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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第6節(jié) 雙曲線(xiàn) 理(含解析)
1.(xx天津,5分)已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)平行于直線(xiàn)l:y=2x+10,雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)l上,則雙曲線(xiàn)的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:選A 由題意可知,雙曲線(xiàn)的其中一條漸近線(xiàn)y=x與直線(xiàn)y=2x+10平行,所以=2且左焦點(diǎn)為(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故雙曲線(xiàn)方程為-=1.
答案:A
2.(xx北京,5分)設(shè)雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),且與-x2=1具有相同漸近線(xiàn),則C的方程為_(kāi)_______;漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______.
解析:∵與雙曲線(xiàn)-x2=1有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為-x2=k.將點(diǎn)(2,2)代入,得k=-3,
∴雙曲線(xiàn)C的方程為-=1,
其漸近線(xiàn)方程為-=0,即y=2x.
答案:-=1 y=2x
3.(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ,5分)已知F是雙曲線(xiàn)C:x2-my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線(xiàn)的距離為( )
A. B.3
C.m D.3m
解析:雙曲線(xiàn)方程為-=1,焦點(diǎn)F到一條漸近線(xiàn)的距離為b=.選A.
答案:A
3.(xx山東,5分)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線(xiàn)C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線(xiàn)方程為( )
A.xy=0 B.xy=0
C.x2y=0 D.2xy=0
解析:橢圓C1的離心率為,雙曲線(xiàn)C2的離心率為,所以=,所以a4-b4=a4,即a4=4b4,所以a=b,所以雙曲線(xiàn)C2的漸近線(xiàn)方程是y= x,即xy=0.
答案:A
4.(xx廣東,5分)若實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足0<k<9,則曲線(xiàn)-=1與曲線(xiàn)-=1的( )
A.離心率相等
B.虛半軸長(zhǎng)相等
C.實(shí)半軸長(zhǎng)相等
D.焦距相等
解析:由0
0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1||PF2|=ab,則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A. B.
C. D.3
解析:選B 由雙曲線(xiàn)的定義得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1||PF2|=9b2-4a2,又4|PF1||PF2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即92--4=0,則=0,解得=,則雙曲線(xiàn)的離心率e==.
答案:B
6.(xx湖北,5分)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A. B.
C.3 D.2
解析:假定焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)P在第一象限,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn).設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),雙曲線(xiàn)的方程為-=1(m>0,n>0),它們的離心率分別為e1,e2,由|PF1|-|PF2|=2m,|PF1|+|PF2|=2a,得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在△PF1F2中,4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos?a2+3m2=4c2?2+32=4,則≥2?+=+≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=3m時(shí),等號(hào)成立,故選A.
答案:A
7.(xx廣東,5分)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:本題考查雙曲線(xiàn)的方程,考查考生的運(yùn)算能力.由題意可知c=3,a=2,b= = =,故雙曲線(xiàn)的方程為-=1.
答案:B
8.(xx湖北,5分)已知0<θ<,則雙曲線(xiàn)C1:-=1與C2:-=1的( )
A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等
C.焦距相等 D.離心率相等
解析:本題考查三角函數(shù)、雙曲線(xiàn)等知識(shí),意在考查考生對(duì)雙曲線(xiàn)知識(shí)的掌握情況,會(huì)求實(shí)軸、虛軸、焦距和離心率的值,掌握三角函數(shù)的重要公式是求解本題的基礎(chǔ).雙曲線(xiàn)C1的離心率e1== = =,雙曲線(xiàn)C2的離心率e2== = == =,所以e1=e2,而雙曲線(xiàn)C1的實(shí)軸長(zhǎng)為2a1=2cos θ,虛軸長(zhǎng)為2b1=2sin θ,焦距為2c1=2 =2,雙曲線(xiàn)C2的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2=2sin θ,虛軸長(zhǎng)為2b2=2sin θsin θ,焦距為2c2=2 =2 =2tan θ,所以A,B,C均不對(duì),故選D.
答案:D
9.(xx福建,5分)雙曲線(xiàn)-y2=1的頂點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于( )
A. B.
C. D.
解析:本題考查雙曲線(xiàn)的圖象與性質(zhì),點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力以及運(yùn)算求解能力.雙曲線(xiàn)-y2=1的漸近線(xiàn)方程為y=,即x2y=0,所以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)(2,0)到其漸近線(xiàn)距離為=.
答案:C
10.(xx浙江,5分)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析:本題考查橢圓、雙曲線(xiàn)的定義,幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及運(yùn)算求解能力.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為-=1(a>0,b>0)①,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,y0).
由題意得a2+b2=3=c2②,則|OA|=c=,
所以解得x=,y=,又點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上,代入①得,b2-a2=a2b2③,聯(lián)立②③解得a=,所以e==,故選D.
答案:D
11.(xx北京,5分)若雙曲線(xiàn)-=1 的離心率為,則其漸近線(xiàn)方程為( )
A. y=2x B.y=x
C. y=x D. y=x
解析:本題考查雙曲線(xiàn)的方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),意在考查考生的運(yùn)算求解能力.在雙曲線(xiàn)中離心率e== =,可得=,故所求的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y=x.
答案:B
12.(xx陜西,5分)雙曲線(xiàn)-=1的離心率為,則m等于________.
解析:本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)和方程思想的具體應(yīng)用.
?=?m=9.
答案:9
13.(xx江蘇,5分)雙曲線(xiàn)-=1的兩條漸近線(xiàn)的方程為_(kāi)_______.
解析:本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
令-=0,解得y=x.
答案:y=x
14.(xx湖南,5分)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn).若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30,則C的離心率為_(kāi)_______.
解析:本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義及其幾何性質(zhì)和余弦定理,考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬中檔題.依題意及雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,由雙曲線(xiàn)的定義得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,求得|PF1|=4a,|PF2|=2a.而|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,所以4a2=16a2+4c2-24a2ccos 30,即3a2-2ac+c2=0,所以a-c=0,故雙曲線(xiàn)C的離心率為.
答案:
15.(2011山東,5分)已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線(xiàn)均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線(xiàn)的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:圓心的坐標(biāo)是(3,0),圓的半徑是2,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是bxay=0,根據(jù)已知得=2,即=2,解得b=2,則a2=5,故所求的雙曲線(xiàn)方程是-=1.
答案:A
16.(2011安徽,5分)雙曲線(xiàn)2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是( )
A.2 B.2
C.4 D.4
解析:雙曲線(xiàn)方程可變形為-=1,所以a2=4,a=2,2a=4.
答案:C
17.(xx新課標(biāo)全國(guó),5分)等軸雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線(xiàn)y2=16x的準(zhǔn)線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為( )
A. B.2
C.4 D.8
解析:拋物線(xiàn)y2=16x的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-4,所以點(diǎn)A(-4,2)在等軸雙曲線(xiàn)C:x2-y2=a2(a>0)上,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a=2,所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.
答案:C
18.(xx浙江,5分)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)C:-=1(a,b>0)的左、右焦點(diǎn),B是虛軸的端點(diǎn),直線(xiàn)F1B與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于P,Q兩點(diǎn),線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M.若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析:不妨設(shè)c=1,則直線(xiàn)PQ:y=bx+b,兩漸近線(xiàn)為y=x,
因此有交點(diǎn)P(-,),Q(,),設(shè)PQ的中點(diǎn)為N,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,),
因?yàn)榫€(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M,|MF2|=|F1F2|,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),
因此有kMN==-,所以3-4a2=b2=1-a2,
所以a2=,所以e=.
答案:B
19.(2011湖南,5分)設(shè)雙曲線(xiàn)-=1(a>0)的漸近線(xiàn)方程為3x2y=0,則a的值為( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:雙曲線(xiàn)方程-=1的漸近線(xiàn)方程為3xay=0,與已知方程比較系數(shù)得a=2.
答案:C
20.(xx湖北,5分)如圖,雙曲線(xiàn)-=1(a,b>0)的兩頂點(diǎn)為A1,A2,虛軸兩端點(diǎn)為B1,B2,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點(diǎn)分別為A,B,C,D.則
(1)雙曲線(xiàn)的離心率e=________;
(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值=________.
解析:由題意可得a=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.
設(shè)sin θ=,cos θ=,
====e2-=.
答案:
21.(2011遼寧,5分)已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)上,C的焦距為4,則它的離心率為_(kāi)_______.
解析:根據(jù)點(diǎn)(2,3)在雙曲線(xiàn)上,可以很容易建立一個(gè)關(guān)于a,b的等式,即-=1,考慮到焦距為4,這也是一個(gè)關(guān)于c的等式,2c=4,即c=2.再有雙曲線(xiàn)自身的一個(gè)等式a2+b2=c2,這樣,三個(gè)方程,三個(gè)未知量,可以解出a=1,b=,c=2,所以,離心率e=2.
答案:2
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