2019-2020年高考數(shù)學 破解命題陷阱 專題06 導數(shù)的幾何意義.doc
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2019-2020年高考數(shù)學 破解命題陷阱 專題06 導數(shù)的幾何意義 一.命題陷阱 1.在某點處的切線方程 2.過某點的切線方程 3.與切線有關(guān)的最值問題 4.導數(shù)的物理意義 5.導數(shù)與反函數(shù)綜合 6.導數(shù)的幾何意義綜合 7.分段函數(shù)的導數(shù)幾何意義問題 二.陷阱示例及防范措施 1.在某點處的切線方程 例1. 曲線在點處的切線方程是( ) A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 練習1. 已知是定義在上的單調(diào)函數(shù),滿足,則在處的切線方程為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得為一固定的數(shù),設(shè),則有. 由可得, 當時,有, 解得. ∴, ∴。 ∴, 又。 ∴曲線在處的切線方程為,即。選A。 【防陷阱措施】:本題的求解中,將為一固定的數(shù)成了解題的關(guān)鍵所在,然后在此基礎(chǔ)上,再進行代換求值,直到求出為止,從而得到,最后根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程。 練習2. 函數(shù)的圖像在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 練習3. 設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為,則曲線在點處的切線的斜率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】對函數(shù),求導可得,∵在點處的切線方程為,∴,∴,∴在點處切線斜率為4,故選C. 練習4. 如右圖,直線與曲線交于兩點,其中是切點,記,則下列判斷正確的是 ( ) A. 只有一個極值點 B. 有兩個極值點,且極小值點小于極大值點 C. 的極小值點小于極大值點,且極小值為-2 D. 的極小值點大于極大值點,且極大值為2 【答案】D ∴當時有極大值,且極大值為。 同理有極小值。結(jié)合圖形可得的極小值點大于極大值點。 選D。 練習5. 已知函數(shù)是定義在的可導函數(shù), 為其導函數(shù),當且 時, ,若曲線在處的切線的斜率為,則 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 可得:函數(shù)在處取得極值, . 故答案為 2.過某點的切線方程 例2. 過點與曲線相切的直線有且只有兩條,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)切點為(),,所以切線方程為:,代入,得,即這個關(guān)于的方程有兩個解.化簡方程為,即,令(),,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,g(1)=0,所以,所以.選B. 【防陷阱措施】對于曲線切點問題,一定要看清楚是在那個點,還是過那個點,如果不知道切點,需要自己設(shè)切點.通過求導求出切線方程,再代入過的那一定點. 練習1.過點A(2,1)作曲線的切線最多有( ) A. 3條 B. 2條 C. 1條 D. 0條 【答案】A 3.與切線有關(guān)的最值問題 例3. 對任意的,總有,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原問題即在區(qū)間上恒成立,考查臨界情況,即函數(shù)與相切時的情形, 很明顯切點橫坐標位于區(qū)間內(nèi),此時, , 由可得: , 則切點坐標為: , 切線方程為: , 令可得縱截距為: , 結(jié)合如圖所示的函數(shù)圖象可得則的取值范圍是. 【防陷阱措施】本題考查臨界條件的應用,在求切線方程時,應先判斷已知點Q(a,b)是否為切點,若已知點Q(a,b)不是切點,則應求出切點的坐標,利用切點坐標求出切線斜率,進而用切點坐標表示出切線方程. 練習1. 直線分別與曲線,與交于點,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 練習2. 已知函數(shù) 若對于任意兩個不相等的實數(shù),不等式恒成立,則函數(shù)的值域是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可得: 練習3. 已知函數(shù),在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù),且,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】, , 對任意恒成立, 對任意恒成立,即, 時, , ,選C 點睛:本題首先考察導數(shù)定義:任?。ǘx域),則,之后考察含參數(shù)不等式的解法,我們一般采取分參法轉(zhuǎn)化為恒成立問題,比較方便。導數(shù)題型一般為函數(shù)的綜合題型,需要對相關(guān)函數(shù)方法都能掌握。 練習4. 已知定義在上的函數(shù),滿足,且當時,若函數(shù)在上有唯一的零點,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 時, , 時, , , 零點,就是與的交點,畫出兩函數(shù)圖象,如圖,由圖知, 過原點與相切的直線斜率為,所有直線與曲線有一個交點的的范圍是,故選D. 【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題. 已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解. 4.導數(shù)的物理意義 例4. 物體運動時位移與時間的函數(shù)關(guān)系是,此物體在某一時刻的速度為0,則相應的時刻為( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,選C. 5.導數(shù)與反函數(shù)綜合 例5. 函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,分別是函數(shù)圖象上的動點,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【防陷阱措施】(1)運用函數(shù)圖象解決問題時,先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容,熟悉圖象所能夠表達的函數(shù)的性質(zhì). (2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時,要注意用好其與圖象的關(guān)系,結(jié)合圖象研究. 練習1. 已知為曲線(且)上的兩點,分別過作曲線的切線交軸于兩點,若,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)切點作標為,若,則,不合題意,若,不合題意,只有,因為,所以此時, 方程: ,令, , , 方程,令, , ,故選B. 練習2. .已知曲線恰好存在兩條公切線,則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)直線為它們的公切線,聯(lián)立可得① 求導可得,令可得,所以切點坐標為,代入可得②.聯(lián)立①②可得,化簡得。令, , 在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, 。 有兩條公切線, 方程有兩解, ,所以答案為D 練習3. 已知函數(shù)分別為圖象上任一點,則的最小值為__________. 【答案】 【解析】,解得,所以, 練習4.曲線上的點到直線的最短距離是__________. 【答案】 【解析】∵曲線y=ln(2x?1), ∴y′=,分析知直線2x?y+8=0與曲線y=ln(2x?1)相切的點到直線2x?y+8=0的距離最短 y′═=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x?1), ∴y=0,∴點(1,0)到直線2x?y+8=0的距離最短, ∴d==, 故答案為: . 練習5. 若函數(shù)與函數(shù)有兩個公切線,則實數(shù)取值范圍是__________. 【答案】 【解析】設(shè)公切線在若函數(shù)與函數(shù)的切點為 則由, 得,化簡得有兩個不同的正根, 令,則,解得: ,當時, ;當時, ,因此,從而,解得: ,故答案為: . 6.導數(shù)的幾何意義綜合 例6. 若實數(shù)滿足,則的最小值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵, ∴。 將看成,即曲線。 將看成,即直線。 表示曲線上的點與直線上的點間的距離的平方。 作與直線平行的曲線的切線, 由,得, 令,得, 解得或(舍去)。 所以切點為。 故點到直線的距離為。 故曲線上的點到直線的最小距離為。 ∴的最小值為5。 選C。 【防陷阱措施】本題若直接求解則感到無從下手,故從所求式子的幾何意義出發(fā),將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線上兩點間的距離來處理。然后借助于導數(shù)的幾何意義,轉(zhuǎn)化成直線與其平行的曲線的切線間的距離問題處理,這樣使得問題的解決變得直觀、簡單。 練習1設(shè)函數(shù)與有公共點,且在公共點處的切線方程相同,則實數(shù)的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意,可得,由(1)得,解得或 (舍去),代入(2)得, ,構(gòu)造,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即的最小值為,所以的最大值為,故選A. 練習2. 已知曲線與恰好存在兩條公切線,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】的導數(shù)的導數(shù)為,設(shè)與曲線相切的切點為相切的切點為,則有公共切線斜率為,又,即有,即為,即有,則有,即為,恰好存在兩條公切線,即有兩解, 令,則,當時,遞減,當時,遞增,即有處取得極大值,也為最大值,且為,由恰好存在兩條公切線可得與 有兩個交點,結(jié)合函數(shù)的圖象與單調(diào)性可得的范圍是,故選D. 練習3. 已知a,b,c∈R,且滿足,如果存在兩條相互垂直的直線與函數(shù)f(x)=ax+bcosx+csinx的圖象都相切,則的取值范圍是 A. [-2,2] B. [-] C. [] D. [] 【答案】B 【解析】因為,故可設(shè)。 ∵, ∴, ∴且異號。 ∵存在兩條相互垂直的直線與函數(shù)f(x)的圖象都相切, ∴存在,使得。 只需,即, ∴,∴。 ∴,其中 。 ∴。選B。 練習4. 設(shè)曲線 (∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為,則的值為 ( ). A. B. -1 C. D. 1 【答案】B 【解析】令,則 ,切線的斜率為 ∴切線方程為y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,得,所以 本題選擇B選項. 練習5. 已知函數(shù),直線過原點且與曲線相切,其切點的橫坐標從小到大依次排列為,則下列說法正確的是( ) A. B. 數(shù)列為等差數(shù)列 C. D. 【答案】D 【解析】易得,故A錯誤,設(shè)切點為, ,則切線的斜率為,又切線過原點, 則,整理得,即① ,故B,C錯誤, 因為, 由①得, 即,整理得, 故選D 7.分段函數(shù)的導數(shù)幾何意義問題 例7. 設(shè)直線分別是函數(shù)圖象上點處的切線, 與垂直相交于點,且分別與軸相交于點,則的面積的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè), (),當時, ,當時, ,∴的斜率, 的斜率,∵與垂直,且,∴,即,直線, ,取分別得到, , ,聯(lián)立兩直線方程可得交點的橫坐標為,∴,∵函數(shù)在()上為減函數(shù),且,∴,則,∴,∴的面積的取值范圍是,故選A. 練習1. 已知函數(shù),若曲線在點,( ,其中互不相等)處的切線互相平行,則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】 函數(shù), 曲線在點,其中互不相等)處的切線互相平行,即在點處的值相等,畫出導函數(shù)的圖象,如圖, 當時, , 當時, 必須滿足, ,故答案為. 練習2. 對于任意實數(shù),定義.定義在上的偶函數(shù)滿足,且當時, ,若方程恰有兩個根,則的取值范圍是為_________ . 【答案】 【解析】由題意可得,又,故函數(shù)是周期為4的函數(shù)。畫出函數(shù)的圖象如圖所示。 令,則方程恰有兩個根等價于函數(shù)和函數(shù)的圖象恰有兩個公共點。 ①當直線經(jīng)過原點和點A,A1時,圖象有兩個公共點,滿足條件,此時或。此時的取值為。 ②當直線在y軸右側(cè)與的圖象相切時,可得,又當直線經(jīng)過點B時, ,兩圖象有3個公共點,不和題意,此時的取值范圍為。根據(jù)為偶函數(shù)得,當直線在y軸左側(cè)與的圖象有2個公共點時, 的取值范圍為。 綜上,實數(shù)的取值范圍為。 答案: 。 三.高考真題演練 1. 【xx高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 試題分析:由函數(shù)的圖象在兩點處的切線互相垂直可知,存在兩點處的切線斜率的積,即導函數(shù)值的乘積為負一. 當時,,有,所以在函數(shù)圖象存在兩點使條件成立,故A正確;函數(shù)的導數(shù)值均非負,不符合題意,故選A. 2. 【xx年高考四川理數(shù)】設(shè)直線l1,l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直相交于點P,且l1,l2分別與y軸相交于點A,B,則△PAB的面積的取值范圍是( ) (A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,+∞) (D)(1,+∞) 【答案】A 【解析】 試題分析:設(shè)(不妨設(shè)),則由導數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為,切線的方程為,即.分別令得又與的交點為,,,.故選A. 3.【xx高考新課標3理數(shù)】已知為偶函數(shù),當時,,則曲線 在點處的切線方程是_______________. 【答案】 【解析】 試題分析:當時,,則.又因為為偶函數(shù),所以,所以,則切線斜率為,所以切線方程為,即. 4.【xx廣東理10】曲線在點處的切線方程為 . 【答案】或. 【解析】,所求切線的斜率為, 故所求切線的方程為,即或. 5.【xx江蘇理11】在平面直角坐標系中,若曲線(為常數(shù))過點,且該曲線在點處的切線與直線平行,則 . 【答案】 【解析】曲線過點,則①,又,所以②,由①②解得所以. 6.【xx山東,理20】已知函數(shù),,其中是自然對數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程; (Ⅱ)令,討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值. 【答案】(Ⅰ). (Ⅱ)綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 函數(shù)有極小值,極小值是; 當時,函數(shù)在和和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值, 極大值是 極小值是; 當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; 當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值, 極大值是; 極小值是. 【解析】 (Ⅰ)由題意 又, 所以, 因此 曲線在點處的切線方程為 , 即 . (Ⅱ)由題意得 , 因為 , 令則所以在上單調(diào)遞增.因為 所以 當時,當時, (1)當時,當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增, 所以 當時取得極小值,極小值是 ; (2)當時,由 得 , ①當時,,當時,,單調(diào)遞增; 當時,,單調(diào)遞減; 當時,,單調(diào)遞增. 所以 當時取得極大值. 極大值為, 當時取到極小值,極小值是 ; ②當時,, 所以 當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; ③當時, 所以 當時,,單調(diào)遞增; 當時,,單調(diào)遞減; 當時,,單調(diào)遞增; 所以 當時取得極大值,極大值是; 當時取得極小值. 極小值是. 綜上所述: 當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 函數(shù)有極小值,極小值是; 當時,函數(shù)在和和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值, 極大值是 極小值是; 當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; 當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值, 極大值是; 極小值是. 7.【xx北京,理19】已知函數(shù). (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程; (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)最大值1;最小值. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求斜率再代入切線方程公式;(Ⅱ)設(shè),求,根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)減求函數(shù)的最大值,可以知道恒成立,所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),根據(jù)單調(diào)性求最值. 試題解析:(Ⅰ)因為,所以. 又因為,所以曲線在點處的切線方程為. (Ⅱ)設(shè),則. 當時,, 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以對任意有,即. 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 因此在區(qū)間上的最大值為,最小值為. 8.【xx年高考北京理數(shù)】(本小題13分) 設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為, (1)求,的值; (2)求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】(Ⅰ),;(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)題意求出,根據(jù),,求,的值; (2)由題意知判斷,即判斷的單調(diào)性,知,即,由此求得的單調(diào)區(qū)間. 試題解析:(1)因為,所以. 依題設(shè),即 解得;(2)由(Ⅰ)知. 由即知,與同號. 令,則. 所以,當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減; 當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故是在區(qū)間上的最小值, 從而. 綜上可知,,,故的單調(diào)遞增區(qū)間為. 9. 【xx福建,理20】(本小題滿分14分) 已知函數(shù)(為常數(shù))的圖象與軸交于點,曲線在點處 的切線斜率為-1. (I)求的值及函數(shù)的極值; (II)證明:當時,; (III)證明:對任意給定的正數(shù),總存在,使得當,恒有. 【答案】(I),極值參考解析;(II)參考解析;(III)參考解析 【解析】 試題分析:(I)由函數(shù)(為常數(shù))的圖象與軸交于點,曲線在點處 的切線斜率為-1.所以求函數(shù)的導數(shù),即可求出的值.再根據(jù)函數(shù)的導數(shù)地正負,即可得函數(shù)的極值. (II)當時,恒成立,等價轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值問題.令,通過求函數(shù)的導數(shù)求出最值即可得到結(jié)論. (III)對任意給定的正數(shù),總存在,使得當,恒有.由(II)得到函數(shù)的單調(diào)性當時,即可找到符合題意.當時.通過等價轉(zhuǎn)化,等價于不等式恒成立問題,再對通過估算得到的值.即可得到結(jié)論. 試題解析:解法一:(I)由,得.又,得.所以.令,得.當時, 單調(diào)遞減;當時, 單調(diào)遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值. (II)令,則.由(I)得,故在R上單調(diào)遞增,又,因此,當時, ,即. (III)①若,則.又由(II)知,當時, .所以當時, .取,當時,恒有. ②若,令,要使不等式成立,只要成立.而要使成立,則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當時,恒有. 綜上,對任意給定的正數(shù)c,總存在,當時,恒有. 解法二: (I)同解法一. (II)同解法一. (III)對任意給定的正數(shù),取由(II)知,當時, ,所以當時, ,因此,對任意給定的正數(shù),總存在,當時,恒有. 解法三: (I)同解法一. (II)同解法一. (III)首先證明當時,恒有.證明如下:令則.由(II)知,當時, .從而在單調(diào)遞減,所以即.取,當時,有.因此,對任意給定的正數(shù),總存在,當時,恒有. 注:對c的分類不同有不同的方式,只要解法正確,均相應給分. 10.【xx高考重慶理第20題】(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問4分,(Ⅱ)小問3分,(Ⅲ)小問5分) 已知函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù),且曲線在點處的切線的斜率為. (Ⅰ)確定的值; (Ⅱ)若,判斷的單調(diào)性; (Ⅲ)若有極值,求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)增函數(shù);(Ⅲ). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)由 因為是偶函數(shù),所以,又曲線在點處的切線的斜率為,所以有,利用以上兩條件列方程組可解的值; (Ⅱ)由(Ⅰ),,當時,利用的符號判斷的單調(diào)性; (Ⅲ)要使函數(shù)有極值,必須有零點,由于,所以可以對的取值分類討論,得到時滿足條件的的取值范圍. 試題解析: 解:(Ⅰ)對求導得,由為偶函數(shù),知, 即,因,所以 又,故. (Ⅱ)當時,,那么 故在上為增函數(shù). (Ⅲ)由(Ⅰ)知,而,當時等號成立. 下面分三種情況進行討論. 當時,對任意,此時無極值; 當時,對任意,此時無極值; 當時,令,注意到方程有兩根, 即有兩個根或. 當時,;又當時,從而在處取得極小值. 綜上,若有極值,則的取值范圍為. 11.【xx北京理18】(本小題13分)已知函數(shù). (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程; (Ⅱ)求證:當時,; (Ⅲ)設(shè)實數(shù)使得對恒成立,求的最大值. 【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)證明見解析,(Ⅲ)的最大值為2. 【解析】 試題分析:利用導數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)在處的函數(shù)值及導數(shù)值,再用直線方程的點斜式寫出直線方程;第二步要證明不等式在成立,可用作差法構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,由于,在(0,1)上為增函數(shù),則,問題得證;第三步與第二步方法類似,構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,但需要對參數(shù)作討論,首先符合題意,其次當時,不滿足題意舍去,得出的最大值為2. 試題解析:(Ⅰ),曲線在點處的切線方程為; (Ⅱ)當時,,即不等式,對成立,設(shè),則,當時,,故在(0,1)上為增函數(shù),則,因此對,成立; (Ⅲ)使成立,,等價于,;, 當時,,函數(shù)在(0,1)上位增函數(shù),,符合題意; 當時,令, - 0 + 極小值 ,顯然不成立, 綜上所述可知:的最大值為2. 12.【xx課標1理21】(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)=. (Ⅰ)當a為何值時,x軸為曲線 的切線; (Ⅱ)用 表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù) ,討論h(x)零點的個數(shù). 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當或時,由一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)先利用導數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組,解出切點坐標與對應的值;(Ⅱ)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點個數(shù),若零點不容易求解,則對再分類討論. 試題解析:(Ⅰ)設(shè)曲線與軸相切于點,則,,即,解得. 因此,當時,軸是曲線的切線. ……5分 (Ⅱ)當時,,從而, ∴在(1,+∞)無零點. 當=1時,若,則,,故=1是的零點;若,則,,故=1不是的零點. 當時,,所以只需考慮在(0,1)的零點個數(shù). (ⅰ)若或,則在(0,1)無零點,故在(0,1)單調(diào),而,,所以當時,在(0,1)有一個零點;當0時,在(0,1)無零點. (ⅱ)若,則在(0,)單調(diào)遞減,在(,1)單調(diào)遞增,故當=時,取的最小值,最小值為=. ①若>0,即<<0,在(0,1)無零點. ②若=0,即,則在(0,1)有唯一零點; ③若<0,即,由于,,所以當時,在(0,1)有兩個零點;當時,在(0,1)有一個零點.…10分 綜上,當或時,由一個零點;當或時,有兩個零點;當時,有三個零點. ……12分 13.【xx天津理20】(本小題滿分14分)已知函數(shù),其中. (I)討論的單調(diào)性; (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數(shù),都有; (III)若關(guān)于的方程有兩個正實根,求證: 【答案】(I) 當為奇數(shù)時,在,上單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;當為偶數(shù)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (II)見解析; (III)見解析. 【解析】(I)由,可得,其中且, 下面分兩種情況討論: (1)當為奇數(shù)時: 令,解得或, 當變化時,的變化情況如下表: 所以,在,上單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)當為偶數(shù)時, 當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增; 當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減. 所以,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (II)證明:設(shè)點的坐標為,則,,曲線在點處的切線方程為,即,令,即,則 由于在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,又因為,所以當時,,當時,,所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以對任意的正實數(shù)都有,即對任意的正實數(shù),都有. (III)證明:不妨設(shè),由(II)知,設(shè)方程的根為,可得 ,當時,在上單調(diào)遞減,又由(II)知可得. 類似的,設(shè)曲線在原點處的切線方程為,可得,當, ,即對任意, 設(shè)方程的根為,可得,因為在上單調(diào)遞增,且,因此. 由此可得. 因為,所以,故, 所以.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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