合肥市包河區(qū)2015-2016年八年級上期中數(shù)學試卷含答案解析.doc

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2015-2016學年安徽省合肥市包河區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 1．點P（﹣2，1）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為( ) A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 2．P（m，n）是第二象限內(nèi)一點，則P′（m﹣2，n+1）位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函數(shù)y=自變量的取值范圍是( ) A．x≥﹣3 B．x＜3 C．x≤﹣3 D．x≤3 4．一次函數(shù)y=﹣2014x﹣2015的圖象不經(jīng)過( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．三角形中至少有一個角大于或等于( ) A．30 B．60 C．70 D．80 6．已知等腰三角形的腰長為9cm，則下列長度的四條線段中，能作為底邊的是( ) A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm 7．如圖，直線y=kx+b與x軸交于點（﹣4，0），則y＞0時，x的取值范圍是( ) A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0 8．已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B=40，∠C=60，則∠ADB的度數(shù)為( ) A．115 B．110 C．105 D．100 9．下列說法中，正確的是( ) A．“同旁內(nèi)角互補”是真命題 B．“同旁內(nèi)角互補”是假命題 C．“同旁內(nèi)角互補”不是命題 D．“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”不是命題 10．有一個安裝有進出水管的30升容器，水管每單位時間內(nèi)進出的水量是一定的，設(shè)從某時刻開始的4分鐘內(nèi)只進水不出水，在隨后的8分鐘內(nèi)既進水又出水，得到水量y（升）與時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象信息給出下列說法： ①每分鐘進水5升； ②當4≤x≤12時，容器中水量在減少； ③若12分鐘后只放水，不進水，還要8分鐘可以把水放完； ④若從一開始進出水管同時打開需要24分鐘可以將容器灌滿． 以下說法中正確的有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分） 11．已知△ABC的三個頂點分別為A（﹣2，3）、B（﹣4，﹣1）、C（2，0），現(xiàn)將△ABC平移至△A′B′C′處，且A′坐標為（0，2），則C′點的坐標為__________． 12．把直線y=﹣x向下平移__________個單位得到直線y=﹣x﹣2． 13．函數(shù)y=﹣x+1與函數(shù)y=2x+m的圖象交點在第四象限，則m__________． 14．在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC的中線，將△ABC分成長15cm和9cm的兩段，則等腰△ABC的底邊長為__________． 15．如圖所示，第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經(jīng)過平移而得，那么設(shè)第n個圖案中有白色地面磚m塊，則m與n的函數(shù)關(guān)系式是__________． 三、解答題（共2小題，滿分14分） 16．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點（2，﹣5）和（6，1），求這個一次函數(shù)的解析式． 17．若△ABC中∠A=80，∠B的度數(shù)為x，∠C的度數(shù)為y，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象． 四、（本大題共2小題，滿分19分） 18．已知：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD是∠ACB平分線，求∠A和∠CDB的度數(shù)． 19．如圖，已知直線l1：y1=2x+1與坐標軸交于A、C兩點，直線l2：y2=﹣x﹣2與坐標軸交于B、D兩點，兩線的交點為P點， （1）求△APB的面積； （2）利用圖象求當x取何值時，y1＜y2． 五、（本題滿分10分） 20．大地中學八年級為數(shù)學競賽設(shè)獎，派了兩位老師去學校的超市購買筆記本作為獎品．經(jīng)過了解得知，超市的A，B兩種筆記本的價格分別是10元和6元，他們準備購買這兩種筆記本共30本． （1）如果他們購買獎品共花費了240元，則這兩種筆記本各買了多少本？ （2）兩位老師根據(jù)競賽的設(shè)獎情況，決定所購買的A種筆記本的數(shù)量要不少于B種筆記本數(shù)量，但又不多于B種筆記本數(shù)量2倍，如果設(shè)他們買A種筆記本n本，買這兩種筆記本共花費w元． ①請寫出w（元）關(guān)于n（本）的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量n的取值范圍； ②請你幫他們計算購買這兩種筆記本各多少時，花費最少，此時的花費是多少元？ 六、（本題滿分12分） 21．取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0＜α≤45），得到△ABC′． ①當α為多少度時，AB∥DC？ ②當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，α為多少度？ ③連接BD，當0＜α≤45時，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明． 2015-2016學年安徽省合肥市包河區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 1．點P（﹣2，1）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為( ) A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標． 【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得答案． 【解答】解：點P（﹣2，1）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（﹣2，﹣1）， 故選：D． 【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律． 2．P（m，n）是第二象限內(nèi)一點，則P′（m﹣2，n+1）位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】點的坐標． 【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)點的橫坐標是負數(shù)，縱坐標是正數(shù)判斷出m、n的正負情況，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征解答． 【解答】解：∵P（m，n）是第二象限內(nèi)一點， ∴m＜0，n＞0， ∴m﹣2是負數(shù)，n+1是正數(shù)， ∴則P′（m﹣2，n+1）位于第二象限． 故選B． 【點評】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．函數(shù)y=自變量的取值范圍是( ) A．x≥﹣3 B．x＜3 C．x≤﹣3 D．x≤3 【考點】函數(shù)自變量的取值范圍． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍． 【解答】解：由y=，得 3﹣x＜0， 解得x＜3， 故選：B． 【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負． 4．一次函數(shù)y=﹣2014x﹣2015的圖象不經(jīng)過( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y=﹣2014x﹣2015中k=﹣2014，b=﹣2015判斷出函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=﹣2014x﹣2015中k=﹣2014＜0，b=﹣2015＜0， ∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限． 故選A． 【點評】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，即一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，當k＜0，b＜0時，函數(shù)圖象經(jīng)過二、三、四象限． 5．三角形中至少有一個角大于或等于( ) A．30 B．60 C．70 D．80 【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180解答即可． 【解答】解：∵三角形的內(nèi)角和為180， ∴當三個內(nèi)角均小于60時不能構(gòu)成三角形， ∴三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60， 故選B． 【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能理解三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和為180． 6．已知等腰三角形的腰長為9cm，則下列長度的四條線段中，能作為底邊的是( ) A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】首先根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出底邊長的取值范圍，再結(jié)合給出的選項作答即可． 【解答】解：∵9﹣9=0，9+9=18cm， ∴底邊的取值范圍是0＜底邊＜18cm． ∴選項D符合題意， 故選D． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系定理，求出底邊長的取值范圍是解題關(guān)鍵． 7．如圖，直線y=kx+b與x軸交于點（﹣4，0），則y＞0時，x的取值范圍是( ) A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0 【考點】一次函數(shù)的圖象． 【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】根據(jù)題意，y＞0，即x軸上方的部分，讀圖易得答案． 【解答】解：由函數(shù)圖象可知x＞﹣4時y＞0． 故選A． 【點評】本題較簡單，解答此類題目時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合的思想是問題更直觀化． 8．已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B=40，∠C=60，則∠ADB的度數(shù)為( ) A．115 B．110 C．105 D．100 【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠BAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】解：∵∠B=40，∠C=60， ∴∠BAC=180﹣∠B﹣∠C=80， ∵AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線， ∴∠BAD=∠BAC=40， ∴∠ADB=180﹣∠B﹣∠BAD=180﹣40﹣40=100， 故選D． 【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BAD的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵． 9．下列說法中，正確的是( ) A．“同旁內(nèi)角互補”是真命題 B．“同旁內(nèi)角互補”是假命題 C．“同旁內(nèi)角互補”不是命題 D．“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”不是命題 【考點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；命題與定理． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)命題以及真假命題的定義進行判斷． 【解答】解：A、只有當兩直線平行時，才有同旁內(nèi)角互補．即同旁內(nèi)角互補的條件是兩直線平行，則“同旁內(nèi)角互補”不是真命題．故選項錯誤； B、正確； C、根據(jù)命題的定義，“同旁內(nèi)角互補”是命題，并且是假命題．故選項錯誤； D、根據(jù)命題的定義，“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”是命題，并且是真命題．故選項錯誤． 故選B． 【點評】本題主要考查了命題的定義，真、假命題的定義．比較簡單，屬于基礎(chǔ)題型． 命題是判斷一件事情的語句，而判斷是對事物有所斷定的思維形式，一般可以加上“是”或者“不是”．命題有真有假，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題． 10．有一個安裝有進出水管的30升容器，水管每單位時間內(nèi)進出的水量是一定的，設(shè)從某時刻開始的4分鐘內(nèi)只進水不出水，在隨后的8分鐘內(nèi)既進水又出水，得到水量y（升）與時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象信息給出下列說法： ①每分鐘進水5升； ②當4≤x≤12時，容器中水量在減少； ③若12分鐘后只放水，不進水，還要8分鐘可以把水放完； ④若從一開始進出水管同時打開需要24分鐘可以將容器灌滿． 以下說法中正確的有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)圖象可以得到單獨打開進水管4分鐘注水20升，而同時打開放水管，8分鐘內(nèi)放進10升水，據(jù)此即可解答． 【解答】解：①每分鐘進水=5升，則命題正確； ②當4≤x≤12時，y隨x的增大而增大，因而容器中水量在增加，則命題錯誤； ③每分鐘放水5﹣=5﹣1.25=3.75升， 則放完水需要=8（分鐘），故命題正確； ④同時打開進水管和放水管，每分鐘進水=1.25升，則同時打開需要將容器灌滿需要的時間是=24（分鐘），命題正確． 故選C． 【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象，正確理解圖象中表示的實際意義是關(guān)鍵． 二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分） 11．已知△ABC的三個頂點分別為A（﹣2，3）、B（﹣4，﹣1）、C（2，0），現(xiàn)將△ABC平移至△A′B′C′處，且A′坐標為（0，2），則C′點的坐標為（4，﹣1）． 【考點】坐標與圖形變化-平移． 【分析】根據(jù)A（﹣2，3）平移后對應(yīng)點A′坐標為（0，2），可得點A向右平移2個單位，向下平移1個單位，因此△ABC向右平移2個單位，向下平移1個單位至△A′B′C′處，然后可得C的對應(yīng)點坐標． 【解答】解：∵A（﹣2，3）平移后對應(yīng)點A′坐標為（0，2）， ∴點A向右平移2個單位，向下平移1個單位， ∵C（2，0）， ∴C′點的坐標為（2+2，0﹣1）， 即（4，﹣1）， 故答案為：（4，﹣1）． 【點評】此題主要考查了坐標與圖形的變化﹣﹣平移，關(guān)鍵是掌握橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減． 12．把直線y=﹣x向下平移2個單位得到直線y=﹣x﹣2． 【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】直接根據(jù)“上加下減”的原則進行解答即可． 【解答】解：∵0﹣（﹣2）=2， ∴根據(jù)“上加下減”的原則可知，把直線y=﹣x向下平移2個單位得到直線y=﹣x﹣2． 故答案為：2． 【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵． 13．函數(shù)y=﹣x+1與函數(shù)y=2x+m的圖象交點在第四象限，則m＜﹣2． 【考點】兩條直線相交或平行問題． 【分析】聯(lián)立兩直線解析式求出交點坐標，再根據(jù)交點在第四象限列出不等式組求解即可． 【解答】解：由題意得 解得：， ∵交點在第四象限， ∴， 所以m的取值范圍是m＜﹣2． 故答案為：＜﹣2． 【點評】本題考查了兩直線相交的問題，解一元一次不等式組，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標是常用的方法． 14．在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC的中線，將△ABC分成長15cm和9cm的兩段，則等腰△ABC的底邊長為4cm． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】分腰長與腰長的一半是9cm和15cm兩種情況，求出腰長，再求出底邊，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊進行解答即可． 【解答】解：設(shè)腰長為xcm， ①腰長與腰長的一半是9cm時，x+x=9， 解得x=6， 所以，底邊=15﹣6=12， ∵6+6=12， ∴6cm、6cm、12cm不能組成三角形； ②腰長與腰長的一半是15cm時，x+x=15， 解得x=10， 所以，底邊=9﹣10=4， 所以，三角形的三邊為10cm、10cm、4cm，能組成三角形， 綜上所述，三角形的腰長為10cm，底邊為4cm， 故答案為：4cm． 【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判定是否能組成三角形． 15．如圖所示，第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經(jīng)過平移而得，那么設(shè)第n個圖案中有白色地面磚m塊，則m與n的函數(shù)關(guān)系式是m=4n+2． 【考點】規(guī)律型：圖形的變化類． 【專題】規(guī)律型． 【分析】觀察圖形可知，第一個黑色地面磚由六個白色地面磚包圍，再每增加一個黑色地面磚就要增加四個白色地面磚． 【解答】解：首先發(fā)現(xiàn)：第一個圖案中，有白色的是6個，后邊是依次多4個． 所以第n個圖案中，是6+4（n﹣1）=4n+2． ∴m與n的函數(shù)關(guān)系式是m=4n+2． 故答案為：4n+2． 【點評】本題考查了平面圖形組合的規(guī)律，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律：在第一個圖案的基礎(chǔ)上，多一個圖案，多4塊白色地磚． 三、解答題（共2小題，滿分14分） 16．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點（2，﹣5）和（6，1），求這個一次函數(shù)的解析式． 【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式． 【分析】將點（1，5）和（3，1）代入y=kx+b可得出方程組，解出即可得出k和b的值，即得出了函數(shù)解析式． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過點（2，﹣5）和（6，1）， ∴， 解得：． ∴這個一次函數(shù)的解析式為y=x﹣8． 【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，難度不大，關(guān)鍵是要掌握待定系數(shù)法的運用． 17．若△ABC中∠A=80，∠B的度數(shù)為x，∠C的度數(shù)為y，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象． 【考點】根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式；一次函數(shù)的圖象． 【分析】若△ABC中∠A=80，∠B的度數(shù)為x，∠C的度數(shù)為y，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式． 【解答】解：∵△ABC中∠A=80，∠B的度數(shù)為x，∠C的度數(shù)為y， ∴80+x+y=180， ∴y=100﹣x（0＜x＜100），圖象如下： 【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式及一次函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180，列出關(guān)于x與y的關(guān)系式． 四、（本大題共2小題，滿分19分） 18．已知：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD是∠ACB平分線，求∠A和∠CDB的度數(shù)． 【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知求出∠A和∠ACB，根據(jù)角平分線定義求出∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CDB即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180， ∴∠A=180=40，∠ACB=180=80， ∵CD是∠ACB平分線， ∴∠ACD=ACB=40， ∴∠CDB=∠A+∠ACD=40+40=80． 【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能應(yīng)用到了進行推理是解此題的關(guān)鍵． 19．如圖，已知直線l1：y1=2x+1與坐標軸交于A、C兩點，直線l2：y2=﹣x﹣2與坐標軸交于B、D兩點，兩線的交點為P點， （1）求△APB的面積； （2）利用圖象求當x取何值時，y1＜y2． 【考點】一次函數(shù)與二元一次方程（組）；一次函數(shù)與一元一次不等式． 【專題】計算題． 【分析】（1）先求出A，B，P的坐標，根據(jù)面積公式即可求解； （2）求出交點P的坐標，正確根據(jù)圖象即可得出答案． 【解答】解：（1）聯(lián)立l1、l2，， 解得： ∴P點坐標為（﹣1，﹣1）， 又∵A（0，1）B（0，﹣2）， ∴； （2）由圖可知，當x＜﹣1時，y1＜y2． 【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握根據(jù)圖象進行解題． 五、（本題滿分10分） 20．大地中學八年級為數(shù)學競賽設(shè)獎，派了兩位老師去學校的超市購買筆記本作為獎品．經(jīng)過了解得知，超市的A，B兩種筆記本的價格分別是10元和6元，他們準備購買這兩種筆記本共30本． （1）如果他們購買獎品共花費了240元，則這兩種筆記本各買了多少本？ （2）兩位老師根據(jù)競賽的設(shè)獎情況，決定所購買的A種筆記本的數(shù)量要不少于B種筆記本數(shù)量，但又不多于B種筆記本數(shù)量2倍，如果設(shè)他們買A種筆記本n本，買這兩種筆記本共花費w元． ①請寫出w（元）關(guān)于n（本）的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量n的取值范圍； ②請你幫他們計算購買這兩種筆記本各多少時，花費最少，此時的花費是多少元？ 【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)A的本數(shù)加B的本數(shù)等于總本數(shù)，根據(jù)A的價格加B的價格等于總價格，可得二元一次方程組，根據(jù)解方程組，可得答案； （2）①根據(jù)A的價格加B的價格等于總價格，可得函數(shù)解析式，根據(jù)A的本數(shù)與B的本數(shù)的關(guān)系，可得自變量的取值范圍； ②根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案． 【解答】解：（1）設(shè)購買A中筆記本為x本，購買B中筆記本為y本，由題意，得 ， 解得， 答：購買A中筆記本為15本，購買B中筆記本為15本； （2）①由A的價格加B的價格等于總價格，得 w=10n+6（30﹣n）， 即w=4n+180； 由A種筆記本的數(shù)量要不少于B種筆記本數(shù)量，但又不多于B種筆記本數(shù)量2倍，得 ， 解得15≤n≤20； ②由w=4n+180，得 k=4＞0， w隨n的增加而增加， 當n=15時，w最小=240元， 答：購買A中筆記本為15本，購買B中筆記本為15本，花費最少，此時的花費是240元． 【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，由題意列出方程組是解題關(guān)鍵，有利用了一次函數(shù)的性質(zhì)：y=kx+b，k＞0時，y隨x的增大而增大，k＜0時，y隨x的增大而減?。? 六、（本題滿分12分） 21．取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0＜α≤45），得到△ABC′． ①當α為多少度時，AB∥DC？ ②當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，α為多少度？ ③連接BD，當0＜α≤45時，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】探究型． 【分析】（1）若AB∥DC，則∠BAC=∠C=30，得到α=∠BAC′﹣∠BAC=45﹣30=15； （2）當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，α=45， （3）連接CC′，CD與BC′相交于O點，在△BDO和△OCC′中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變． 【解答】解：（1）如圖②， ∵AB∥DC， ∴∠BAC=∠C=30， ∴α=∠BAC′﹣∠BAC=45﹣30=15， 所以當α=15時，AB∥DC； （2）當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，α=45， （3）當0＜α≤45時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變． 證明：連接CC′，CD與BC′相交于O點， 在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′， ∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C， ∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α =180﹣∠ACD﹣∠AC′B， =180﹣45﹣30=105， ∴當0＜α≤45時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理．