八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 巧用勾股定理解決幾何問題試題 （新版）青島版.doc

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巧用勾股定理解決幾何問題 一、勾股定理在解決幾何問題中的應(yīng)用技巧 1. 構(gòu)造直角三角形 根據(jù)題意，合理構(gòu)造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面積問題，經(jīng)常作高構(gòu)造直角三角形。 如：在ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面積。 答案：12。 2. 利用勾股定理列方程 將三角形的邊用同一未知數(shù)表示，列出方程，解出所求值。 （1）在翻折問題中，大多數(shù)求值都是這種應(yīng)用 如：如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，AD=6，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為多少？ 答案：3。 （2）求折斷物體長度時(shí)，使用方程 如：一根竹子高10尺，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面高度是多少？ 答案：尺。 3. 分類討論思想 已知一個(gè)直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論。 如：已知一個(gè)直角三角形的兩邊長是和，求第三邊的長。 答案：5cm或cm。 4. 數(shù)形結(jié)合思想 幾何與代數(shù)問題的綜合。 如：在一棵樹的5米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹10米的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？ 答案：7.5米。 二、特殊幾何圖形中的勾股定理計(jì)算規(guī)律 1. 含有30角的直角三角形 （1）30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半； （2）60角所對(duì)的直角邊是30角所對(duì)直角邊的倍。 2. 等邊三角形 高等于邊長的倍。 總結(jié)： （1）勾股定理的幾何應(yīng)用是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，要在直角三角形中靈活運(yùn)用。 （2）要有意識(shí)的訓(xùn)練自己輔助線的添加，經(jīng)常性的思考不同問題的不同添加法?！? 例題 A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，垂足為A3，A3A4⊥A2B，垂足為A4，A4A5⊥A3B，垂足為A5，…，An+1An+2⊥AnB，垂足為An+2，則線段An+1An+2（n為自然數(shù)）的長為（　?。? A. B. C. D. 解析：先根據(jù)勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)求出A2A3及A3A4的長，找出規(guī)律即可解答． 答案：∵△A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，∴A1B==， ∵△A1A2B是等腰直角三角形， ∴A2A3=A1A3=A1B==， 同理，△A2A3B是等腰直角三角形，A2A3=A3B=，A3A4⊥A2B，A2B=a，A3A4=A2A4=A1B=， ∴線段An+1An+2（n為自然數(shù)）的長為． 故選A。 點(diǎn)撥：規(guī)律性題目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是求出A2A3及A3A4的長，并找出規(guī)律． 分類討論求值 近年來，在各地中考試題中涉及“分類討論”的問題十分常見，因?yàn)檫@類試題不僅考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與方法，而且考查了同學(xué)們思維的深刻性。在解決此類問題時(shí)，因考慮不周全導(dǎo)致失分的較多，究其原因主要是平時(shí)的學(xué)習(xí)中，尤其是在中考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)“分類討論”的數(shù)學(xué)思想滲透不夠。所以同學(xué)們要充分考慮不同情況下的求值。 例題 在△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上的高AD=12，則邊BC的長是（　?。? A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 解析：分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據(jù)勾股定理求得BD、CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC=BD+CD，在鈍角三角形中，BC=CD-BD． 答案：解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，則BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，則CD=9，故BC的長為BD+DC=9+5=14； （2）鈍角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，則BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，則CD=9，故BC的長為DC-BD=9-5=4．綜上可得BC的長為14或4．故選C． （1） （2） 生活中的勾股定理方案設(shè)計(jì) 在實(shí)際生活中應(yīng)用勾股定理。 例題 某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花園進(jìn)行改造，測得兩直角邊長分別為a=6米，b=8米．現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以b為直角邊的直角三角形，則擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長為（　　）米 A. 32或20+4 B. 32或36或 C. 32或或20+4 D. 32或36或或20+4 解析：由于擴(kuò)充所得的等腰三角形腰和底不確定，若設(shè)擴(kuò)充所得的三角形是△ABD，則應(yīng)分為①AB=AD，②AD=BD兩種情況進(jìn)行討論． 答案：解：如圖所示： 在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m， 如圖1，當(dāng)AB=AD時(shí)，DC=BC=6m，此時(shí)等腰三角形花圃的周長=10+10+6+6=32（m）； 如圖2：當(dāng)AD=BD時(shí)，設(shè)AD=BD=x（m）；Rt△ACD中，BD=x（m），CD=（x-6）m； 由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-6）2+82=x2，解得x=； 此時(shí)等腰三角形綠地的周長=2+10=（m）． 當(dāng)AB=BD時(shí)，在Rt△ACD中，AD===4， ∴等腰三角形綠地的周長=210+4=20+4（m）． 故選C． （答題時(shí)間：45分鐘） 一、選擇題 1. 觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根據(jù)以上規(guī)律的第⑦組勾股數(shù)是（　　） A. 14、48、49 B. 16、12、20 C. 16、63、65 D. 16、30、34 2. 如圖，一個(gè)長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端的滑動(dòng)距離（　?。? A. 等于1米 B. 大于1米 C. 小于1米 D. 不能確定 *3. 已知△ABC是斜邊長為1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是（　?。? A. cm B. cm C. 2ncm D. cm *4. 如圖所示，一只小螞蟻從棱長為1的正方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)面的中心點(diǎn)后，又回到A點(diǎn)，螞蟻爬行最短程S滿足（　?。? A. 5＜S≤6 B. 6＜S≤7 C. 7＜S≤8 D. 8＜S≤9 **5. 如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90，點(diǎn)D、E在BC上，且∠DAE=45，現(xiàn)將△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABE′處，連接DE′和EE′，則下列結(jié)論中①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE③△AEE′是等腰直角三角形④AD⊥EE′⑤BD2+CE2=DE2正確的有（　?。? A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 二、填空題： *6. 如圖，一牧童在A處放羊，牧童的家在B處，A、B距河岸的距離AC、BD分別為500m和700m，且C、D兩地相距500m，天黑前牧童要將羊趕往河邊喝水再回家，那么牧童至少應(yīng)該走 1300m． *7. 如圖，為安全起見，幼兒園打算加長滑梯，將其傾斜角由45降至30．已知滑梯AB的長為3m，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是 m． **8. 勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理．這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，我國古代三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的弦圖，是最早證明勾股定理的方法，所謂弦圖是指在正方形的每一邊上各取一個(gè)點(diǎn)，再連接四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，它可以驗(yàn)證勾股定理．在如圖的弦圖中，已知：正方形EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面積=16，AE=1；則正方形EFGH的面積= **9. 圖（1）是一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2）；經(jīng)過第2次“生長”后變成圖（3），經(jīng)過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”．已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規(guī)律，請(qǐng)你利用這一規(guī)律求：①經(jīng)過第一次“生長”后的所有正方形的面積和為________，②經(jīng)過第10次“生長”后，圖中所有正方形的面積和為： 三、解答題： *10. 我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是多少？ **11. 已知：如圖，點(diǎn)O是等腰直角△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，D為BC邊上任意一點(diǎn)．操作：在圖中作OE⊥OD交AC于E，連接DE．探究OD、BD、CD三條線段之間有何等量關(guān)系？請(qǐng)?zhí)骄空f明． **12. 如圖，平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分線交x軸于一點(diǎn)D． （1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如圖所示，A、B兩點(diǎn)在x軸、y軸上的位置不變，在線段AB上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足∠MON=45，下列結(jié)論①BM+AN=MN，②BM2+AN2=MN2，其中有且只有一個(gè)結(jié)論成立，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論． （1） （2）  1. C 解析：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2（n+1），第二個(gè)是：n（n+2），第三個(gè)數(shù)是：（n+1）2+1，故可得第⑦組勾股數(shù)是16，63，65．故選C． 2. B 解析：如圖，AC=EF=10米，AB=8米，AE=1米，求CF；∵∠B=90，由勾股定理得，BC=6米，又∵AE=1米，BE=7米，EF=10米，由勾股定理得，BF=米，∵＞，即＞7，∴-6＞1．故選B． 3. B 解析：等腰直角三角形的斜邊長為直角邊長度的倍，第二個(gè)△（也就是△ACD）的斜邊長：1=；第三個(gè)△，直角邊是第一個(gè)△的斜邊長，所以它的斜邊長：=（）2；…；第n個(gè)△，直角邊是第（n-1）個(gè)△的斜邊長，其斜邊長為：（）n?1．故選B． 4. B解析：正方體展開圖形為：則螞蟻爬行最短程S=5+=5+．即6＜S≤7．故選B． 5. D 解析：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90，∴∠ABC=∠C=45，∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，∵∠DAE=45，∴∠ADE=∠BAE；∴②正確。（2）∵△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABE′處，∴AE=AE′，∠EAC=∠E′AB，∵∠BAC=90，∴∠E′AB +∠BAE=90，∴∠EAB′+∠BAE=90，∴△AEE′是等腰直角三角形；∴③正確。（3）∵∠DAE=45，∠BAC=90，∴∠EAC+∠BAD=45，∵∠EAC=∠E′AB，∴∠DAE′=∠EAD=45，∵△AEE′是等腰直角三角形，∴AD⊥EE′，∴④正確。（4）∵∠C=∠E′BA=∠DBA=45，∴∠E′BD=90，∵EC=E′B，∴BD2+CE2=DE2，∴⑤正確，綜上所述∴②③④⑤項(xiàng)正確．故選D． 6. 1300 解析： 解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE，并作BF⊥AC于點(diǎn)F． 則EF=BD+AC=700+500=1200m，BF=CD=500m．在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理得：BE===1300米． 7. 解析：設(shè)AC=xm，∵∠ABC=∠BAC=45，∴BC=xm，∵滑梯AB的長為3m，∴2x2=9，解得x=，∵∠D=30，∴AD=2AC， ∴AD=m，故答案為：。 8. 10 解析： ∵四邊形EFGH是正方形，∴EH=FE，∠FEH=90，∵∠AEF+∠AFE=90，∠AEF+∠DEH=90，∴∠AFE=∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AF=DE，∵正方形ABCD的面積為16，∴AB=BC=CD=DA=4，∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，在Rt△AEF中，EF==，故正方形EFGH的面積==10．故答案為：10． 9. 2；11 解析：如圖2：設(shè)直角三角形的三條邊分別是a、b、c．根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2， 即：正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1；所有正方形的面積之和為2=（1+1）1；圖（3）正方形E的面積+正方形F的面積=正方形A的面積，正方形M的面積+正方形N的面積=正方形B的面積，正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1，所有正方形的面積之和為3=（2+1）1…推而廣之，“生長”了n次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（n+1）1，則：“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（10+1）1=11． 故答案為：2；11。 10. 解：∵圖中正方形ABCD、正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）=CG+DG+2CG?DG=GF+2CG?DG，S2=GF， S3=（NG-NF）=NG+NF-2NG?NF=GF2-2NGNF， ∵S1+S2+S3=10=GF+2CG?DG+GF+ GF-2NG?NF=3GF，∴S2的值是： 11. 解：如圖，關(guān)系為2OD2=BD2+CD2．作OE⊥OD交AC于E，連接OC、DE，得到△OBD≌△OCE從而Rt△DCE與Rt△EOD中，CE2+DC2=DE2，OD2+OE2=DE2由BD=CE，OD=OE，所以2OD2=BD2+CD2，（也可過O作BC垂線）． 12. 解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)題意得：OB=1，OA=1，OD=m；在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，所以AB=，∠A=45；在△DOB和△DEB中，∴△DOB≌△EDB（AAS），∴OD=ED=m，OB=EB=1；在△AED中，∠A=45，∠AED=90，∴DE=AE=m，∴1+m=，∴m=-1，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）． （2）結(jié)論②正確；過點(diǎn)O作OE⊥OM，并使OE=OM，連接NE，AE在△MOB和△EOA中，∴△MOB≌△EOA（SAS），∴BM=AE，∠B=∠OAE，在△MON和△EON中，∴△MON≌△EON（SAS）；∴MN=EN，又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90，∴△NAE為直角三角形，∴NA2+AE2=NE2∴BM2+AN2=MN2，即結(jié)論②正確．