高中數(shù)學 1.3.3第1課時 函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)課件 新人教A版選修2-2.ppt

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成才之路 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,人教A版 選修2-2,導數(shù)及其應用,第一章,1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,第一章,1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),第1課時 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),1．理解函數(shù)最值的概念及閉區(qū)間上函數(shù)存在最值的定理． 2．掌握用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最大值和最小值的方法．,重點：函數(shù)在閉區(qū)間上最值的概念與求法． 難點：極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，求最值的方法．,1．如果函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增(或遞減)的函數(shù)，是否存在這樣的實數(shù)a，使得對一切x∈R，都有f(x)≤f(a)(或f(x)≥f(a))? 2．如果f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，定義域為[a，b]，當f(x)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)時，是否存在x0∈[a，b]，使對一切x∈[a，b]都有f(x)≤f(x0)？當f(x)不是單調(diào)函數(shù)時，是否存在x0∈[a，b]，使對一切x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)?,函數(shù)最值的概念,思維導航,1．下圖中的函數(shù)f(x)的最大值為________，最小值為________． 而極大值為________，極小值為________．,新知導學,,f(g),f(b),f(d)，f(g),f(c)，f(e),2．由上圖還可以看出，假設函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得________與________，若該函數(shù)在(a，b)內(nèi)是________，該函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點取得．但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導的函數(shù)f(x)________有最大值與最小值．,最大值,最小值,可導的,不一定,1．(2014營口三中期中)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1處有極值，則a＋b等于( ) A．2 B．3 C．6 D．9 [答案] C [解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由條件知x＝1是方程f ′(x)＝0的實數(shù)根，∴a＋b＝6.,牛刀小試,2．若函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，則f(x)( ) A．最大值為4，最小值為－4 B．最大值為4，無最小值 C．最小值為－4，無最大值 D．既無最大值，也無最小值 [答案] B [解析] f ′(x)＝－4x3＋4x， 由f ′(x)＝0得x＝1或x＝0. 易知f(－1)＝f(1)＝4為極大值也是最大值，故應選B.,[答案] A [解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由條件知，1、3是方程f ′(x)＝0的兩個實根，∴b＝－2，c＝3，∴f ′(－1)＝8，故選A.,4．(2015龍海市高二期中)已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝_____. [答案] 32 [解析] 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2， 列表得：,5．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是________________． [答案] (－4，－2),(2014～2015鄭州登封市高二期中)函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，x∈[－3,2]，則f(x)的最大值與最小值的差為( ) A．20 B．18 C．4 D．0 [答案] A [分析] 首先求f(x)在[－3,2]上的極值，然后計算f(－1)與f(1)，通過比較找出最大值與最小值，即可獲解．,利用導數(shù)求函數(shù)的最大值與最小值,[解析] ∵f(x)＝x3－3x－1， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， ∴當x∈(－∞，－1)和(1，＋∞)時，f′(x)0； 當x∈(－1,1)時，f′(x)0； ∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1，1)上是減函數(shù)； 而f(－3)＝－27＋9－1＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝8－6－1＝1， ∴fmax(x)＝1，fmin(x)＝－19， 故f(x)的最大值與最小值的差為20，故選A.,[方法規(guī)律總結] 1.求可導函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步驟如下： (1)求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有極值點； (2)計算函數(shù)f(x)在極值點和端點的函數(shù)值，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．,,含參數(shù)的函數(shù)最值問題,設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a0)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在x∈[－1,1]內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍； (3)若對任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范圍．,[分析] (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間，可解不等式f ′(x)≥0，f ′(x)≤0，由于f(x)表達式中含參數(shù)，故需注意是否需要分類討論；(2)f(x)在x∈[－1,1]內(nèi)沒有極值點的含義是f ′(x)＝0在[－1,1]內(nèi)沒有實數(shù)根，故f(x)在[－1,1]內(nèi)單調(diào)；(3)f(x)≤1在[－2,2]內(nèi)恒成立，則f(x)在[－2,2]內(nèi)的最大值≤1.,而f(2)－f(－2)＝16－4a20，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m， 又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立， ∴－8＋4a＋2a2＋m≤1， 即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立， ∵9－4a－2a2的最小值為－87， ∴m≤－87.,[方法規(guī)律總結] 1.由于參數(shù)的取值范圍不同會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導致最值的變化，故含參數(shù)時，需注意是否分類討論． 2．(1)當f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a，b]上單調(diào)時，其最大值、最小值在端點處取得． (2)當圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點處取到最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間．,3．已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值，結合已知求出參數(shù)，進而使問題得以解決．,與函數(shù)最值有關的綜合問題,(2014～2015山東省菏澤市期中)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2處取得極值為c－16. (1)求a、b的值； (2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． [分析] 求a、b的值需建立a、b的方程組求解；求f(x)在[－3，3]上的最值，需按照“用導數(shù)求函數(shù)最值”的一般步驟進行；,“f(x)在x＝2處取得極值c－16”，應從以下三方面把握： (一)f(2)＝c－16，(二)f ′(2)＝0，(三)c－16可能是極大值，也可能是極小值，需依據(jù)解題過程和條件判斷． 解答本題應先求f ′(x)，利用極值條件建立a、b的方程組，解方程組求a、b；從而得到f(x)解析式；再解不等式f ′(x)0(或f ′(x)0)確定f(x)的單調(diào)性；最后由極大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最小值．,(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f ′(x)＝3x2－12， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2， 當x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)時，f ′(x)0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上為增函數(shù)， 當x∈(－2,2)時，f ′(x)0，f(x)在(－2,2)上為減函數(shù)． 由此可知f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2處取得極小值f(2)＝c－16，由題設條件知16＋c＝28得c＝12， 此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4， 因此f(x)上[－3,3]的最小值為f(2)＝－4.,[方法規(guī)律總結] 1.證明不等式，研究方程根的個數(shù)、兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)、圖象的分布范圍等問題，導數(shù)和數(shù)形結合法是一種很有效的方法，經(jīng)常通過分析函數(shù)的變化情況，結合圖形分析求解．， 2．恒成立問題向最值轉化也是一種常見題型． 3．已知函數(shù)的最值求待定系數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍是函數(shù)最值應用的常見題型之一，由于參數(shù)會對函數(shù)的最值點有影響，所以解決這類問題常需要分類討論，并結合不等式的知識進行求解．,準確把握條件,[辨析] (1)正確；(2)中錯誤的認為直線l與曲線C相切，則C上所有點都在直線l的同側，從而導致解答錯誤．錯因可能是受直線與二次曲線相切的遷移影響，沒有準確地理解導數(shù)的幾何意義所致．,當01時，x2－10，lnx0，所以g′(x)0，故g(x)單調(diào)遞增． 所以，g(x)g(1)＝0(?x0，x≠1)． 所以除切點之外，曲線C在直線l的下方． [警示] 由直線與曲線相切的定義知，直線l與曲線C相切于某點P是一個局部定義，當l與C切于點P時，不能保證l與C無其它公共點，有可能還有其它切點，也有可能還有其它交點．,