等腰三角形． ∴BC＝CH＝AH. 設(shè)BC＝x，AC＝2x， 在Rt△ABC中，x2＋(2x)2＝102， ∴x＝2， ∴BH＝CH＝2.