2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第49課 平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系要點(diǎn)導(dǎo)學(xué).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第49課 平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 多點(diǎn)共線與多線共點(diǎn)的證明 　如圖,已知△ABC的各頂點(diǎn)均在平面α外,直線AB,AC,BC分別交平面α于點(diǎn)P,Q,R,求證:P,Q,R三點(diǎn)共線. (例1) [思維引導(dǎo)]根據(jù)公理2,選擇恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)平面,只要證明R,Q,P三點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),即可證明三點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上. [證明]設(shè)△ABC確定了一個(gè)平面β,因?yàn)辄c(diǎn)R∈BC,所以R∈β. 又R∈α,所以R在平面α和平面β的交線上. 同理,點(diǎn)P,Q也在平面α和平面β的交線上. 而平面α和平面β的交線只有一條, 故P,Q,R三點(diǎn)共線. [精要點(diǎn)評(píng)](1) 證明點(diǎn)共線的方法:①先考慮兩個(gè)平面的交線,再證明有關(guān)的點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn);②先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,再證明其他點(diǎn)也在這條直線上. (2) 公理的正確運(yùn)用,嚴(yán)密的邏輯推理過程,文字、符號(hào)、圖形語言的轉(zhuǎn)化是解立體幾何題的基本要求,也是高考考查的重點(diǎn). 　已知E,F,G,H分別為空間四邊形(四個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形)ABCD各邊AB,AD,BC,CD上的點(diǎn),且直線EF和GH交于點(diǎn)P,求證:B,D,P在同一條直線上. (變式) [證明]因?yàn)镻∈EF,而E∈AB,F∈AD, 所以EF平面ABD, 所以P∈平面ABD; 同理,P∈平面BDC. 所以點(diǎn)P在平面ABD與平面BDC的交線上. 又因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BDC=BD, 所以P∈BD,即B,D,P在同一條直線上. 點(diǎn)線共面的證明 　已知直線l與三條平行直線a,b,c都相交,求證:l與a,b,c共面. [思維引導(dǎo)]先由兩平行直線確定一個(gè)平面,再確定另一個(gè)平面,最后說明兩平面重合且直線l在三平行直線所確定的平面內(nèi)即可. (例2) [證明]如圖,因?yàn)閍∥b,所以直線a,b可確定一個(gè)平面α. 因?yàn)閎∥c,所以直線b,c可確定一個(gè)平面β. 因?yàn)锳∈a,B∈b,C∈c,且A,B,C∈l, 所以lα,lβ,所以存在兩條相交直線b,l既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi), 所以由公理3及推論知,平面α,β必重合, 所以直線l與直線a,b,c共面. [精要點(diǎn)評(píng)]證明幾條線共面的方法:①先由有關(guān)元素確定一個(gè)基本平面,再證其他的點(diǎn)(或線)在這個(gè)平面內(nèi);②先由部分點(diǎn)線確定平面,再由其他點(diǎn)線確定平面,然后證明這些平面重合. 　求證:若不交于同一個(gè)點(diǎn)的四條直線兩兩相交,則這四條直線共面. [證明]若三直線l1,l2,l3交于一點(diǎn)A(如圖(1)),則由點(diǎn)A與l4確定一個(gè)平面α,A∈α,B∈α,ABα,l1α, 同理可得l2α,l3α, 所以l1,l2,l3,l4四線共面. 圖(1)　　　　　　　圖(2)(變式) 若四直線無三線共點(diǎn),設(shè)兩直線l1,l2交于一點(diǎn)A(如圖(2)),則l1,l2確定一個(gè)平面α,則B∈α,C∈αl3α. 同理,l4α, 所以l1,l2,l3,l4四線共面. 求異面直線所成的角 　(xx全國卷)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),求異面直線CE與BD所成角的余弦值. (例3) [解答]設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF,CF,則EF∥BD,所以異面直線CE與BD所成的角是∠FEC或其補(bǔ)角. 設(shè)正四面體ABCD的棱長為2a,則EF=a,CE=CF=a, 由余弦定理可得cos∠CEF==. 故異面直線CE與BD所成角的余弦值為. 　(xx通城模擬)已知四棱錐P-ABCD的所有側(cè)棱長都為,底面ABCD是邊長為2的正方形,求CD與PA所成角的余弦值. [解答]在正方形ABCD中,CD∥AB,所以∠PAB或其補(bǔ)角就是異面直線CD與PA所成的角. 在△PAB中,PA=PB=,AB=2, 所以cos∠PAB===, 故CD與PA所成角的余弦值為. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn). (范題賞析) (1) 求證:C1,O,M三點(diǎn)共線; (2) 求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面; (3) 求證:CE,D1F,DA三線共點(diǎn). [規(guī)范答題](1) 因?yàn)镃1,O,M∈平面BDC1,點(diǎn)C1,O,M∈平面A1ACC1,由公理3知點(diǎn)C1,O,M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上,(3分) 所以C1,O,M三點(diǎn)共線.(4分) (2) 連接A1B,CD1. 因?yàn)镋,F分別是AB,A1A的中點(diǎn),所以EF∥A1B.(6分) 因?yàn)锳1B∥CD1,所以EF∥CD1, 所以E,C,D1,F四點(diǎn)共面.(8分) (3) 由(2)可知,E,C,D1,F四點(diǎn)共面. 又EF=A1B,所以D1F,CE為相交直線,設(shè)交點(diǎn)為P, (10分) 則P∈D1F平面ADD1A1,P∈CE平面ADCB.(12分) 又平面ADD1A1∩平面ADCB=AD,所以P∈AD, 所以CE,D1F,DA三線共點(diǎn).(14分) 1. 如果a,b是異面直線,b,c也是異面直線,那么直線a與c的位置是　　　　　　. [答案]平行、相交或異面 [解析]事實(shí)上,直線a與c的位置關(guān)系是不確定的. 2. 若l∩m=,則直線l與m的位置關(guān)系是　　　　　　. [答案]平行或異面 3. (xx南安模擬)下列圖形中不一定是平面圖形的是　　　　.(填序號(hào)) ①三角形; ②四邊相等的四邊形; ③梯形; ④平行四邊形. [答案]② [解析]根據(jù)確定平面的公理以及推論知①③④中的圖形是平面圖形,根據(jù)空間四邊形知四邊相等的四邊形不一定是平面圖形.注意在立體幾何中的四邊形不一定是平面圖形,也可構(gòu)成幾何體即三棱錐. 4. 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),E1,F1分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求證:EF∥E1F1. (第4題) [證明]連接AC,則在三角形ABC中, 因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC. 同理,在△A1B1C1中,E1F1∥A1C1. 又因?yàn)锳A1∥BB1,CC1∥BB1,且AA1=BB1,CC1=BB1, 所以四邊形AA1C1C是平行四邊形,所以AC∥A1C1. 所以E1F1∥AC,所以EF∥E1F1. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評(píng)估》中的練習(xí)(第97-98頁).