2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教A版選修2-2.ppt

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第二章,推理與證明,2．2直接證明與間接證明,2．2.2反證法,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,,,1．反證法的定義一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出______，因此說(shuō)明假設(shè)______，從而證明了原命題_______，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法．2．反證法證題的原理(1)反證法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明原結(jié)論正確．,矛盾,成立,錯(cuò)誤,1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用()①原結(jié)論的相反判斷，即假設(shè)②原命題的結(jié)論③公理、定理、定義等④原命題的條件A．①④B．①②③C．①③④D．②③[解析]由反證法的規(guī)則可知①③④都可作為條件使用，故應(yīng)選C．,C,2．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)其結(jié)論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)[解析]“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”即a、b、c中有兩奇一偶，故其反面應(yīng)為都是奇數(shù)或兩偶一奇或都是偶數(shù)，故選D．,D,3．如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)()A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)B．兩個(gè)都是正數(shù)C．至少有一個(gè)正數(shù)D．兩個(gè)都是負(fù)數(shù)[解析]假設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x1、x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個(gè)實(shí)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù)，故應(yīng)選C．4．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是_______________________________________．[解析]全稱命題的否定形式為特稱命題，而“至少有兩個(gè)”的否定形式為“至多有一個(gè)”．故該命題的否定為“存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角”．,C,存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角,互動(dòng)探究學(xué)案,命題方向1?用反證法證明否(肯)定性命題,典例1,(1)(2017武漢高二檢測(cè))用反證法證明命題“如果a>b，那么a3>b3”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是()A．a(chǎn)3＝b3B．a(chǎn)3b3”的否定“a3≤b3”，故選C．(2)根據(jù)反證法證題的三步驟：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論．,③①②,『規(guī)律總結(jié)』1．用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,,特別提醒：(1)用反證法證題時(shí)，首先要搞清反證法證題的思路步驟，其次注意反證法是在條件較少，直接證明不易入手時(shí)常用的方法．(2)結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“沒有”等詞語(yǔ)的否定性命題，結(jié)論的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．(3)注意否定結(jié)論時(shí)，要準(zhǔn)確無(wú)誤．,命題方向2?反證法證明“至多”“至少”問(wèn)題,典例2,『規(guī)律總結(jié)』1．當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語(yǔ)時(shí)，宜用反證法．2．用反證法證題，必須準(zhǔn)確寫出命題的否定，把命題所包含的所有可能情形找全，范圍既不縮小，也不擴(kuò)大．常用反設(shè)詞如下：,命題方向3?用反證法證明存在性、唯一性命題,已知：一點(diǎn)A和平面α．求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A只能有一條直線和平面α垂直．[思路分析],典例3,,『規(guī)律總結(jié)』1．證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以宜用反證法證明．2．若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．,〔跟蹤練習(xí)3〕若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)，且f(a)0，f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．,正難則反是運(yùn)用反證法的原則，有一些基礎(chǔ)命題都是我們?cè)跀?shù)學(xué)中常運(yùn)用的明顯事實(shí)，它們的判定方法極少，宜用反證法證明．這些題型有：(1)一些基本命題、基本定理；(2)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(3)“否定性”命題；(4)“唯一性”命題；(5)“必然性”命題；(6)“至多”“至少”類命題；(7)涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題．,適宜運(yùn)用反證法證明的命題,已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．,典例4,『規(guī)律總結(jié)』1．反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是從假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果．2．反證法中引出矛盾的結(jié)論，不是推理本身的錯(cuò)誤，而是開始假定的“結(jié)論的反面”是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的．,〔跟蹤練習(xí)4〕證明：對(duì)于直線l：y＝kx＋1，不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對(duì)稱．,已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0．[錯(cuò)解]假設(shè)a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0，abc≤0與題設(shè)條件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假設(shè)不成立，∴原命題成立．[辨析]錯(cuò)解沒有弄清原題待證的結(jié)論是什么？導(dǎo)致反設(shè)錯(cuò)誤．“求證：a>0，b>0，c>0”的含義是“求證a、b、c三數(shù)都是正數(shù)”，故反設(shè)應(yīng)為“假設(shè)a、b、c中至少有一個(gè)不大于0．”,結(jié)論反設(shè)不當(dāng)致誤,典例5,,[正解]證法1：假設(shè)a、b、c中至少有一個(gè)不大于0，不妨設(shè)a≤0，若a0，得bc0得，b＋c>－a>0，∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc0矛盾．又若a＝0，則abc＝0與abc>0矛盾．故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可證b>0，c>0．證法2：假設(shè)a、b、c是不全為正的實(shí)數(shù)，由于abc>0，所以a、b、c中只能是兩負(fù)一正，不妨設(shè)a0，∵ab＋bc＋ac>0，∴a(b＋c)＋bc>0，∵bc0，∵a0矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立．即a，b，c全為正實(shí)數(shù)．,[點(diǎn)評(píng)]含“至多”、“至少”、“唯一”等的結(jié)論，或以否定形式給出的結(jié)論，常用反證法證明．證明的第一步是寫出結(jié)論的否定，否定一定要準(zhǔn)確，證明時(shí)要將全部可能情形一一推證．,1．命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()A．a(chǎn)b”的對(duì)立面為“a≤b”．2．“實(shí)數(shù)a，b，c不全為0”等價(jià)于()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0[解析]“不全為0”的對(duì)立面為“全為0”，故“不全為0”的含義為“至少有一個(gè)不為0”．,B,D,B,