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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練二 第2講 函數(shù)的應用 理
考情解讀 1.函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型,主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實際應用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體,主要考查函數(shù)的最值問題.
1.函數(shù)的零點與方程的根
(1)函數(shù)的零點
對于函數(shù)f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點.
(2)函數(shù)的零點與方程根的關系
函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點的橫坐標.
(3)零點存在性定理
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.
注意以下兩點:
①滿足條件的零點可能不唯一;
②不滿足條件時,也可能有零點.
(4)二分法求函數(shù)零點的近似值,二分法求方程的近似解.
2.函數(shù)模型
解決函數(shù)模型的實際應用題,首先考慮題目考查的函數(shù)模型,并要注意定義域.其解題步驟是(1)閱讀理解,審清題意:分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應的數(shù)學問題;(2)數(shù)學建模:弄清題目中的已知條件和數(shù)量關系,建立函數(shù)關系式;(3)解函數(shù)模型:利用數(shù)學方法得出函數(shù)模型的數(shù)學結(jié)果;(4)實際問題作答:將數(shù)學問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答.
熱點一 函數(shù)的零點
例1 (1)已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f()>f(-)>0,則方程f(x)=0的根的個數(shù)為________.
(2)(xx遼寧)已知f(x)為偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=則不等式f(x-1)≤的解集為( )
A.[,]∪[,]
B.[-,-]∪[,]
C.[,]∪[,]
D.[-,-]∪[,]
思維啟迪 (1)根據(jù)零點存在性原理,進行判斷;(2)畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想解決.
答案 (1)2 (2)A
解析 (1)由于函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),且f(-)=-f()>0,
故f()<0,因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f()>0,由零點存在性定理知,存在c∈(,),使得f(c)=0,即函數(shù)f(x)在(0,+∞)有唯一零點,由奇函數(shù)圖象的特點知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)也有一個零點,故方程f(x)=0的根的個數(shù)為2.
(2)先畫出y軸右邊的圖象,如圖所示.
∵f(x)是偶函數(shù),∴圖象關于y軸對稱,∴可畫出y軸左邊的圖象,再畫直線y=.設與曲線交于點A,B,C,D,先分別求出A,B兩點的橫坐標.
令cos πx=,∵x∈[0,],
∴πx=,∴x=.
令2x-1=,∴x=,∴xA=,xB=.
根據(jù)對稱性可知直線y=與曲線另外兩個交點的橫坐標為xC=-,xD=-.
∵f(x-1)≤,則在直線y=上及其下方的圖象滿足,∴≤x-1≤或-≤x-1≤-,
∴≤x≤或≤x≤.
思維升華 函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題,常見的有①函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定;②零點個數(shù)的確定;③兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法,尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.
(1)已知函數(shù)f(x)=()x-cos x,則f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知a是函數(shù)f(x)=2x-logx的零點,若0
0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號不確定
答案 (1)C (2)C
解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)就是函數(shù)y=()x和y=cos x的圖象在[0,2π]上的交點個數(shù),而函數(shù)y=()x和y=cos x的圖象在[0,2π]上的交點有3個,故選C.
(2)∵f(x)=2x-logx在(0,+∞)上是增函數(shù),又a是函數(shù)f(x)=2x-logx的零點,即f(a)=0,∴當010時,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.
∴W=
(2)①當00;
當x∈(9,10)時,W′<0,∴當x=9時,W取得最大值,
且Wmax=8.19-93-10=38.6.
②當x>10時,
W=98-≤98-2=38,
當且僅當=2.7x,即x=時,W=38,
故當x=時,W取最大值38.
綜合①②知:當x=9時,W取最大值38.6萬元,故當年產(chǎn)量為9千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.
1.函數(shù)與方程
(1)函數(shù)f(x)有零點?方程f(x)=0有根?函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點.
(2)函數(shù)f(x)的零點存在性定理
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使f(c)=0.
①如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是一個單調(diào)函數(shù),那么當f(a)f(b)<0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一的零點,即存在唯一的c∈(a,b),使f(c)=0.
②如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)f(b)>0,那么,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不一定沒有零點.
2.函數(shù)綜合題的求解往往應用多種知識和技能.因此,必須全面掌握有關的函數(shù)知識,并且嚴謹審題,弄清題目的已知條件,尤其要挖掘題目中的隱含條件.要認真分析,處理好各種關系,把握問題的主線,運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決.
3.應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序
???
與函數(shù)有關的應用題,經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題,也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題.解答這類問題的關鍵是確切的建立相關函數(shù)解析式,然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答.
真題感悟
1.(xx重慶)已知函數(shù)f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案 A
解析 作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,其中A(1,1),B(0,-2).
因為直線y=mx+m=m(x+1)恒過定點C(-1,0),故當直線y=m(x+1)在AC位置時,m=,可知當直線y=m(x+1)在x軸和AC之間運動時兩圖象有兩個不同的交點(直線y=m(x+1)可與AC重合但不能與x軸重合),此時00,
f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,要使f(x)有兩個零點,則極小值
f(-1)<0,即-e-1-a<0,∴a>-,又x→-∞時,f(x)>0,則a<0,
∴a∈(-,0).
3.某公司購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位:年)的關系為y=-x2+18x-25(x∈N*).則當每臺機器運轉(zhuǎn)________年時,年平均利潤最大,最大值是________萬元.
答案 5 8
解析 由題意知每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為=18-(x+),而x>0,故≤18-2=8,當且僅當x=5時,年平均利潤最大,最大值為8萬元.
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一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=log2x-的零點所在的區(qū)間為( )
A.(0,) B.(,1)
C.(1,2) D.(2,3)
答案 C
解析 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
f()=log2-=-1-2=-3<0,
f(1)=log21-=0-1<0,
f(2)=log22-=1-=>0,
f(3)=log23->1-=>0,
即f(1)f(2)<0,
∴函數(shù)f(x)=log2x-的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).
2.函數(shù)f(x)=+ln,下列區(qū)間中,可能存在零點的是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(1,2)與(2,3)
答案 B
解析 f(x)=+ln=-ln(x-1),函數(shù)f(x)的定義域為(1,+∞),且為遞減函數(shù),
當10,所以f(x)>0,故函數(shù)在(1,2)上沒有零點;
f(2)=-ln 1=1>0,f(3)=-ln 2==,
因為=2≈2.828,所以>e,故ln e0時,f(x)=x2-x=(x-)2-≥-,所以要使函數(shù)f(x)=m有三個不同的零點,則-0時,由f(x)=ln x=0,得x=1.
因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,
則當x≤0時,
函數(shù)f(x)=2x-a有一個零點,
令f(x)=0得a=2x,
因為0<2x≤20=1,所以01
解析 函數(shù)f(x)有三個零點等價于方程=m|x|有且僅有三個實根.
∵=m|x|?=|x|(x+2),作函數(shù)y=|x|(x+2)的圖象,如圖所示,由圖象可知m應滿足:0<<1,
故m>1.
10.我們把形如y=(a>0,b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字,故生動地稱為“囧函數(shù)”,若當a=1,b=1時的“囧函數(shù)”與函數(shù)y=lg|x|的交點個數(shù)為n,則n=________.
答案 4
解析 由題意知,當a=1,b=1時,y==
在同一坐標系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)y=lg|x|的圖象如圖所示,易知它們有4個交點.
三、解答題
11.設函數(shù)f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)當a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的零點;
(2)若對任意b∈R,函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)當a=1,b=-2時,f(x)=x2-2x-3,
令f(x)=0,得x=3或x=-1.
∴函數(shù)f(x)的零點為3和-1.
(2)依題意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有兩個不同實根.
∴b2-4a(b-1)>0恒成立,
即對于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0,所以0,即1400,
即f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴若實數(shù)a滿足條件,則只需f(-1)f(3)≤0即可.
f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,
∴a≤-或a≥1.
檢驗:(1)當f(-1)=0時,a=1,所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有兩個實數(shù)根,不合題意,故a≠1.
(2)當f(3)=0時,a=-,此時f(x)=x2-x-.
令f(x)=0,即x2-x-=0,
解得x=-或x=3.
方程在[-1,3]上有兩個實數(shù)根,不合題意,故a≠-.
綜上所述,a<-或a>1.
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