2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)42 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(含解析).doc
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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)42 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(含解析) 一、選擇題 1. (xx湖北高考文科T8)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線 -=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解題提示】求出過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線為y=-x,結(jié)合雙曲線的漸近線方程,可得結(jié)論. 【解析】選A.由于a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個(gè)不等實(shí)根, 所以a+b=-,ab=0, 過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線為y-a2= (x-a), 即y=(b+a)x-ab,即y=-x, 因?yàn)殡p曲線 -=1的一條漸近線方程為 y=-x, 所以過(guò)A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線 -=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0. 2.(xx遼寧高考文科T8)已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,記的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為 【解題提示】由拋物線的定義知的值,也就確定了拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);利用直線的斜率公式求出直線的斜率 【解析】選C. 根據(jù)已知條件得,所以從而拋物線方程為,其焦點(diǎn) 從而直線的斜率為 二、填空題 3.(xx安徽高考文科T15)若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件: 直線在點(diǎn)處與曲線相切;曲線在附近位于直線的兩側(cè),則稱直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線. 下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號(hào)) ①直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線: ②直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線: ③直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線: ④直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線: ⑤直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線: 【解題提示】根據(jù)各選項(xiàng)分別判斷。 【解析】根據(jù)題意滿足條件的有(1)(3)(4),剩余選項(xiàng)(2)(5)都在切線的一邊。 答案:??④ 4.(xx安徽高考理科T14))設(shè)分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),若軸,則橢圓的方程為__________ 【解題提示】構(gòu)造直角三角形,利用線段平行、垂直關(guān)系及點(diǎn)A,B在橢圓上求得參數(shù)b. 【解析】如圖所示,設(shè),作,則 ① ② 又點(diǎn)A,B在橢圓上,所以與①②聯(lián)立解得。 所以橢圓方程為。 5. (xx湖南高考文科T14)平面上以機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線,則的取值范圍是 【解題提示】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解。 【解析】把機(jī)器人看做一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線,其方程為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為,兩個(gè)方程聯(lián)立,消去y得,由題意, 所以。 答案: 三、解答題 6. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)T20)(本小題滿分12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓+=1的左右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為,求C的離心率. (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且=5,求a,b. 【解題提示】(1)利用直線MN的斜率為再結(jié)合a2=b2+c2表示出關(guān)于離心率e的方程,解方程求得離心率. (2)結(jié)合圖形,利用橢圓的性質(zhì)和焦半徑公式求得a,b. 【解析】(1)因?yàn)橛深}知, =,所以=,且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0, 解得e=.所以C的離心率為. (2)由三角形中位線知識(shí)可知,MF2=22,即=4. 設(shè)F1N=m,由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,- c.由焦半徑公式可得: MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+c2.聯(lián)立解得a=7,b=2. 所以,a=7,b=2. 7. (xx湖南高考文科T20)(本小題滿分13分) 如圖5,為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn),且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形. (1) 求的方程; (2) 是否存在直線,使得與交于兩點(diǎn),與只有一個(gè)公共點(diǎn),且?證明你的結(jié)論. 【解題提示】利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線位置關(guān)系,聯(lián)立方程組,求解。 【解析】(1)設(shè)的焦距為,由題意知,從而因?yàn)辄c(diǎn),在雙曲線上,所以,故 由橢圓的定義知 于是, 故的方程分別為 (2)不存在符合題設(shè)條件的直線 (i)若直線垂直于x軸, 因?yàn)榕c只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線的方程為或 當(dāng)時(shí),易知,所以 ,此時(shí), 當(dāng),同理可知 (ii)若直線不垂直于x軸,設(shè)的方程為 由得 當(dāng)與相交于A,B兩點(diǎn)時(shí),設(shè),則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,從而, 于是 由得 因?yàn)橹本€與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式 化簡(jiǎn),得。因此 于是 即,故 綜合(i)(ii)可知,不存在符合題設(shè)條件的直線 8.(xx廣東高考文科T20)(14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論. 【解析】(1)因?yàn)閏=,離心率e=, 所以a=3,b=2, 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)方法一:若有一條切線斜率不存在, 則另一條斜率為0, 此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn), 分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí), 設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0), 代入+=1中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn), 則Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 進(jìn)一步化簡(jiǎn)得(-9)k2-2x0y0k+-4=0. 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1k2=-1, 也就是=-1,則+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 方法二:若有一條切線斜率不存在, 則另一條斜率為0, 此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí), 設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1且+=1. 兩條切線方程分別為+=1和+=1, 因?yàn)閮蓷l切線都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0), 所以+=1且+=1, 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直, 所以k1=,k2=且k1k2=-1, 也就是=-1, 整理得+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 9.(xx廣東高考理科)(14分) 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論. 【解析】(1)因?yàn)閏=,離心率e=, 所以a=3,b=2, 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0, 此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí),設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0), 代入+=1中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn), 則Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 進(jìn)一步化簡(jiǎn)得(-9)k2-2x0y0k+-4=0. 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1k2=-1, 也就是=-1,則+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 方法二:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0, 此時(shí)點(diǎn)P有四個(gè)點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí),設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1且+=1. 兩條切線方程分別為+=1和+=1, 因?yàn)閮蓷l切線都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),所以+=1且+=1, 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1, 也就是=-1,整理得+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 10.(xx福建高考理科T19)(本小題滿分13分)已知雙曲線的兩條漸近線分別為. (1)求雙曲線的離心率; (2)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一, 四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個(gè)公 共點(diǎn)的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說(shuō)明理由。 【解題指南】⑴由漸近線可知,由基本量關(guān)系式求;⑵設(shè)直線,再根據(jù)條件建立k,m的兩個(gè)方程. 【解析】解法一:(1)∵雙曲線的漸近線分別為,……………1分 ∴,有,即,于是雙曲線的離心率;…3分 (2)由(1)知,雙曲線E的方程為.設(shè)直線與軸相交于點(diǎn), 當(dāng)軸時(shí),若直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 則,又因?yàn)榈拿娣e為8, ∴,即,解得, 此時(shí)雙曲線E的方程為.……………………………………………6分 若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為. 以下證明:當(dāng)直線不與軸垂直時(shí),雙曲線也滿足條件,……7分 設(shè)直線的方程,依題意,得或,………………………8分 則,記, 由得,同理, 由得, 即,……………………………………………………10分 由得,∵, ∴,又, ∴,即直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).……………………………12分 因此,存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程只能為…………………………………………………………………13分 方法二:(1)同方法一; (2)由(1)知,雙曲線E的方程為. 設(shè)直線的方程為,,依題意得, 由得,同理, 設(shè)直線與軸相交于點(diǎn),則, 由得,∴, 由得,∵, ∴直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) ,即, ∴,即,有, 因此,存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程只能為. 方法三:(1)同方法一; (2)當(dāng)直線不與軸垂直時(shí),設(shè)直線,, 依題意得或, 由得,由,,得, 又因?yàn)榈拿娣e為8,所以,而, ∴,化簡(jiǎn)得,∴,即, 由(1)得雙曲線E的方程為, 由得, 因?yàn)?,直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) ,即,有, ∴雙曲線E的方程為, 當(dāng)軸時(shí),由的面積為8,可得,又知與雙曲線 有且只有一個(gè)公共點(diǎn), 綜上,存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程只能為. 11. (xx遼寧高考理科T20)(本小題滿分12分) 圓的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖),雙曲線過(guò)點(diǎn)P且離心率為. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)橢圓過(guò)點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn),直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P,求的方程. 【解析】(Ⅰ)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,.則切線斜率為 切線方程為,即,而,所以切線方程為.切線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為,切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成的三角形面積為 由(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值,即有最小值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意得解得 故的方程為 (Ⅱ)由(1)知,橢圓的焦點(diǎn)為,因此設(shè)橢圓的方程為 .由點(diǎn)在橢圓上,得, 解得;因而的方程為 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),的方程為,易知,以線段AB為直徑的圓不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P;不合題意. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,, 則是方程組的解. 整理得 由韋達(dá)定理, ① 所以 ② 由題意知,從而 因?yàn)? 所以 即 所以 將①②代入解得或 因此的方程為或 即或 12. (xx遼寧高考理科T20)(本小題滿分12分)圓的切線與錯(cuò)誤!未找到引用源。軸正半軸,軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為. (Ⅰ)求點(diǎn)的坐標(biāo); (Ⅱ)焦點(diǎn)在錯(cuò)誤!未找到引用源。軸上的橢圓錯(cuò)誤!未找到引用源。過(guò)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。,且與直線交于兩點(diǎn),若的面積為,求錯(cuò)誤!未找到引用源。的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解析】(Ⅰ)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,.則切線斜率為 切線方程為,即,而,所以切線方程為.切線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為,切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成的三角形面積為 由(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值,即有最小值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. (Ⅱ)設(shè)C的方程為,點(diǎn),則是方程組的解.整理得, 由偉達(dá)定理得, 又 所以 而點(diǎn)到直線的距離 所以 則 又由點(diǎn)在C上知. 解得.故所求C的方程為 13. (xx山東高考理科T21) 已知拋物線的焦點(diǎn)為,為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn),且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí),為正三角形. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)若直線,且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn), (ⅰ)證明直線過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo); (ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解題指南】(Ⅰ)由拋物線的定義及已知條件點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí),為正三角形.可求得p的值.(Ⅱ)(?。┫仍O(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)表示出D點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)求出AE的方程,即可判斷AE是否過(guò)定點(diǎn).(ⅱ)可利用設(shè)出的A點(diǎn)坐標(biāo)表示出的面積,然后利用基本不等式求出最值. 【解析】(Ⅰ)由題意知 設(shè), 因?yàn)? 由拋物線的定義知, 解得t=3+p或t=-3(舍去), 由,解得p=2. 所以拋物線的方程為. (Ⅱ)(?。┯桑á瘢┲狥(1,0) 因?yàn)?則, 故直線AB的斜率,因?yàn)橹本€和直線AB平行, 設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程得, 由題意 設(shè). 當(dāng), 可得直線AE的方程為,由, 整理可得,直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0), 直線AE的方程為x=1,過(guò)點(diǎn)F(1,0), 所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0). (ii)由(i)知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0), 所以, 設(shè)直線AE的方程為x=my+1, 因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上,故, 直線AB的方程為, 由于, 可得,代入拋物線方程得 所以, 可求得, 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 則的面積 14. (xx山東高考文科T21) 在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不是橢圓的頂點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn). (i)設(shè)直線的斜率分別為.證明存在常數(shù)使得,并求出的值; (ii)求面積的最大值. 【解題指南】(Ⅰ)求橢圓的方程即求出a,b,的值即可. (Ⅱ)可先設(shè)出直線方程,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示,找出兩個(gè)斜率之間的關(guān)系,第二小問(wèn),可直接用表示出來(lái)面積,再利用基本不等式求出最大值. 【解析】(1) 設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)為直線和橢圓在第一象限的交點(diǎn). (2)(i)設(shè),則, 因?yàn)橹本€AB的斜率, 又,所以直線AD的斜率 設(shè)直線AD的方程為, 由題意知. 由可得. 所以 因此. 由題意知 所以 所以直線BD的方程為. 令y=0,得 可得 所以. 因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立. (ii)直線BD的方程為. 令x=0得,即, 由(i)知 可得的面積. 因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立, 此時(shí)S取得最大值, 所以的面積為最大值.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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