2019-2020年高考數(shù)學(xué)考試萬能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題2.2 套用18個(gè)解題模板.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)考試萬能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題2.2 套用18個(gè)解題模板 模板一　求函數(shù)值 　例1　已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)時(shí)， ，則f(6)等于(　　) A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】D ▲模板構(gòu)建　已知函數(shù)解析式求函數(shù)值,常伴隨對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的考查,其解題思路如下: 【變式訓(xùn)練】【xx山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(8)＋f(5)的值為(　　) A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 模板二　函數(shù)的圖象 　例2　【xx江西省K12聯(lián)盟質(zhì)量檢測(cè)】函數(shù)的圖象大致為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 　▲模板構(gòu)建　由原函數(shù)的圖象判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象,關(guān)鍵是根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行判斷,基本的解題要點(diǎn)如下: 　【變式訓(xùn)練】【xx甘肅省張掖市質(zhì)檢】函數(shù)的部分圖象大致是 （ ） A. B. C. D. 模板三　函數(shù)的零點(diǎn)問題 　例3　函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)可能落在的區(qū)間為(　　) A. (0,1) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5) ▲模板構(gòu)建　利用零點(diǎn)存在性定理可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來確定零點(diǎn)所在區(qū)間.這種方法適用于不需要確定零點(diǎn)的具體值,只需確定其大致范圍的問題.基本的解題要點(diǎn)為: 【變式訓(xùn)練】【xx南京市、鹽城市聯(lián)考】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)， =，若函數(shù) 有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 模板四　三角函數(shù)的性質(zhì) 　例4　【xx湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬】下列選項(xiàng)中為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ▲模板構(gòu)建　在利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值或值域時(shí),要注意:(1)先確定函數(shù)的定義域;(2)將已知函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin(ωx+φ)+k的形式時(shí),盡量化成A>0,ω>0的情況;(3)將ωx+φ視為一個(gè)整體.解題思路為: 【變式訓(xùn)練】【xx遼寧省凌源市模擬】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值與最大值之和為__________． 模板五　三角函數(shù)的圖象變換 　例5　將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向右平移φ(φ>0)個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則φ的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D ▲模板構(gòu)建　三角函數(shù)圖象變換的主要類型:在x軸方向上的左、右平移變換,在y軸方向上的上、下平移變換,在x軸或y軸方向上的伸縮變換.其基本步驟如下: 【變式訓(xùn)練】【xx湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)模擬】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ） A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 模板六　解三角形 　例6　【xx湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】已知在中， 是邊上的點(diǎn)，且， ， ,則的值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A . ▲模板構(gòu)建　利用正弦定理、余弦定理都可以進(jìn)行三角形的邊、角之間的互化,當(dāng)已知三角形的兩邊及一邊的對(duì)角,或已知兩角及一角的對(duì)邊時(shí),可以利用正弦定理求解三角形中的有關(guān)量;如果已知三邊或兩邊及其夾角,則可利用余弦定理進(jìn)行求解.其基本思路如下: 【變式訓(xùn)練】 【xx河南省南陽市第一中學(xué)模擬】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為. （1）求； （2）若的面積為，求的周長(zhǎng). 模板七　利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 　　例7　已知定義在上的偶函數(shù)在上遞減且，則不等式的解集為__________． 【答案】 ▲模板構(gòu)建　函數(shù)性質(zhì)法主要適用于解決抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式問題.其解題要點(diǎn)如下: 　【變式訓(xùn)練】【xx吉林省實(shí)驗(yàn)中模擬】設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是 A. B. C. D. 模板八　利用基本不等式求最值 　例8．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)， 的最大值為________． 【答案】1 【解析】由x2－3xy＋4y2－z＝0， 得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝ ▲模板構(gòu)建　拼湊法就是將函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求最值.應(yīng)用此法求最值的基本思路如下: 【變式訓(xùn)練】已知,且滿足,那么的最小值為____. 模板九　不等式恒成立問題 　　例9　【xx河南省中原名校聯(lián)考】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】記函數(shù)在上的最小值為: 的定義域?yàn)? . 令，得或. ①時(shí)，對(duì)任意的,， 在上單調(diào)遞增， 的最小值為 ②當(dāng)時(shí)， 的最小值為; 故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 故選C. ▲模板構(gòu)建　分離參數(shù)法是求解不等式恒成立問題的常用方法,其解題要點(diǎn)如下: 　【變式訓(xùn)練】（Ⅰ）設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)的取值都成立，求的取值范圍； （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)的取值都成立． 模板十　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 　例10　已知， 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________． 【答案】 【解析】 ▲模板構(gòu)建　線性規(guī)劃問題是指在線性約束條件下求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,解決此類問題最基本的方法是數(shù)形結(jié)合法.其基本的解題步驟如下: 　【變式訓(xùn)練】【xx遼寧省凌源市聯(lián)考】已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為__________． 模板十一　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 　例11　【xx湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】已知等差數(shù)列中， ，數(shù)列中， . （1）分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）定義， 是的整數(shù)部分， 是的小數(shù)部分，且.記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 兩式相減，得 故. ▲模板構(gòu)建　數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題的解題步驟如下: 　【變式訓(xùn)練】【xx貴州省貴陽市第一中學(xué)模擬】已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且， ；等差數(shù)列 的公差 . （Ⅰ）若角及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足 ，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 模板十二　空間中的平行與垂直 　例12【xx南京市、鹽城市一?！咳鐖D所示，在直三棱柱中， ，點(diǎn)分別是的中點(diǎn). （1）求證： ∥平面； （2）若，求證： . 【解析】證明：（1）因?yàn)槭侵比庵?，所以，且? 又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，且． 則由側(cè)面底面，側(cè)面底面， ，且底面，得側(cè)面． 又側(cè)面，所以． 又， 平面，且， 所以平面． 又平面，所以． ▲模板構(gòu)建　證明空間中的平行與垂直的步驟如下: 【變式訓(xùn)練】如圖， 為圓柱的母線， 是底面圓的直徑， 是的中點(diǎn). （Ⅰ）問： 上是否存在點(diǎn)使得平面？請(qǐng)說明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若平面，假設(shè)這個(gè)圓柱是一個(gè)大容器，有條體積可以忽略不計(jì)的小魚能在容器的任意地方游弋，如果小魚游到四棱錐外會(huì)有被捕的危險(xiǎn)，求小魚被捕的概率. 模板十三　求空間角 　　例13　【xx吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬】如圖， 為圓的直徑，點(diǎn)， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， ． （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為． （Ⅱ） 設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，∴， 因此，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為60。 ▲模板構(gòu)建　空間角的求解可以用向量法.向量法是通過建立空間直角坐標(biāo)系把空間圖形的幾何特征代數(shù)化,避免尋找角和垂線段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化,具體步驟如下: 【變式訓(xùn)練】 在四棱柱中，底面是正方形，且， ． （1）求證： ； （2）若動(dòng)點(diǎn)在棱上，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為． 模板十四　直線與圓的位置關(guān)系 　　例14　【xx四川省綿陽市南山中學(xué)模擬】若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圓可化為 則圓心為（-2，2），半徑為3，1+ 由直線l的斜率k=-則上式可化為k2+4k+1≤0解得 故選B ▲模板構(gòu)建　幾何法是通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小來確定直線和圓的位置關(guān)系的方法,其基本步驟如下: 【變式訓(xùn)練】【xx北京市豐臺(tái)區(qū)模擬】已知直線和圓交于兩點(diǎn)，則__________． 模板十五　圓錐曲線中的最值與范圍問題 　例15【xx遼寧省凌源模擬】知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).過橢圓右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且. （1）求橢圓的方程； （2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且直線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值. 【解析】（I )依題意， 解得，故橢圓的方程為； （2）依題意，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線， 直線與橢圓方程聯(lián)立 化簡(jiǎn)并整理得， ∴， 由題設(shè)知直線的方程為， 令得 ，∴點(diǎn) (當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立) ∴的面積存在最大值，最大值為1. ▲模板構(gòu)建　與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的變化因素多,解題時(shí)需要在變化的過程中掌握運(yùn)動(dòng)規(guī)律,抓住主變?cè)?目標(biāo)函數(shù)法是避免此類問題出錯(cuò)的法寶,應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)式中自變量的限制條件(如直線與橢圓相交,Δ>0等).解題步驟如下: 【變式訓(xùn)練】(xx合肥市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為橢圓E： (a>b>0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)直線與y軸交于P，過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，若λ|PM|2＝|PA||PB|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 模板十六　圓錐曲線中的探索性問題 　　例16　在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y=與直線l:y=kx+a(a>0)交于M,N兩點(diǎn). (1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程; (2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由. 解析　(1)由題設(shè)可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a). 因?yàn)閥=x,所以y=在x=2處的導(dǎo)數(shù)值為, 所以曲線C在(2,a)處的切線方程為y-a=(x-2),即x-y-a=0. y=在x=-2處的導(dǎo)數(shù)值為-, 所以曲線C在(-2,a)處的切線方程為y-a=-(x+2),即x+y+a=0. 故所求切線方程為x-y-a=0和x+y+a=0. (2)假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P(0,b),(假設(shè)存在) 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2. 將y=kx+a代入曲線C的方程,整理得x2-4kx-4a=0,(聯(lián)立方程) 所以x1+x2=4k,x1x2=-4a, 所以k1+k2=+==. 當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0, 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ), 故∠OPM=∠OPN,所以存在點(diǎn)P(0,-a)符合題意.(得出結(jié)論) ▲模板構(gòu)建　圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點(diǎn)如下: 【變式訓(xùn)練】【xx湖南師大附中模擬】已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓Γ： ＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M(x0，2)在拋物線上，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)． (Ⅰ)求拋物線C的方程以及|MF|的值； (Ⅱ)記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)H，試問是否存在常數(shù)λ∈R，使得且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值； 若不存在，請(qǐng)說明理由． 模板十七　離散型隨機(jī)變量 　　例17　【xx遼寧省凌源市模擬】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國(guó)內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機(jī)構(gòu)在某地區(qū)隨機(jī)采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”. （1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率； （2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 故隨機(jī)變量的分布列為 的數(shù)學(xué)期望. ▲模板構(gòu)建　公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、條件概率等的求解方法或計(jì)算公式求解離散型隨機(jī)變量的概率的方法.其基本步驟如下: 　【變式訓(xùn)練】某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Pollution Index）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 大于300 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重 污染 重度污染 天數(shù) 10 15 20 30 7 6 12 （Ⅰ）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？ 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 非供暖季 合計(jì) 100 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附： （Ⅱ）政府要治理污染，決定對(duì)某些企業(yè)生產(chǎn)進(jìn)行管控，當(dāng)在區(qū)間時(shí)企業(yè)正常生產(chǎn)；當(dāng)在區(qū)間時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)（即關(guān)閉的產(chǎn)能），當(dāng)在區(qū)間時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)，當(dāng)在300以上時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)，企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一，若企業(yè)甲正常生產(chǎn)一天可得利潤(rùn)2萬元，若以頻率當(dāng)概率，不考慮其他因素： ①在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業(yè)被限產(chǎn)達(dá)到或超過的恰為2天的概率； ②求企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤(rùn)的期望值． 模板十八　線性回歸方程 　例18　某種設(shè)備的使用年限x和維修費(fèi)用y(萬元),有以下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù): x/年 3 4 5 6 y/萬元 2.5 3 4 4.5 　　(1)畫出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖; (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=x+. 解析　(1)由題意知使用年限x和維修費(fèi)用y的樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5).(構(gòu)建坐標(biāo)) 在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖如圖所示.(畫圖) (2)xiyi=32.5+43+54+64.5=66.5, =32+42+52+62=86, =(3+4+5+6)=4.5, =(2.5+3+4+4.5)=3.5,(計(jì)算) 所以====0.7, =-=3.5-0.74.5=0.35,(代公式) 所以所求的線性回歸方程為y=0.7x+0.35.(得結(jié)果) ▲模板構(gòu)建　線性回歸方程常用來預(yù)估某變量的值,因此選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)是解題的關(guān)鍵,一般解題要點(diǎn)如下: (1)作圖.依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系. (2)計(jì)算.計(jì)算出,,,xiyi的值;計(jì)算回歸系數(shù),. (3)求方程.寫出線性回歸直線方程y=x+. 　【變式訓(xùn)練】【xx湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國(guó)務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點(diǎn). （1）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，北京市某高校立即在所屬的8個(gè)學(xué)院的教職員工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調(diào)查，8個(gè)學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下： 調(diào)查人數(shù)() 10 20 30 40 50 60 70 80 愿意整體搬遷人數(shù)() 8 17 25 31 39 47 55 66 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）；若該校共有教職員工2500人，請(qǐng)預(yù)測(cè)該校愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù)； （2）若該校的8位院長(zhǎng)中有5位院長(zhǎng)愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長(zhǎng)中隨機(jī)選取4位院長(zhǎng)組成考察團(tuán)赴雄安新區(qū)進(jìn)行實(shí)地考察，記為考察團(tuán)中愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長(zhǎng)人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 參考公式及數(shù)據(jù)： . 答案部分 模板一　求函數(shù)值 　【變式訓(xùn)練】【答案】A f(8)= ，f(5)= ，所以f(8)＋f(5)=2 故選A 模板二　函數(shù)的圖象 　【變式訓(xùn)練】【答案】D 【解析】為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，即在區(qū)間上遞增，且，又在區(qū)間上，排除B；當(dāng)時(shí)， ，排除C，故選D. 模板三　函數(shù)的零點(diǎn)問題 【變式訓(xùn)練】【答案】 【解析】作圖，由圖可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是 模板四　三角函數(shù)的性質(zhì) 　【變式訓(xùn)練】【答案】 模板五　三角函數(shù)的圖象變換 　【變式訓(xùn)練】【答案】C 【解析】 = 所以需把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù) 故選C 模板六　解三角形 　【變式訓(xùn)練】 【解析】（1）由題意及正弦定理得 ， ， ， ， ， ∴． ∴， ∴， ， 又， 的周長(zhǎng)為. 模板七　利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 　　　【變式訓(xùn)練】【答案】A 【解析】為偶函數(shù)，且在 單調(diào)遞增，因?yàn)?，所? 選A. 模板八　利用基本不等式求最值 　【變式訓(xùn)練】【答案】 【解析】由，得 ∴=當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立． ∴的最小值為． 模板九　不等式恒成立問題 【變式訓(xùn)練】【解析】（Ⅰ）不等式可化為， ∴滿足條件的的取值范圍為. （Ⅱ）令 ，使的一切實(shí)數(shù)都有. 當(dāng)時(shí)， 在時(shí)， ，不滿足題意； 當(dāng)時(shí)， 只需滿足下式 或或 解之得上述不等式組的解集均為空集， 故不存在滿足條件的的值. 模板十　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 　【變式訓(xùn)練】【答案】 【解析】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示： 當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)， 有最小值為. 故選： 模板十一　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 相減得， 則. 模板十二　空間中的平行與垂直 　【變式訓(xùn)練】【解析】 （Ⅰ）存在，E是的中點(diǎn)． 證明：如圖 由平面，且由（Ⅰ）知，∴平面，∴， 又是中點(diǎn)，∴，因是底面圓的直徑，得，且， ∴平面，即為四棱錐的高． 設(shè)圓柱高為，底面半徑為，則， ， ∴∶，即． 模板十三　求空間角 　【變式訓(xùn)練】【解析】（1）連接， ， ， 因?yàn)椋?， 所以和均為正三角形， 于是． 設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，則， 又四邊形是正方形，所以， 而，所以平面． 所以、、兩兩垂直． 如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， ， ， ， ， ， ， ， 由，易求得． 設(shè)（）， 則，即， 所以． 模板十四　直線與圓的位置關(guān)系 　【變式訓(xùn)練】【答案】2 【解析】圓，表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓. 圓心（1，0）滿足直線，即該直線過圓心，所以. 答案為：2. 模板十五　圓錐曲線中的最值與范圍問題 　【變式訓(xùn)練】【解析】 (1)由題意，得a＝2c，b＝c，則橢圓E為. ∵直線與y軸交于P(0,2)， ∴|PM|2＝， 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)， |PA||PB|＝(2＋)(2－)＝1， ∴λ|PM|2＝|PA||PB|?λ＝， 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 依題意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0， ∴|PA||PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝1＋＝λ， ∴λ＝ (1＋)， ∵k2>，∴<λ<1. 綜上所述，λ的取值范圍是[，1)． 模板十六　圓錐曲線中的探索性問題 　　【變式訓(xùn)練】【解析】(Ⅰ)依題意，橢圓Γ：＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，故c2＝a2－b2＝1，故F，故＝1，則2p＝4，故拋物線C的方程為y2＝4x，將M代入y2＝4x，解得x0＝1， 故＝1＋＝2. (Ⅱ)(法一)依題意，F(xiàn)，設(shè)l：x＝ty＋1，設(shè)A，B， 聯(lián)立方程，消去x，得y2－4ty－4＝0.∴　?、? 且，又＝λ則＝λ，即y1＝－λy2，代入?、? 模板十七　離散型隨機(jī)變量 　　　【變式訓(xùn)練】【解析】 （Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表： 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合計(jì) 88 12 100 ， ②企業(yè)甲這一年的利潤(rùn)的期望值為 萬元， 故企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤(rùn)的期望值是萬元． 模板十八　線性回歸方程 　　【變式訓(xùn)練】【解析】 （1）由已知有 ， ,故變量 關(guān)于變量 的線性回歸方程為，所以當(dāng) 時(shí)， . （2）由題意可知的可能取值有1，2,3,4. ， . 所以 的分布列為 1 2 3 4