高中數學 第二章 幾個重要的不等式 2.3.1 數學歸納法 2.3.2 數學歸納法的應用課件 北師大版選修4-5.ppt

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3數學歸納法與貝努利不等式3．1數學歸納法3．2數學歸納法的應用,1．理解數學歸納法原理．2．能運用數學歸納法證明與正整數有關的數學命題，掌握數學歸納法的步驟．3．會用數學歸納法證明貝努利不等式．4．了解貝努利不等式的應用條件.,[學習目標],1.應用數學歸納法證明不等式．(重點)2．貝努利不等式的應用．(難點),[學法指要],,預習學案,1．已知某個命題與正整數有關，如果當n＝k(k∈N＋)時該命題成立，那么可以推得n＝k＋1時該命題也成立．現已知n＝5時該命題不成立，則n＝4時該命題__________．,不成立,1．數學歸納法的步驟(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值______時命題成立；(2)(歸納遞推)假設__________(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝_________時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．2．對任何實數x≥－1和任何正整數n，有____________，稱為貝努利不等式．,n0,n＝k,k＋1,(1＋x)n≥1＋nx,解析：左端＝1＋a＋a2＋…＋an＋1共n＋2項，當n＝1時an＋1＝a2∴左端＝1＋a＋a2.答案：C,答案：B,3．設凸k邊形內角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：由凸多邊形性質知多加了一條邊內角和比原來多了π.答案：π,,課堂講義,[思路點撥]要證明的等式左邊有2n項，右邊有n項，f(k)與f(k＋1)相比，左邊增加二項，右邊增加一項，而且左、右兩邊的首項不同，因此，由n＝k到n＝k＋1時要注意項的合并．,用數學歸納法證等式,[思路點撥]用數學歸納法證明與自然數有關的一些等式命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關．從n＝k到n＝k＋1，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項．,[思路點撥]用數學歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設的基礎上，通過放大或縮小等技巧，變換出要證明的目標不等式．,數學歸納法證明不等式,數學歸納法解決探索型不等式問題,[思路點撥]利用數學歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察—歸納—猜想—證明．即先通過觀察部分項的特點．進行歸納，判斷并猜想出一般結論，然后用數學歸納法進行證明．,(1)數學歸納法的概念：先證明當n取第一值n0(例如可取n0＝1)時命題成立，然后假設當n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．這種證明方法叫做數學歸納法．(2)數學歸納法適用范圍：數學歸納法的適用范圍僅限于與正整數有關的數學命題的證明．,數學歸納法,在用數學歸納法證明不等式問題中，從“n＝k”到“n＝k＋1”的過渡中，利用歸納假設是比較困難的一步，它不像用數學歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結構來，而證明不等式的第二步中，從“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼湊的方法，有時行不通，因為對不等式來說，它還涉及“放縮”的問題，它可能需通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設，因此，我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來分析從“n＝k”到“n＝k＋1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準確地拼湊出所需要的結構．,用數學歸納法證明不等式,如果x是實數，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有(1＋x)n>1＋nx.證明：(1)當n＝2時，由x≠0得(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，不等式成立．(2)假設當n＝k(k≥2)時不等式成立．即有(1＋x)k>1＋kx.當n＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋x＋kx＋kx2>1＋(k＋1)x.所以當n＝k＋1時不等式成立．,貝努利不等式,由(1)(2)可知，貝努利不等式成立．把貝努利不等式中的正整數n改為實數a時，仍有類似不等式成立，它們是貝努利不等式的更一般的形式：當a是實數，并且滿足a>1或者a－1)；當a是實數，并且滿足0－1)．,這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索性問題，結論如何？命題的成立不成立都預先需要歸納與探索，而歸納與探索多數情況下是從特例、特殊情況入手，得到一個結論，但這個結論不一定正確，因為這是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，所以，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索一般規(guī)律，其關鍵在于正確的歸納猜想，如果歸納不出正確的結論，那么數學歸納法的證明也就無法進行了.,觀察、歸納、猜想、證明的方法,