2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 文.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 文 【三年高考】 1. 【xx山東，文21】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為. (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對稱點(diǎn),圓N的半徑為|NO|. 設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與圓N分別相切于點(diǎn)E,F,求EDF的最小值. 【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時，，得，所以，因此橢圓方程為. （Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程，得，由 得 （*） 且 ，因此 ，所以 ，又 ，所以 ，整理得： ，因?yàn)?，所以 ，令 ，故 ，所以 .令 ，所以 .當(dāng)時，,從而在上單調(diào)遞增，因此 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，此時，所以，由（*）得 且，故，設(shè)，則 ，所以得最小值為.從而的最小值為，此時直線的斜率時.綜上所述：當(dāng)，時，取得最小值為. 2. 【xx天津，文20】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為. （I）求橢圓的離心率； （II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為. （i）求直線的斜率； （ii）求橢圓的方程. （ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得點(diǎn)，進(jìn)而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.因?yàn)椋?，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.所以，橢圓的方程為. 3 . 【xx高考山東文數(shù)】已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長線QM交C于點(diǎn)B. (i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. 【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知，所以，所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設(shè)，由，可得 所以 直線PM的斜率 ，直線QM的斜率.此時，所以為定值. (ii)設(shè)，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得.此時，即，符號題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 . 4．【xx高考四川文科】已知橢圓E：的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：． 【解析】（I）由已知，a=2b.又橢圓過點(diǎn)，故，解得. 所以橢圓E的方程是. （II）設(shè)直線l的方程為， ，由方程組 得，① 方程①的判別式為，由，即，解得.由①得.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為，由方程組得.所以.又.所以. 5．【xx高考上海文科】有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0），如圖 （1） 求菜地內(nèi)的分界線的方程 （2） 菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請計算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值 【解析】（1）因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，所以是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線在正方形內(nèi)的部分，其方程為（）． （2）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為．所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為．矩形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值”． 6．【xx高考新課標(biāo)1，文5】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 7. 【xx高考山東，文21】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)（，）在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn). （i）求的值； (ii)求面積的最大值. 【解析】（I）由題意知又，解得，所以橢圓的方程為 （II）由（I）知橢圓的方程為. （i）設(shè)由題意知.因?yàn)橛?，即所以，? （ii）設(shè)將代入橢圓的方程，可得，由可得……① 則有所以因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積 設(shè)將直線代入橢圓的方程，可得，由可得……② 由①②可知故.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值由（i）知，的面積為，所以面積的最大值為 8. 【xx高考重慶，文21】如題（21）圖，橢圓（>>0）的左右焦點(diǎn)分別為,,且過的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQ. (Ⅰ)若||=2+，||=2-，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (Ⅱ)若|PQ|=||，且，試確定橢圓離心率的取值范圍. 【解析】 (1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此即從而，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)如題(21)圖，由,得，由橢圓的定義，,進(jìn)而，于是. 解得，故.由勾股定理得,從而,兩邊除以，得,若記，則上式變成.由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，即，進(jìn)而，即. 9. 【xx高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且＝－1 (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由. 【解析】(Ⅰ)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，且＝－1，于是，解得a＝2，b＝，所以橢圓E方程為. (Ⅱ)當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以，從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－，所以，當(dāng)λ＝1時，－＝－3，此時，＝－3為定值，當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時＝－2－1＝－3，故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3. 【xx考試大綱】 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目. 【xx年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點(diǎn)，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎(chǔ)題，另一道是提高題，難度中等以上，有時作為把關(guān)題．考查方面離心率是重點(diǎn)，其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程，求焦點(diǎn)三角形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點(diǎn)問題，定值問題等．從近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查基本運(yùn)算能力及等價轉(zhuǎn)化思想，而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時作為把關(guān)題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預(yù)測xx年求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識點(diǎn)仍然較多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習(xí)力度，提高運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識分析解決問題能力，要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用． 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考對圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識運(yùn)用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要涉及的題型為中點(diǎn)弦問題、最值與取值范圍問題、定點(diǎn)與定值問題、探索性問題，從涉及的知識上講，常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，考查知識點(diǎn)多，運(yùn)算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征. 【考點(diǎn)1】求軌跡方程 【備考知識梳理】 1．曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個方程的曲線. 2．直接法求動點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)． (3)列式——列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式． (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程； (3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (4)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 2. 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【湖南省衡陽市xx屆高三第三次聯(lián)考】已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).設(shè)平面內(nèi)曲線上的每一點(diǎn)繞原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)的軌跡是曲線，則原來曲線的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【福建省三明市xx屆5月質(zhì)量檢查】已知直線與拋物線相切，且與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn).若動點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長為6． (Ⅰ) 求動點(diǎn)的軌跡的方程； (Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)，且位于直線的兩側(cè)時，證明： . 【解析】(Ⅰ) 因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以方程有等根， 則，即，所以． 又因?yàn)閯狱c(diǎn)與定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形周長為6,且，所以 根據(jù)橢圓的定義，動點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且不在軸上，所以，得，則， 即曲線的方程為（）. (Ⅱ)設(shè)直線方程 ，聯(lián)立 得，△=-3+12>0，所以， 此時直線與曲線有兩個交點(diǎn), ，設(shè) ， ，則， ∵，不妨取，要證明恒成立，即證明，即證，也就是要證 即證由韋達(dá)定理所得結(jié)論可得此式子顯然成立，所以成立. 【考點(diǎn)2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 3.要熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【xx屆四川省資陽市高三一?！恳阎p曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若在的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得， ，設(shè)，由，得 ,因?yàn)樵诘臐u近線上存在點(diǎn)，則，即 ，又因?yàn)闉殡p曲線，則 ，故選B. 2. 【安徽省亳州市xx屆高三質(zhì)量檢測】已知拋物線，直線傾斜角是且過拋物線的焦點(diǎn)，直線被拋物線截得的線段長是16，雙曲線： 的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則直線與軸的交點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【考點(diǎn)3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題 【備考知識梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0，當(dāng)△＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點(diǎn). 當(dāng)△=0時，直線與圓錐曲線有且只有一個公共點(diǎn)，此時直線與雙曲線相切. 當(dāng)△＜0時，直線與圓錐曲線無公共點(diǎn). （2）當(dāng)=0時，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，此時直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時直線與拋物線的對稱軸平行. （3）設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A（，），B（，），則，. 2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，常用設(shè)而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關(guān)于與的式子，將，代入再用有關(guān)方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設(shè)為，避免分類討論. 3.定點(diǎn)與定值問題處理方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個定點(diǎn)（定值）與變量無關(guān). (2)直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）. 4.最值問題常見解法有兩種： （1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法：利用相關(guān)知識和方法結(jié)合題中的條件，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識求出這個函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種： （1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關(guān)知識，將所討論參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論這個函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對探索性問題，先假設(shè)存在，依此為基礎(chǔ)推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1.【安徽省淮北市xx屆高三最后一卷】已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線， 為切點(diǎn)，若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)， 的面積為，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由拋物線的對稱性知， ，則，解得，直線方程為，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D． 2.【xx屆河河南省鄭州一中等高三百校聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，且過點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【解析】（Ⅰ）由題意得，，故橢圓的方程為. （Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)的方程為， 代入橢圓方程化簡得： ，設(shè)， ，則， ，所以 ，因?yàn)? ，所以當(dāng)時， ，直線與直線關(guān)于軸對稱，當(dāng)軸時，由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關(guān)于軸對稱，綜上可得，在軸上存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對稱. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 １．求圓錐曲線方程的方法 求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程 (2)定義法：若動點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點(diǎn)法：即利用動點(diǎn)是定曲線上的動點(diǎn)，另一動點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點(diǎn)的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進(jìn)一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念. (5)待定系數(shù)法：①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為或()，避開對焦點(diǎn)在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義． ②中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓方程可設(shè)為 ()，雙曲線方程可設(shè)為 ()．這樣可以避免繁瑣的計算． 利用以上設(shè)法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程． 2．最值或范圍問題的解決方法 解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種： (1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值； (2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值； (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值； (4)利用判別式求最值； (5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值． 3．求定值問題的方法 定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題． 4． 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： ，. ②當(dāng)斜率不存在時，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式)． (2)弦的中點(diǎn)問題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算． 5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ).因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求. 6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟： (1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零)； (3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式； (4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解 7.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達(dá)到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識.解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等. 8.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷ζ胀ǚ匠踢\(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求”. 9. 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點(diǎn); （3）給出,等于已知是的中點(diǎn); （4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）； （14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心； （15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 10．定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點(diǎn)、一個值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 11．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理. 1. 【xx屆云南省師范大學(xué)附中高三適應(yīng)性（五）】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)， 為拋物線上的動點(diǎn)， ，當(dāng)最小時，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知， ，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，則．記，則，當(dāng)最小時， 有最小值，此時直線 與拋物線相切于點(diǎn)．設(shè)，可得，所以，則，∴， ，∴，故選D． 2. 【江西省南昌市xx屆高三三模】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)， 是它們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.【河南省新鄉(xiāng)市xx屆高三三?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，雙曲線： 與圓： 相切， ， ，若圓上存在一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到軸的距離為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】聯(lián)立雙曲線： 與圓： ，消去 得∵雙曲線與圓相切，∴判別式 ，易知 分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，又，故由雙曲線的定義知在雙曲線上，且為右切點(diǎn)，由韋達(dá)定理得 即點(diǎn)到軸的距離為 故選：A 4. 【xx屆陜西省渭南市高三二模】已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在以為圓心， 為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可知直線為的中位線所在線，所以直線為圓的切線， ，所以直線的傾斜角為， ，選B. 5.【云南省昆明市xx屆高三5月二檢】設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，曲線與相交于點(diǎn)，直線恰與曲線相切于點(diǎn)， 交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由解得，又對， ，所以，化簡得，所以， ，故選B． 6.【河北省石家莊市xx屆高三二?！咳鐖D，兩個橢圓的方程分別為和（， ），從大橢圓兩個頂點(diǎn)分別向小橢圓引切線、，若、的斜率之積恒為，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意知，外層橢圓方程為 ，設(shè)切線的方程為代入內(nèi)層橢圓消去得: 由化簡得同理得所以選A. 7. 【xx屆安徽省宣城市高三二?！咳鐖D，已知橢圓： 的離心率為， 、為橢圓的左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2， 、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，且直線的斜率等于直線斜率的2倍． （Ⅰ）求證：直線與直線的斜率乘積為定值； （Ⅱ）求三角形的面積的最大值． 【解析】（Ⅰ）．，故． （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)： 與軸的交點(diǎn)為，代入橢圓方程得，設(shè)， ，則， ， 由，得，得， ，得或． 或，所以過定點(diǎn)或，點(diǎn)為右端點(diǎn)，舍去， ， 令（），， ， ， 當(dāng)直線的斜率不存在時， ， ，，即，解得， ，，所以的最大值為. 8. 【黑龍江省大慶學(xué)xx屆高三考前得分訓(xùn)練】已知橢圓的離心率為，四個頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線的斜率分別為. （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)變化時，①求的值；②試問直線是否過某個定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由. 【解析】（1）由題設(shè)知， ， ，又，解得.故所求橢圓的方程是. （2）①，則有，化簡得，對于直線，同理有，于是是方程的兩實(shí)根，故.考慮到時，是橢圓的下頂點(diǎn)，趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上.由，得，于是有.直線的斜率為，直線的方程為，令，得， 故直線過定點(diǎn). 9. 【xx屆山東省濟(jì)寧市高三3月模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的離心率是，且直線： 被橢圓截得的弦長為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與圓： 相切： （i）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ii）若直線過定點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，與圓交于不同的兩點(diǎn)、，求的取值范圍． （ii）由題可得直線的斜率存在，設(shè)： ，與橢圓的兩個交點(diǎn)為、，由消去得，由，得，， ，∴．又圓的圓心到直線： 的距離，∴圓截直線所得弦長，∴， 設(shè)， ，則， ∵的對稱軸為，在上單調(diào)遞增， ，∴，∴． 10.【重慶市xx屆高三二?！恳阎獧E圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點(diǎn)，且直線恰好通過橢圓的右焦點(diǎn)， （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）經(jīng)過的直線和橢圓交于兩點(diǎn),交拋物線于兩點(diǎn)， 是拋物線的焦點(diǎn)，是否存在直線，使得,若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 【解析】（1）由知，可設(shè)，其中，由已知，代入橢圓中得： 即，解得，從而，故橢圓方程為 （2）易知，直線的斜率存在。設(shè)直線為， ， ， ， 。由條件知。，故。由， ， ，，，，。存在直線： 或者滿足條件。 11. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得：而，選C. 12. 【xx年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵雙曲線的虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為．∴，可得直線的方程為，即．∵雙曲線的兩頂點(diǎn)為，以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，∴點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即，化簡得，∵，∴上式化簡為，整理得．兩邊都除以，得，解之得，∵雙曲線的離心率，∴，可得，故答案為C. 13.【xx屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離等于2，拋物線過點(diǎn)，則該拋物線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 14. 【xx屆廣西柳州市高三下4月模擬理】在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為. （1）求動點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)（且 在之間或同時在之外）. 問：是否存在定值，對于滿足條件的任意實(shí)數(shù)，都有的面積與的面積相等，若存在，求的值；若不存在，說明理由. 【解析】（1）設(shè)，則，整理得.∴軌跡的方程為. （2）聯(lián)立消去得：，，由得 （） 設(shè)，，則.由題意，不妨設(shè)，,的面積與的面積總相等恒成立線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合.∴，解得，即存在定值，對于滿足條件，且（據(jù)（））的任意實(shí)數(shù)，都有的面積與的面積相等. 15. 【xx屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考理】如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn), 設(shè)到準(zhǔn)線的距離. （1）若,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若,求證：直線的斜率的平方為定值. 【解析】（1）,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,,即軸,, 即,得,所以拋物線的方程為. （2）設(shè),直線的方程為,將直線的方程代入,消去得,由得.所以.,又,所以,所以,即直線的斜率的平方為定值. 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，在雙曲線上，且軸，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線被圓：所截弦長為 A．B．C. D． 【答案】D 【解析】由已知，，，.由可得，，即，解得.由可得，，即，解得.由已知.解得.所以，故.該雙曲線的漸近線方程為.而圓的圓心為，半徑，由圓與雙曲線的對稱性可知，兩漸近線被圓所截弦長相等，而圓心到漸近線的距離.所以漸近線被圓所截弦長為. 【入選理由】本題考查雙曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)以及直線和圓的位置關(guān)系等，意在考查基本的邏輯推理與運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等.本題是雙曲線與線和圓結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 2. 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的同一個圓上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. ，或 【答案】D 【解析】聯(lián)立，得，首先應(yīng)有，即（※），設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，所以點(diǎn)，所以直線的斜率為， 由題意應(yīng)有直線與直線垂直，所以，即，化簡得，因?yàn)?，所以，解得．將代入（※）式得，解得或．故的取值范圍是，或．故選D. 【入選理由】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，基本運(yùn)算能力及推理能力．本題是雙曲線與圓結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 3．已知一拋物線的焦點(diǎn)為，其對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的漸近線為 （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，又由得，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，當(dāng)取最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，代入，可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線中，，進(jìn)而可得，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選C． 【入選理由】本題考查拋物線與雙曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)等，意在考查基本的邏輯推理與運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等．本題是拋物線與雙曲線結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 4. 已知是橢圓：的左，右焦點(diǎn)． （1）當(dāng)時，若是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上且焦距為2時，若直線：與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：的面積為定值． 【解析】（1）當(dāng)時，橢圓方程為，則．設(shè)，則，由，得，與橢圓方程聯(lián)立解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為． （2）當(dāng)橢圓的焦距為2時，，則，所以橢圓的方程為．由得：． ∵，∴，∴，，∴，由，得，∴．∵．又點(diǎn)到直線的距離， ∴．即的面積為定值． 【入選理由】本題主要考查橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力、運(yùn)算求解能力．本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 5. 已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，設(shè)是橢圓的兩個短軸端點(diǎn)，是橢圓的長軸左端點(diǎn)． （Ⅰ）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，直線交橢圓于，且直線的斜率分別為，求的值； （Ⅱ）當(dāng)時，若經(jīng)過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與的面積之差的最大值． 【解析】（Ⅰ）由條件，不妨設(shè)，則直線的斜率為，所以直線的方程為，代入，得，解得，所以，，所以． 【入選理由】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運(yùn)算求解能力、方程思想與分類討論的思想．本題是綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.