2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做01 空間向量與立體幾何試題（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做01 空間向量與立體幾何試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇高考，22】如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，． （1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線A1B與AC1的方向向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出方向向量夾角，最后根據(jù)異面直線所成角與方向向量夾角之間相等或互補(bǔ)可得夾角的余弦值；（2）根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系，得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出各半平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系確定二面角的正弦值． 試題解析：在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E． 因?yàn)锳A1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD． 如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz． 因?yàn)锳B=AD=2，AA1=，． 則． （1）， 則． 因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為． 設(shè)二面角B-A1D-A的大小為，則． 因?yàn)?，所以? 因此二面角B-A1D-A的正弦值為． 【考點(diǎn)】空間向量、異面直線所成角及二面角 【名師點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”：①破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；④破“應(yīng)用公式關(guān)”． 2. 【xx江蘇高考，22】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，, （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng) 【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，． （1）因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，．因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，，即．令，解得，．所以是平面的一個(gè)法向量．從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為． （2）因?yàn)?，設(shè)（），又，則，又，從而．設(shè)，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值．又因?yàn)椋裕? 3.【xx課標(biāo)1，理18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】 試題解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD. 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. 由（1）及已知可得，，，. 所以，，，. 設(shè)是平面的法向量，則 ，即， 可取. 設(shè)是平面的法向量，則 ，即， 可取. 則， 所以二面角的余弦值為. 【考點(diǎn)】面面垂直的證明，二面角平面角的求解 【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵. 4.【xx課標(biāo)II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。 （1）證明：直線 平面PAB； （2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。 【答案】(1)證明略； (2) 。 【解析】 試題解析： （1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，。 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥,,由得∥，又,所以。四邊形為平行四邊形，∥。 又平面，平面，故平面。 （2）由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，,， 設(shè)則， 因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45，而是底面ABCD的法向量， 所以， ， 即。 ① 又M在棱PC上，設(shè),則 。 ② 【考點(diǎn)】 判定線面平行；面面角的向量求法 【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算。 (2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有|cos θ|＝|cos|=。求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。 5.【xx課標(biāo)3，理19】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）證明：平面ACD⊥平面ABC； （2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值. 【答案】(1)證明略； (2) . 【解析】 （2） 由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得 .故 【考點(diǎn)】 二面角的平面角；面面角的向量求法 【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算. (2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有|cos θ|＝|cos|=.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 6.【xx山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn). （Ⅰ）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大小； （Ⅱ）當(dāng)，，求二面角的大小. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 思路二： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量 計(jì)算即得. （Ⅱ）解法一： 取的中點(diǎn)，連接，，. 因?yàn)椋? 所以四邊形為菱形， 所以. 取中點(diǎn)，連接，，. 則，， 所以為所求二面角的平面角. 又，所以. 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此為等邊三角形， 故所求的角為. 解法二： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 因此所求的角為. 【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 7.【xx北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4． （I）求證：M為PB的中點(diǎn)； （II）求二面角B-PD-A的大小； （III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析：（Ⅱ） ；（Ⅲ） 【解析】 （III）由題意知，，. 設(shè)直線與平面所成角為，則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 【考點(diǎn)】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法. 【名師點(diǎn)睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 8.【xx天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求證：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； （Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng). 【答案】 （1）證明見(jiàn)解析（2） （3） 或 試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （Ⅰ）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量， 則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得. 因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN//平面BDE. 【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角 【名師點(diǎn)睛】空間向量是解決空間幾何問(wèn)題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易. 9．【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解. 試題解析：（I）由已知得，，又由得，故. 因此，從而.由,得. 由得.所以，. 于是，， 故. 又，而， 所以. （II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即， 所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則， 即， 所以可以取.于是， . 因此二面角的正弦值是. 考點(diǎn)：線面垂直的判定、二面角. 【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 10．【xx高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線. （I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行；（Ⅱ）立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，其中解法一建立空間直角坐標(biāo)系求解；解法二則是找到為二面角的平面角直接求解. 試題解析： （I）證明：設(shè)的中點(diǎn)為,連接, 在,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以 又所以 在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 又,所以平面平面， 因?yàn)槠矫妫云矫? （II）解法一： 連接,則平面， 又且是圓的直徑，所以 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 所以 可得 故. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量. 由 可得 可得平面的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量 所以. 所以二面角的余弦值為. 解法二： 連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 則有, 又平面， 所以FM⊥平面ABC, 可得 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接， 可得, 從而為二面角的平面角. 又,是圓的直徑， 所以 從而，可得 所以二面角的余弦值為. 考點(diǎn)：1.平行關(guān)系；2. 異面直線所成角的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，給出規(guī)范的證明.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 11．【xx高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分） 如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2. （I）求證：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行論證（Ⅱ）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)關(guān)系求正弦值（Ⅲ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值 試題解析：依題意，，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，. （I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以. （II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得. 因此有，于是，所以，二面角的正弦值為. （III）解：由，得.因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為. 考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題 12．【xx年高考北京理數(shù)】（本小題14分） 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，， ，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在， 【解析】 試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值. 試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，? 所以平面，所以， 又因?yàn)椋云矫妫? （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 因?yàn)?，所? 又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫? 所以平面. 因?yàn)槠矫?，所? 因?yàn)?，所? 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得， . 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，則. 所以. 又，所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. （3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得. 因此點(diǎn). 因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)， 即，解得. 所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí). 考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用. 【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等. 13．【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)． （I）證明平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求直線的方向向量與平面法向量的夾角來(lái)處理與平面所成角． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故，四邊形為平行四邊形，于是. 因?yàn)槠矫?，平面，所以平? （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意知，，，，， ，，. 設(shè)為平面的法向量，則，即，可取， 于是. 考點(diǎn)：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積． 【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理． 14．【xx高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面 ,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求證：EF⊥平面ACFD； (II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）． 【解析】 試題分析：（I）先證，再證，進(jìn)而可證平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中計(jì)算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而可得二面角的平面角的余弦值． 試題解析：（I）延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，如圖所示． 因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以? 平面，因此， ． 又因?yàn)?，，，所? 為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則 ． 所以平面． （II）方法一： 過(guò)點(diǎn)作，連結(jié)． 因?yàn)槠矫妫?，則平面，所以． 所以，是二面角的平面角． 在中，，，得． 在中，，，得． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 方法二： 如圖，延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形． 取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以，平面． 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線，的方向?yàn)?，的正方向? 建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意得 ，，， ，，． 因此， ，，． 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為． 由，得，??； 由，得，?。? 于是，． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角． 【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線． 15.【xx年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90. （Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點(diǎn)；（Ⅱ）求線面角，可以先找到這個(gè)角，即作出直線在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出線面角（通過(guò)平面的法向量與直線的方向向量的夾角來(lái)求得）． 試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行. 延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC=ED. 所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CD∥EB 從而CM∥EB. 又EB平面PBE，CM平面PBE， 所以CM∥平面PBE. （說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)） （Ⅱ）方法一： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD. 從而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45. 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2. 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PH. 易知PA⊥平面ABCD， 從而PA⊥CE. 于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH. 過(guò)A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA與平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45，AE=1， 所以AH=. 在Rt△PAH中，PH== ， 所以sin∠APH= =. 方法二： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD. 從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45. 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD. 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2. 作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2） 設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)， 由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1). 設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα= = . 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 . 考點(diǎn)：線線平行、線面平行、向量法. 【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過(guò)面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角．另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可． 16．【xx高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【答案】 【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則.設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以. 令，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值. 【xx年高考命題預(yù)測(cè)】 縱觀xx各地高考試題，高考對(duì)立體幾何的考查，可以發(fā)現(xiàn)均以規(guī)則幾何體為背景，這樣建立空間直角坐標(biāo)系較為容易，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運(yùn)算能力. 從高考試題來(lái)看，空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算，空間向量的應(yīng)用，重點(diǎn)考查空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離.課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度，題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查，但有時(shí)選擇題、填空題也涉及，難度中等偏高，從高考試題來(lái)看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點(diǎn)，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問(wèn)題等，同時(shí)注重考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力．立體幾何題型一般是一個(gè)解答題，1至2個(gè)填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來(lái)求解．立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力 ，近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題.預(yù)測(cè)xx年高考，可能以錐體為幾何背景，第一問(wèn)以線面平行，面面平行為主要考查點(diǎn)，第二問(wèn)可能給出一個(gè)角，計(jì)算角的問(wèn)題，常見(jiàn)的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；求距離，試題中常見(jiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法，有可能求點(diǎn)的位置或設(shè)置一個(gè)探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．復(fù)習(xí)建議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0≤θ≤90，其解法是作垂線、找射影；二面角0≤θ≤180.平面圖形的翻折與空間圖形的展開(kāi)問(wèn)題，要對(duì)照翻折（或展開(kāi)）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒(méi)有改變. 【xx年高考考點(diǎn)定位】 對(duì)立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進(jìn)行考查，而且偏重在第二問(wèn)或者第三問(wèn)中使用這個(gè)方法，考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問(wèn)題的計(jì)算，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題． 【考點(diǎn)1】空間向量 【備考知識(shí)梳理】 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量. 說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示；②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移. 2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率 ，， 加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律： 說(shuō)明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立 3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.平行于記作∥. 注意：當(dāng)我們說(shuō)、共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí)，也具有同樣的意義. 共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（≠）、，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實(shí)數(shù).②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）. ⑵對(duì)于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長(zhǎng)度為 ||，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量 ⑶若直線l∥，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式. 推論：如果 l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量 在l上取，則①式可化為 ② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式. 4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量平行于平面，記作∥.注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別. 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使① 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面. 推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使 ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有⑤ 在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量、（或不共線三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件 5．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線.與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是. 推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 6．?dāng)?shù)量積 （1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 說(shuō)明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥； ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（4）中的兩個(gè)向量的夾角不同， 圖（3）中∠AOB=， 圖（4）中∠AOB=, 從而有==. （2）向量的模：表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模. （3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作.即=， 向量: （4）性質(zhì)與運(yùn)算率 ⑴，⑵⊥=0，⑶ （4），（5）=，（6） 7．空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 (1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)，，則①； ②；③. (2)共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)，， 則， (均為非零向量)． (3)模、夾角和距離公式 設(shè)，，則，. 設(shè)，則. 【規(guī)律方法技巧】 1．將四點(diǎn)共面問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為三個(gè)向量共面問(wèn)題，利用共面向量定理來(lái)解決． 2．利用向量共線說(shuō)明兩線平行時(shí)注意說(shuō)明四點(diǎn)不共線，否則不一定正確． 3. 立體幾何中的向量方法 (1)直線的方向向量與平面的法向量的確定 ①直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點(diǎn)，則稱為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量． ②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)是平面內(nèi)兩不共線向量，為平面的法向量，則求法向量的方程組為. 4.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）共線向量定理中∥?存在實(shí)數(shù)使＝易忽視≠0.（3）共面向量定理中，注意有序?qū)崝?shù)對(duì)()是唯一存在的．（3）一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量． 5.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系：根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系引入的恰當(dāng)，合理，即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見(jiàn)建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個(gè)坐標(biāo)軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正棱錐，利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體直觀圖． 【答案】見(jiàn)解析． 【解析】由已知可作出示意圖． 2. 有以下命題：①如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么、的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③已知向量，，是空間的一個(gè)基底，則向量也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是____. 【答案】②③ 【解析】 對(duì)于①，“如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么、的關(guān)系一定是共線”，所以①錯(cuò)誤．②③正確． 【考點(diǎn)2】空間角，距離的求法 【備考知識(shí)梳理】 1．空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．異面直線所成的角的范圍是. (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角．直線與平面所成角的范圍是. (3)二面角的平面角 如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角．二面角的范圍是. (4)等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. 2．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線和的方向向量分別為和，則與的夾角滿足. (2)設(shè)直線的方向向量和平面的法向量分別為，則直線與平面的夾角滿足. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①，是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。? (ⅱ)如圖②③，分別是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，則二面角的大小滿足或． 3.空間距離: （1）兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長(zhǎng)即可．②找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式EF ＝（“”符號(hào)由實(shí)際情況選定）求距離. （2）點(diǎn)到平面的距離 點(diǎn)Ｐ到直線的距離為點(diǎn)Ｐ到直線的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過(guò)Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線的距離.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長(zhǎng)即可.常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離. 【規(guī)律方法技巧】 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角. （1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來(lái)求角; ④補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. （2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積，省去垂足, 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解. ③妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴. ④萬(wàn)能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有； （3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上； ③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角,然后再計(jì)算這個(gè)角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個(gè)方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；對(duì)于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. ③空間向量法:法一: 是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。? 法二：設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)），則二面角的平面角或. 2. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下： （1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形. （2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法. （3）求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個(gè)三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之.異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長(zhǎng)度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符號(hào)由實(shí)際情況選定） 3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“＝ ”求二面角否則要適當(dāng)扣分. ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知平行六面體ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120，則異面直線AC1與A1D所成角的余弦值_____________. 【答案】 【解析】設(shè)向量 ，則，， . 2.在梯形中，，，，，如圖把沿翻折，使得平面平面. （Ⅰ）求證:平面； （Ⅱ）若點(diǎn)為線段中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離． 【解析】（Ⅰ）證明:因?yàn)?，,,所以,，, ,所以.因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,所以平面． (Ⅱ)由（Ⅰ）知.以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸,所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,．所以,,．設(shè)平面的法向量為,則且,所以令,得平面的一個(gè)法向量為 ，所以點(diǎn)到平面的距離為． 【考點(diǎn)3】空間向量的應(yīng)用 【備考知識(shí)梳理】 1. 直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點(diǎn)，則稱為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量． 2. 如何確定平面的法向量 （1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法； （2）待定系數(shù)法：由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，于是可把法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得. 【規(guī)律方法技巧】 1.用向量證明空間中的平行關(guān)系 ①設(shè)直線和的方向向量分別為和，則∥ (或與重合)? ∥. ②設(shè)直線的方向向量為，與平面共面的兩個(gè)不共線向量和，則∥或??存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使. ③設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則l∥α或l?α?⊥. ④設(shè)平面和的法向量分別為，，則α∥β?∥. 2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和，則l1⊥l2?⊥?.＝0. ②設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，則⊥?∥ ③設(shè)平面和的法向量分別為和，則α⊥β?⊥?＝0. 3.用法向量球距離： （1）用法向量求異面直線間的距離：如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ； （2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離 如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為； （3）用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題 （4）用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題. 4. 用法向量求角 （1）用法向量求二面角 如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角. （2）法向量求直線與平面所成的角 要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者. 5.利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解問(wèn)題的方法：用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量的模來(lái)解決；解決垂直問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 6.易誤警示：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)． 異面直線所成角范圍是(0，90]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過(guò)程是：(1)建系；(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)表示向量；(4)計(jì)算． (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系． (2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.如圖，在多面體ABCDEF中，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，. （Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值. 【解析】（Ⅰ）在梯形中，取CD中點(diǎn)H，連接BH，因?yàn)?，，所以四邊形ADHB為正方形，又，，所以，所以，又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD ，，又，故平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABCD，，所以DE,DA,DC兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，，，，， ，設(shè)為平面BMC的法向量，則，即，可取， 又，所以 ，直線與平面所成的角的正弦值為 . 2.如圖，在中，已知在上，且又平面. （Ⅰ）求證：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）設(shè)， 由平面，知⊥平面.從而，在中為直角三角形，故 ,又，又平面平面，平面，故∵∴平面 （Ⅱ）以所在射線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，則由（Ⅰ）知，, ，由（Ⅰ）知平面是平面的一個(gè)法向量， 設(shè)平面的法向量為，令，則， ，由圖可知，二面角的余弦值為. 【兩年模擬詳解析】 1. 【xx年第一次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】如圖，在四棱錐中，棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為1， （1）若，求直線與平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值. 【解析】（1）以為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?，所以? 依題意，， 所以， 平面的一個(gè)法向量為，則,所以， 取得 所以， 所以直線與平面所成角的正弦值為. （2）依題意，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 則,即，取得， 設(shè)平面的一個(gè)法向量 則,即，取得， 所以， 解得或. 因?yàn)?，所? 2. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷03（江蘇卷）】在四棱錐中，直線兩兩垂直，且． （Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值； （Ⅱ）求鈍二面角的大?。? 【解析】不妨設(shè)，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0）， （Ⅰ）則---------（2分） 因此異面直線與所成角的余弦值為．------------------------------------（4分） 3. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷01（江蘇卷）】（本小題滿分10分） 底面是正方形的四棱錐中中，側(cè)面底面，且是等腰直角三角形，其中，分別為線段的中點(diǎn)，問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】存在，為的中點(diǎn). 【解析】 取的中點(diǎn)，連接